„Topologie“ - Wiederholung der letzten Stunde

1. „Topologie“ - Wiederholung der letzten Stunde

2. Punkt Nachbarschaft Punktmengentopologie • Ausgangspunkt: Eine Menge S und die Menge allerTeilmengen von S (die Potenzmenge P(S) ) • Ein topologischer Raum besteht aus einer Menge S und einer Menge von Teilmengen von S (nicht notwendig aller), den Nachbarschaften. Dabei gilt: T1: Jeder Punkt x  S liegt in einer Nachbarschaft von S. T2: Der Durchschnitt zweier Nachbarschaften eine Punktes x  S enthält eine Nachbarschaft von x.

3. Beispiele Punkt • Die offene Kreisscheibein der euklidischen Ebene • Menge aller Punkte, die durch einen Kreis begrenzt werden, aber nichtauf demselben liegen • punktierte Linie: offen • durchgezogene Linie: geschlossen • Beachte: T2 ist erfüllt • Der Durchschnitt zweier Nachbarschaften eines x  S enthält eine Nachbarschaft von x. OffeneKreisscheibe

4. Weitere ( teilweise „pathologische“) Beispiele • Die diskrete Topologie von S: • S und die Menge aller Teilmengen von S • die kleinste Nachbarschaft von x ist {x}(„Einzimmerappartment“, daher der Name „diskret“) • Die indiskrete Topologie • S selbst ist die einzige Nachbarschaft von S • die offenen Intervalle (a,b) in der Menge S der reellen Zahlen als Nachbarschaften (S = R) • die offenen Kugeln in S = R3

5. Im folgenden stets: S sei ein topologischer Raum, XS, x S x ist nahe an X, falls jede Nachbarschaft von x einen Punkt von X enthält. X ist offen, wenn jeder Punkt y  X eine Nachbarschaft hat, die ganz in X ist. X ist geschlossen, wenn X alle nahen Punkte enthält. C = {(x,y) | x2 + y2 < 1} sei die offene Kreisscheibe um den Ursprung mit Radius 1. Nicht nahe nahe Nähe, Offen + Geschlossen geschlossen offen

6. Der Abschluß einer Teilmenge X S ist die Vereinigung von X mit allen nahen Punkten.Notation: X¯ Komplement: X‘ Das Innere von X ist die Menge aller Punkte von X, die nicht zugleich nahe Punkte von X‘ sind. Notation: X° Die Grenze (oder der Rand) von X ist die Menge aller Punkte, die nahe zu X und zugleich zu X‘ sind. Notation: X Es gilt: X = X¯ \ X° (mengentheor. Diff.) Der „Rand“ einer offenen Kreisscheibe ist der Kreis (wie zu erwarten) Der Rand oder die Grenze

7. Das Innere von S Die Menge S Abschluß von S Rand von S Beispiele

8. Eine topologische Transfor-mation (Homeomorphismus) oder eine elastische Verformung bildet Nachbar-schaften auf Nachbarschaften ab. Ferner ist jede Nachbarschaft Bild eine Nachbarschaft. Topologische Eigenschaften sind die Invarianten topologischer Abbildungen. Euklidische Topologie äquivalent nicht äquivalent Zeugen Topologische Eigenschaften

9. nicht zusammenängend zusammenhängend Ein Punktmenge X heißt zusammenhängend, wenn für jede Partition (disjunkte Zerlegung) in nichtleere Teilmengen A und B gilt: Entweder enthält A einen Punkt nahe an B oder umgekehrt. wichtiger Punkt für den schwierigen Fall „A oberer Kreis, B unterer Kreis“ Zusammenhang (I)

10. Ein Pfad ist homeomorphes Bild (entsteht durch elastische Verformung aus) einer geraden Kante. Eine Menge X eines topologischen Raumes heißt (pfad-) zusammenhängend, wenn jedes Paar von Punkten durch einen Pfad verbunden werden kann, der ganz in X liegt. (Für Flächen mit „vernünfti-gen“ Grenzen äquivalent zu Definition auf voriger Folie) Zusammenhang (II) elastischeVerformung Pfadzusammenhang

11. X sei eine Punktmenge der Euklidischen Ebene mit der Standardtopologie (offene Kreisscheiben).Die Regularisierung von X ist der Abschluß des Inneren von Xreg(X) = X°¯ Ergebnis ist ein rein flächenhaftes Objekt (ohne Beimengung von Punkten und Linien, die nicht zur Flächenbildung beitragen) Regularisierung X Abschluß Inneres reg(X)

12. Eine Tesselation ist eine vollständige und überlappungsfreie Zerlegung der euklidischen Ebene in flächenhafte Objekte (Maschen). vollständig: jeder Punkt ist Element mindestens einer Masche überlappungsfrei: kein Punkt liegt im Inneren zweier Maschen Tesselation

13. Landkarten sind Tesselationen mit folgenden Eigenschaften: a) jede Masche ist der geschlossenen Kreisscheibe topologisch äquivalent b) die Aggregation aller inneren Maschen ist der geschlossenen Kreisscheibe topologisch äquivalent Beachte: zu jeder Landkarte gehört eine unbeschränkte Masche „Außen“ - die einzige Masche, die nicht der geschlossenen Kreis-scheibe äquivalent ist Landkarten

