AGENTI CHE RISOLVONO PROBLEMI Ottimizzazione euristica

1. AGENTI CHE RISOLVONO PROBLEMIOttimizzazione euristica E.Mumolo mumolo@units.it

2. Il problema della ottimizzazione • Componenti: • Un insieme di variabili indipendenti • Un insieme di condizioni sulle variabili (vincoli) • Una funzione obiettivo • Soluzione: • I valori delle variabili che, rispettando i vincoli, portano la funzione obiettivo ad un valore ottimo • In forma generale: Con i vincoli

3. Lo spazio di ricerca della soluzione • Descritto da: • Numero di dimensioni • Dominio di ciascuna dimensione • Discreto • Limitato • Reale • Natura della relazione tra vettori di ingresso e funzione obiettivo • Continua • Discontinua • Ricerca locale nello spazio di ricrca: non tiene conto delle soluzioni precedenti • Considera solo la soluzione corrente • Usa un metodo per generare soluzioni alternative.

4. Una tassonomia approssimata delle tecniche di ottimizzazione ottimizzazione Tecniche enumerative Tecniche euristiche DFS BFS Programmazione dinamica Algoritmi evoluzionistici Tabu Search Hill Climbing Simulated Annealing Programmazione genetica Algoritmi genetici

5. Tecniche euristiche • Tecniche per la soluzione di problemi mediante algoritmi iterativi che selezionano via via la soluzione più appropriata tra quelle ottenute a ciascun passo. Tra queste: • Tabu search. Definisce come muoversi localmente da una soluzione all’altra usando una tabella delle soluzioni visitate recentemente • Hill Climbing: parte da un punto e cerca punti con migliore funzione obiettivo • Ant colony optimization: risolve problemi che possono essere ridotti alla ricerca di cammini ottimi in un grafo. Idea: le formiche in cerca di cibo esplorano a caso l’ambiente e quando lo trovano ritornano alla colonia lasciando tracce chimiche, eventualmente rinforzate da altre formiche • Simulated annealing: ricerca la soluzione generando soluzioni vicine alla corrente. Soluzioni che portano a un valore superiore sono sempre accettate. Soluzioni che portano a un valore inferiore sono accettate probabilisticamente • Genetic algorithms: mantiene un insieme di soluzioni che evolvono usando i principi della evoluzione Darwiniana

6. Hill Climbing • varianti: • stochastic hill climbing • Non sceglie sempre il migliore • first-choice hill climbing • Prende il primo buon successore (utile se il numero di successori è grande) • random restart • Cerca il punto migliore da diversi punti di partenza • Ovviamente la probabilità di trovare il massimo aumeta con l’aumentare del numero di tentativi

7. Algoritmi di ottimizzazione mediante Simulated Annealing • Simulated Annealing: (~ tempera simulata) • Idea: imitare quello che succede nel processo di tempera • la tempera è il processo nel quale il metallo viene riscaldato e poi raffreddato lentamente • Il materiale temperato viene arriva ad uno stato a minore energia nel quale le molecle si assestano su una posizione più stabile

8. Riassunto dell’algoritmo di minimizzazione • selezione dei parametri iniziali • perturba i parametri • Valutazione • Se v’ < v accetta la perturbazione • Altrimenti accetta la perturbazione con Prob(E,T) • Test di Metropolis • Ripeti con stato e temperatura aggiornati

9. Test di Metropolis • Si approssima l’allineamento delle molecole in natura consentendo le transizioni verso l’alto con qualche probabilità • Prob (nello stato ad energia E) ~ • Funzione di distribuzione di probabilità di Boltzmann (Z normalizz., k cost.Boltzmann) • Anche quando T è piccola, c’è una possibilità di accettazione • Prob (accettazione) = • Metropolis • if E2 < E1, prob () > 1 • if E2 > E1, possiamo trasferirci ad uno stato ad energia maggiore • La velocità alla quale si decrementa T e la quantità di decremento è stabilito da una sequenza di tempera prestabilita (annealing schedule)

10. Pseudocodice del Simulated annealing Fissa un valore iniziale del parametro T sufficientemente alto: T0 Fissa la configurazione iniziale: i0 Ripeti Ripeti Perturba la configurazione attuale: ij Calcola Dc=c(i)-c(j); Se Dc ≤ 0 Allora Accetta la configurazione j; Altrimenti Se (exp(-Dc/T) ≥ Random(0,1)) Allora Accetta la configurazione j; FineSe FinoAQuando(l’equilibro termico è bene approssimato); Decrementa T; FinoAQuando(il criterio di stop è verificato);

