1 / 57

Mathematics III TS 4353 Class B

Mathematics III TS 4353 Class B. Herlina Setiyaningsih Civil Engineering Department Petra Christian University. Integral Rangkap. Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2. Integral Rangkap Dua. Integral garis

faris
Download Presentation

Mathematics III TS 4353 Class B

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Mathematics IIITS 4353Class B HerlinaSetiyaningsih Civil Engineering Department Petra Christian University Integral Rangkap

  2. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2 Integral RangkapDua • Integral garis • Integrannyamerupakansuatufungsi f(x) yang terdefinisikanuntuksemua x didalamselang a ≤ x ≤ b padasumbu x. • Integral rangkapdua, integrannyaadalahsuatufungsi f(x,y) yang terdefinisikanuntuksemua (x,y) didalamsuatudaerah D yang terbatasdantertutuppadasuatubidangxy.

  3. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2 Q d Z = F(Xk, Yk) D ΔAk = ΔXkΔYk A B c ΔYk P ΔXk b a Integral RangkapDua Y X D dibagi n daerahbagianΔDkdenganluasΔAk (k=1, 2, 3, …, n). Diambiltitik Z misalkan (xk, yk).

  4. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2 • D = daerahintegrasi • D dicakupolehpertidaksamaan: • a ≤ x ≤ b, APB ≤ y ≤ AQB  f1(x) ≤ y ≤ f2(x) • c ≤ y ≤ d, QBP ≤ x ≤ QAP  g1(y) ≤ x ≤ g2(y)

  5. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2 Diintegralkanterhadap y denganmenganggap x konstan Diintegralkanterhadap x denganmenganggap y konstan

  6. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2 Example 1

  7. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2 Example 2

  8. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2 Example 3 • Diketahui a/. Hitung I dangambarkandaerahintegrasinya b/. Ubahurutanintegrasinya & hitungnilai I y y=x x=y x=y2/3 y = x3/2 1 x 1

  9. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2 Example 3

  10. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2

  11. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2 • Diketahui: Y x=y 2 y=2 y=x 1 y =1 X 0 1 x=0

  12. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2 Aplikasi Integral LipatDua • PerhitunganLuas Y Elemenluas dL = dxdy Luas: D dy dx X

  13. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2 Example • Hitungluasdaerah yang dibatasi y=2-x2dan y=1 Y Titik-titikpotong y = 2-x2 2-x2= 1 y = 1 1-x2 = 0 x = -1 or x = 1 D y=1 X -1 1 y=2-x2

  14. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2

  15. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2 Example • Hitungluasdaerah yang dibatasioleh x = y2danx+y = 2 Y Titik-titikpotong x = y2y2=2-y x= 2-y y2+y-2 = 0 (y-1)(y+2)=0 y=1 or y=-2 x = y2 1 X -2 x + y =2

  16. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2

  17. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2 • Perhitungan Massa Y ρ= ρ(x,y) dy dx X Rapat massa (untukpelattipis tidakpunyaketebalan) ElemenmassadM= ρdxdy Massa :

  18. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2 Example • Tentukanmassapelattipis yang dibatasi y=2√x, sumbu x dangaris x=4 jikarapatmassanyasebandingdenganjaraknyaterhadapsumbu x. Y y = 2√x k = konstantakesebandingan ρ = ky y X x = 4

  19. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2

  20. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2 • PerhitunganPusat Massa/ TitikBerat Y ρ= ρ(x,y) x dy dx y X • Elemenmomenterhadapsumbu x: dMx = y ρdxdy • Momenterhadapsumbu x:

  21. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2 • Elemenmomenterhadapsumbu y: dMy = x ρdxdy • Momenterhadapsumbu y: • Pusat Massa

  22. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2 Example • Tentukanpusatmassa lamina (lapisantipis (pelat)) homogen (rapatmassanyakonstan) yang dibatasikurva y=x dan y=x2 Y Titik-titikpotong y = x2x2=x y= x x2-x = 0 x(x-1)=0 x=0 or x=1 y=x2 y=x D ρ = c (konstan) X 0 1