14. Einschränkungen • Um die Mathematik zu vereinfachen, sind in Landkarten folgende Fälle zunächst nicht vorgesehen: • Inseln (z.B. Berlin in Brandenburg) • Auseinander liegende „Kontinente“: die Aggregation Grün ist nicht zusammenhängend • MehrereKontinente, die sich in genau einem Punkt berühren • Isthmen: linienhafte Verbindungen zwischen auseinander liegenden MaschenKontinenten, z.B. Hindenburgdamm/Sylt • Hinweis: Blau ist Außen, Grün ist Innen • Übung: Zeigen Sie die Verstöße gegen a) und b) unter Verwendung der Definition der topologischen Äquivalenz.

15. Topologische Beziehungen in Landkarten • Adjazenz von Knoten und Kanten • Adjazenz von Kanten und Maschen • Adjazenz von Kanten und Kanten • Adjazenz von Maschen und Maschen

16. Geometreisch-Topologische Datenstrukturen für Landkarten • Problem: Die Topologie kann im Prinzip aus der Geometrie hergeleitet werden • Option: „Wieviel“ Topologie wird explizit repräsentiert?

17. Repräsentationen von Landkarten 1. Spaghetti-Struktur - nur Geometrie - keine Topologie

18. Flächen: A: 2.0 0.0 5.0 1.0 7.0 3.0 5.0 4.0 1.0 1.0 B: 5.0 4.0 7.0 3.0 7.0 6.0 5.0 6.0 C: 5.0 4.0 5.0 6.0 5.0 7.0 0.0 3.0 1.0 1.0 (5.0 7.0) (5.0 6.0) (7.0 6.0) C B (5.0 4.0) (0.0 3.0) (7.0 3.0) A (5.0 1.0) (1.0 1.0) (2.0 0.0) x y Spaghetti

19. UML-Diagramm für die Spaghetti-Struktur geordnete Folgevon Koordinaten Paare von Koordinaten [0,0,1,0,1,1,0,1] [0,0,1,1,0,1,1,0]

20. Flächen: Spaghetti (Komposition von Punktobjekten) A: P1 P2 P3a P4a P5a B: P4b P3b P6 P7b C: P4c P7b P8 P9 P5c P8 P7b P7c P6 B C P4c P4b Punkte: P4a P3b P9 P1 2.0 0.0 P2 5.0 1.0 P3a 7.0 3.0 P3b 7.0 3.0 P4a 5.0 4.0 P4b 5.0 4.0 P4c 5.0 4.0 ........... P3a A P5c P2 P5a P1

21. UML-Diagramm für Spaghetti-Struktur mit Punkt-Objekten Masche Komposition 1..1 n {geordnet} Punkt

22. 2.0, 5.0 3.0, 6.0 7.0, 2.0 Vor- und Nachteile • Vorteile: • bequem für Flächenberechnung • gut für Graphikprogramme • Zeichnen von Polygonen • Nachteile: • Topologie nur implizit • fehleranfällig • wenig änderungsfreundlich • Beispiel: Korrektur von Punktkoordinaten P1 P2 P1 P3 P5 P4

23. Typischer Fehlerfall für Spaghetti: Änderung der Koordinaten eines gemeinsamen Punktes vorher nachher

24. Punktobjekte ohne Redundanz Flächen: A: P1 P2 P3 P4 P5 B: P4 P3 P6 P7 C: P4 P7 P8 P9 P5 P8 P7 P6 B Punkte: C P4 P1 2.0 0.0 P2 5.0 1.0 P3 7.0 3.0 P4 5.0 4.0 P5 1.0 1.0 P6 7.0 6.0 ............................. P3 P9 A P5 P2 P1

25. Masche 1..n n {geordnet} Punkt UML-Diagramm für Spaghetti-Struktur mit Punkt-Objekten ohne Redundanz Beachte: Redundanzfreiheitkann durch dies UML-Diagrammnicht erzwungen werden. Aggregation

26. Knoten-Maschen-Struktur P8 Außen Kanten: E9 E7 P7 E1 P1 P2 A Außen E2 P2 P3 A Außen E3 P3 P4 A B E4 P4 P5 A C E5 P5 P1 A Außen E6 P3 P6 B Außen .............................................. E10 P6 E8 B E6 C P4 P3 P9 E3 E4 A E11 E2 P5 P2 Knoten: E5 E1 P1 P1 2.0 0.0 P2 5.0 1.0 .............................................. Kante End- knoten linke Masche Anfangs- knoten rechte Masche

27. UML-Diagramm für die Knoten- und Kantenstruktur Masche 2 begrenzt 3..* neu Kante Topologie explizit 2..* begrenzt 2 Knoten 1 Redundanzfreiheit wirderzwungen Geometrie 1 Punkt

28. Vorteile: Geometrie ist redundanzfrei Topologie ist explizit bei Änderungen können Fehler leichter vermieden werden Nachteil der Kantenumring ist nicht direkt gegeben, sondern muß berechnet werden Lösung: Kanten mit Flügeln Vor- und Nachteile der Knoten- und Kanten-Struktur