11. Proprietà • L’algoritmo può essere considerato come una successione di catene di Markov omogenee • Si può realizzare delle catene non omogenee diminuendo la temperatura ad ogni iterazione • Si può dimostrare che se T scende abbastanza lentamente, il processo converge all’ottimo globale con probabilità 1 • presentato in: Kirkpatrick, Gelatt and Vecchi, “Optimization by Simulated Annealing”, Science, 220(4598):498-516, May 1983 per problemi di routing VLSI • semplice da utilizzare per l’ottimizzazine vincolata

12. Sequenze di raffreddamento • La temperatura iniziale, la temperatura finale e la sequenza di raffreddamento sono determinate sperimentalmente • Alcuni schemi: • t = at, dove a è tipicamente intorno a 0.95 • t = e-bt t, dove b è tipicamente intorno a 0.7 • ......

13. Parametri di SA • Valore iniziale di temperatura • determina l’efficienza dell’algoritmo • un valore troppo basso fà convergere l’algoritmo ad un minimo locale • un valore troppo alto fà si che le prime catene siano superflue • possibile modo di determinare T0: • Si fissa un valore arbitrario • si esegue un certo numero di iterazioni • si calcola il rapporto tra il numero di transizioni accettate e il numero di transizioni proposte • se il rapporto è superiore a un numero prefissato (tipicamente 0.8), allora il valore di T0 proposto viene accettato, altrimenti si raddoppia tale valore e si ripete da 2.

14. Algoritmi Genetici (GA) • Tecnica di ottimizzazione euristica; prende come modello il processo di evoluzione biologica • NB: IL PROCESSO DI EVOLUZIONE BIOLOGICO E’ GROSSOLANAMENTE APPROSSIMATO!!! • Proposta da John Holland nel 1975 • Uno sguardo sul suo modo di operare: • mantiene una popolazione di possibili soluzioni al problema • Gestisce la loro evoluzione applicando concetti di evoluzione naturale e ereditarietà genetica • Questi concetti sono applicati mediante Operatori Stocastici: • Selezione • Ricombinazione • Mutazione

15. Operatori stocastici • Selezione: preferisce le soluzioni migliori nella popolazione  definizione della qualità di una soluzione • Ricombinazione: prende due soluzioni distinte e genera nuove soluzioni ricombinandole a caso • Mutazione: perturba a caso una soluzione

16. Il processo preso a modello

17. Ottimizzazione Genetica: pseudocodice Genera la popolazione iniziale di soluzioni; Valuta la fitness di ogni soluzione; while (condizione di termine non raggiunta) do seleziona le soluzioni per la riproduzione; ricombina le soluzioni selezionate; mutazione delle soluzioni; valuta la fitness delle soluzioni modificate; genera una nuova popolazione rimpiazzando la popolazione iniziale con le soluzioni modificate; done

18. GA for(gen=0; gen<maxgen; gen++) { fprintf(outfp,"\nRUN %d of %d: GENERATION %d->%d\n",run,maxruns,gen,maxgen); application(); /*application dependent routines*/ generation(); /* create a new generation */ statistics(newpop); /* compute fitness statistics on new populations */ report(); /* report results for new generation */ temp = oldpop; /* advance the generation */ oldpop = newpop; newpop = temp; }

19. Evoluzione selezione riproduzione valutazione Genera la popolazione

20. unsigned *chrom unsigned *chrom double fitness double fitness int xsite int xsite int *parent int *parent int *utility int *utility Esempio • massimizzare la funzione f(x)=x2 con x tra 0 e 31 • struttura dati: ... cromosoma individuo i genitori eventuali variabili utili individuo i+1 ...