  23. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2

  24. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2 Pusatmassa : (1/2, 2/5)

  25. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2 • PerhitunganMomenInersia Elemenmomeninersiathdsumbu x: dIx= y2ρdxdy Momeninersiathdsb x: Elemenmomeninersiathdsumbu y: dIy= x2ρdxdy Momeninersiathdsb y: Y ρ= ρ(x,y) D dy dx r y X x

  26. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2 • MomenInersiathdtitikpusat O

  27. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2 Example • Tentukanmomeninersiaterhadap: a/. Sumbu x b/. Sumbu y c/. Titikpusat O yang dibatasiolehkurva y=x dan y=x2 y=x2 Titik-titikpotong: y=x2x2=x y=x x2-x=0 x(x-1)=0 x=0 or x=1 Y y=x D ρ = c (konstan) X

  28. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2

  29. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2 • Perhitungan Volume Elemen volume dV = z dxdy Volume: Z Z= f(x,y) Y D X

  30. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2

  31. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2 Example • Hitung volume benda yang dibatasi 2x+3y+z = 6 dioktanpertama! Z 6 z = 6 – 2x – 3y Y 2 3 X

  32. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2

  33. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2 Example • Hitung volume bendadioktanpertama yang dibatasi z=y, y=x2dan x=y2 Y Z y=x2 x=y2 y=x1/2 x=0 y=x2 x=1 z = y X Y z = y X y=x2 x=y2 x=y2 y=x2

  34. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2

  35. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2 • PerhitunganLuasPermukaanKulit Elemenluaspermukaan/ kulit: Z Z= f(x,y) k = ? Luaspermukaan/ kulit: Y X

  36. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2 Example • Hitungluaspermukaanbidang 3x + 2y + z = 6 dioktan I Z Y 3 3x + 2y = 6 y = (6-3x)/2 z = 6 - 3x – 2y X Y 2 X

  37. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2

  38. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2 SistemKoordinat Polar/ Kutub • Transformasisistemkoordinatkartesiuskesistemkoordinat polar: x = r cos θ y = r sin θ Y x P(x,y) = P(r,θ) r y θ X O

  39. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2 NilaiJacobian

  40. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2 Example • Hitungluasdaerah yang dibatasi x2 + y2 = 4 Y SistemKoordinatKartesius X 2 SistemKoordinat Polar -2 b 2π r 2

  41. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2 Example • Hitungmomeninersiaterhadaptitikpusatdari lamina homogen x2 + y2 = a2 diatassumbu x • Sistemkoordinatkartesius: x2+y2=a2 -a a

  42. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2 Integral RangkapTiga Z ∆zk f(x,y,z) ∆yk ∆xk Y Diintegralkanthd z denganmenganggapx,ykonstan X Diintegralkanthd y denganmenganggap x konstan

  43. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2

  44. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2 Aplikasi Integral LipatTiga • Perhitungan Volume Z Elemen volume: dV = dxdydz Volume: ∆zk ∆yk ∆xk Y X

  45. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2 Example • Hitung volume benda yang dibatasitabung x2 + z2 = 4, bidang XOZ, bidang y=x, bidang XOY yang terletakdioktan I. Z Y Tabung x2 + z2 =4  z=√4-x2 y = x Bid Y=X Bidang XOZ  y = 0 X X 2 Y Bid XOY  z =0

  46. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2

  47. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2 • Perhitungan Massa ρ = ∫(x, y, z) = rapatmassa Elemenmassa: dM= ρdxdydz Massa: Z dz dy dx Y X

  48. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2 • PerhitunganPusat Massa/ TitikBerat • Momenterhadapbidang: TitikBerat:

  49. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2 Example • Hitungtitikberatbendahomogen yang dibatasi z=1-x2, bid XOY, bid YOZ, bid XOZ dan bid y=2 yang terletakdioktan I! Z z = 1-x2 Bidang XOZ y = 0 y = 2 Y 1 2 Bidang XOY z = 0 X

  50. JurusanTeknikSipilMatematika III (TS 4353) FakultasTeknikSipildanPerencanaanUniversitas Kristen PetraBab2

More Related