21. Esempio • inzializzazione a caso di una popolazione di 4 individui con cromosoma lungo 5 • -------------------------------------------------------------------------------- • 1) 11010 v11 121.000000 • 11101 v23 529.000000 • 11101 v23 529.000000 • 00011 v24 576.000000 • --------------------------------------------------------------------------------

22. Codice: inizializzazione Inizializzazione della popolazione: initpop() { int j, j1, k, stop; unsigned mask = 1; for(j = 0; j < popsize; j++) { for(k = 0; k < chromsize; k++) { oldpop[j].chrom[k] = 0; if(k == (chromsize-1)) stop = lchrom - (k*UINTSIZE); else stop = UINTSIZE; for(j1 = 1; j1 <= stop; j1++) { oldpop[j].chrom[k] = oldpop[j].chrom[k]<<1; if(flip(0.5)) oldpop[j].chrom[k] = oldpop[j].chrom[k]|mask; } } oldpop[j].parent[0] = 0; /* Initialize parent info. */ oldpop[j].parent[1] = 0; oldpop[j].xsite = 0; objfunc(&(oldpop[j])); /* Evaluate initial fitness */ } }

23. 1 2 n 3 4 Selezione Metodo della ruota della roulette: Si ripete la selezione tante volte quanti sono gli individui che devono avere gli stessi genitori L’individuo ‘i’ ha una probabilità pari a di essere scelto quest’area è proporzionale al valore della fitness

24. Codice: selezione Selezione: int rws(struct individual *pop) { float rand, partsum; int j,k; float randomperc(); sumfitness=0; for(j = 0; j < popsize; j++) { sumfitness = sumfitness + pop[j].fitness; //trova la fitness totale } rand = randomperc() * sumfitness; partsum=0.; j=0; do { partsum += pop[j].fitness; j++; } while(!((partsum>=rand)||(j==popsize))); return(j-1); }

25. Esempio Crossover. Prima: s1` = 1111010101s2` = 1110110101 s5` = 0100010011 s6` = 1110111101 Dopo: s1`` = 1110110101 s2`` = 1111010101 s5`` = 0100011101 s6`` = 1110110011

26. Codice: crossover int crossover (unsigned *parent1, *parent2, *child1, *child2) { int j, jcross, k; unsigned mask, temp; if(flip(pcross)) { jcross = rnd(1 ,(lchrom - 1));/* Cross tra 1 and l-1 */ ncross++; for(k = 1; k <= chromsize; k++) { if(jcross >= (k*UINTSIZE)) {child1[k-1] = parent1[k-1]; child2[k-1] = parent2[k-1];} else if((jcross < (k*UINTSIZE)) && (jcross > ((k-1)*UINTSIZE))) { mask = 1; for(j = 1; j <= (jcross-1-((k-1)*UINTSIZE)); j++) { temp = 1; mask = mask<<1; mask = mask|temp; } child1[k-1] = (parent1[k-1]&mask)|(parent2[k-1]&(~mask)); child2[k-1] = (parent1[k-1]&(~mask))|(parent2[k-1]&mask); } else { child1[k-1] = parent2[k-1]; child2[k-1] = parent1[k-1]; } } } else { for(k = 0; k < chromsize; k++) { child1[k] = parent1[k]; child2[k] = parent2[k]; } jcross = 0; } return(jcross); }

27. Esempio Mutazione:ogni bit è sottoposto ad una piccola probabilità d’errore (per esempio 0.1) Prima: s1`` = 1110110101 s2`` = 1111010101 s3`` = 1110111101 s4`` = 0111000101 s5`` = 0100011101 s6`` = 1110110011 Dopo: s1``` = 1110100101 f (s1``` ) = 6 s2``` = 1111110100f (s2``` ) = 7 s3``` = 1110101111 f (s3``` ) = 8 s4``` = 0111000101 f (s4``` ) = 5 s5``` = 0100011101 f (s5``` ) = 5 s6``` = 1110110001 f (s6``` ) = 6

28. Codice: mutazione mutation(child) unsigned *child; /* Mutate an allele w/ pmutation, count # of mutations */ { int j, k, stop; unsigned mask, temp = 1; for(k = 0; k < chromsize; k++) { mask = 0; if(k == (chromsize-1)) stop = lchrom - (k*UINTSIZE); else stop = UINTSIZE; for(j = 0; j < stop; j++) { if(flip(pmutation)) { mask = mask|(temp<<j); nmutation++; } } child[k] = child[k]^mask; } }

29. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Generation 0 Generation 1 num string value fitness parents xsite string value fitness -------------------------------------------------------------------------------- 1) 11010 v11 121.000000 | ( 4, 3) 0 00011 v24 576.000000 2) 11101 v23 529.000000 | ( 4, 3) 0 11101 v23 529.000000 3) 11101 v23 529.000000 | ( 2, 4) 0 11101 v23 529.000000 4) 00011 v24 576.000000 | ( 2, 4) 0 00011 v24 576.000000 -------------------------------------------------------------------------------- Generation 1 Generation 2 num string value fitness parents xsite string value fitness -------------------------------------------------------------------------------- 1) 00011 v24 576.000000 | ( 2, 1) 0 11101 v23 529.000000 2) 11101 v23 529.000000 | ( 2, 1) 0 00011 v24 576.000000 3) 11101 v23 529.000000 | ( 4, 3) 0 00011 v24 576.000000 4) 00011 v24 576.000000 | ( 4, 3) 0 11101 v23 529.000000 ------------------------------------------------------------------------------- Generation 2 Generation 3 num string value fitness parents xsite string value fitness -------------------------------------------------------------------------------- 1) 11101 v23 529.000000 | ( 3, 4) 2 00101 v20 400.000000 2) 00011 v24 576.000000 | ( 3, 4) 2 11011 v27 729.000000 3) 00011 v24 576.000000 | ( 1, 2) 0 11101 v23 529.000000 4) 11101 v23 529.000000 | ( 1, 2) 0 00011 v24 576.000000 -------------------------------------------------------------------------------- Generation 3 Generation 4 num string value fitness parents xsite string value fitness -------------------------------------------------------------------------------- 1) 00101 v20 400.000000 | ( 4, 3) 3 00001 v16 256.000000 2) 11011 v27 729.000000 | ( 4, 3) 3 11111 v31 961.000000 3) 11101 v23 529.000000 | ( 2, 1) 0 11011 v27 729.000000 4) 00011 v24 576.000000 | ( 2, 1) 0 00101 v20 400.000000 -------------------------------------------------------------------------------- Generation 4 Generation 5 num string value fitness parents xsite string value fitness -------------------------------------------------------------------------------- 1) 00001 v16 256.000000 | ( 2, 2) 3 11111 v31 961.000000 2) 11111 v31 961.000000 | ( 2, 2) 3 11111 v31 961.000000 3) 11011 v27 729.000000 | ( 1, 3) 0 00001 v16 256.000000 4) 00101 v20 400.000000 | ( 1, 3) 0 11011 v27 729.000000 --------------------------------------------------------------------------------

30. Operatori Alternativi per il Crossover • Crossover a n punti • Scegliere a caso n punti per il crossover • Dividere i cromosomi in questi punti • incrociarli, alternano i genitori • Generalizzazione del crossover a 1 punto

31. Crossover Uniforme • Assegnare la testa a un genitore, la coda all’altro • Lanciare una moneta per ogni gene del primo figlio • Realizza una copia inversa per il gene del secondo figlio • L’ereditarietà è indipendente dalla posizione

32. Crossover o mutazione? • Lungo dibattito: qual’è migliore o necessario • Risposta: • dipende dal problema • in generale, è meglio avere entrambi • entrambi hanno il loro ruolo • generalmente, usare solo mutazione è possibile, usare solo crossover non funziona bene

33. Rappresentazioni • Possibili codifiche degli individui • Bit strings (0101 ... 1100) • Real numbers (43.2 -33.1 ... 0.0 89.2) • Permutations of element (E11 E3 E7 ... E1 E15) • Lists of rules (R1 R2 R3 ... R22 R23) • Elementi di programmi (genetic programming) • ... strutture dati ...

34. Rappresentazioni • Alcuni problemi hanno varabili intere, per. esempio segnali campionati • Altri problemi hanno valori da un insieme prefissato • Molti problemi sono intrinsicamente reali, tipicamente l’ottimizzazione f : n  • Esempio: la funzione di Ackley’s

35. Crossover tra valori reali • Discrete: • each allele value in offspring z comes from one of its parents (x,y) with equal probability: zi = xior yi • Could use n-point or uniform • Intermediate • exploits idea of creating children “between” parents (hence a.k.a. arithmetic recombination) • zi =  xi + (1 - ) yi where  : 0   1. • The parameter  can be: • constant: uniform arithmetical crossover • variable (e.g. depend on the age of the population) • picked at random every time

36. Crossover aritmetico singolo • Genitori: x1,…,xne y1,…,yn • Scegliere a caso un gene (k) • il figlio è: • ugualmente per l’altro figlio. Esempio ( = 0.5) • estensione al caso multiplo

37. GA: ottimizzazione vincolata • I GA sono adatti per l’ottimizzazione non vincolata  attività in corso • i metodi proposti sono • basati sulla penalizzazione • basati sula ricerca di soluzioni fattibili • basati sulla preservazione della fattibilità • metodi ibridi