2. 上和與下和。

1. 一、黎曼和與面積 1.黎曼和。 2.上和與下和。 3.範例：求 f(x)=x2與 y=0，x=0 及 x=1 所圍區域面積。 4.黎曼和與曲線下的面積。 5.範例：求 f(x)= x2+1 與 y=0，x=0 及 x=1所圍區域面積。 點擊數字(1~5)選取觀看內容，或空白處按右鍵選「結束放映」可回「丙、積分」

2.  1. 黎曼和 y=f(x) 設將區間 [a,b] 分割成 n 份，其 分割點分別為 x0 , x1 , x2 , … , xn， … … 且 a=x0<x1<x2<…<xn=b， x 若在第i 區間 [xi1 , xi] 中任取一點 i，則 對應於分割點 x0 , x1 , x2 , … , xn之黎曼和。 注意：集合 P={x0 , x1 , x2 , … , xn} 稱為 [a,b] 的一個分割。 The end 空白處按右鍵選「結束放映」可回「一、黎曼和與面積」

3. 2. 上和與下和 設 P={x0 , x1 , x2 , … , xn}為區間 y=f(x) [a,b] 的一個分割，  令mk與 Mk  … … 分別為 f(x) 在第k 區間 [xk1 , xk] x 中的最小值與最大值，則 若函數 y=f(x) 在閉區間 [a,b] 上，f(x)0， 且 y=f(x) 與 x=a，x=b及 x 軸所圍成區域面積為 S，  下和 L(P) ≦ S≦ 上和 U(P)。 The end 空白處按右鍵選「結束放映」可回「一、黎曼和與面積」

4. y x O 3. 範例 設 f(x)=x2 的圖形與直線 y=0，x=0 及 x=1 所圍成的 區域 R ，將閉區間 [0,1] 等分成 n 個線段後， (1) 求上和Un與下和Ln。 (2) 求區域 R 的面積。 解：(1)上和 Un(藍色長條面積和 ) x=1 y=f(x)=x2 … …      還有2頁 空白處按右鍵選「結束放映」可回「一、黎曼和與面積」

5. y x O 下和 Ln (紅色長條面積和 ) x=1 y=f(x)=x2 … …      To be continued 空白處按右鍵選「結束放映」可回「一、黎曼和與面積」

6. y y y x x x O O O (2) x=1 x=1 x=1 y=f(x)=x2 y=f(x)=x2 y=f(x)=x2 … … … … n 條紅色長條面積和 ≦所求綠色面積 ≦ n 條藍色長條面積和 The end 空白處按右鍵選「結束放映」可回「一、黎曼和與面積」

7. 4. 黎曼和與曲線下的面積 若函數 y=f(x) 在閉區間 [a,b] 上，f(x)0，欲求 y=f(x) 與 x=a，x=b及 x 軸所圍區域面積有下列三步驟： 1.將區間 [a,b] 分割成 n 等分。 2.令 f(x) 在區間 [xi1 , xi] 內的最小值為 mi，最大值為 Mi， 3.下和 Ln ≦ 所圍區域面積≦ 上和 Un。 則由夾擠定理得區域面積=。 To be continued 空白處按右鍵選「結束放映」可回「一、黎曼和與面積」

8. y y y x x x O O O 說明： y=f(x) y=f(x) y=f(x) … … … … a a a b b b n 條紅色長條面積和 ≦所求綠色面積 ≦ n 條藍色長條面積和 The end 空白處按右鍵選「結束放映」可回「甲、黎曼和與面積」

9. y x O 5. 範例 設 f(x)= x2+1，y=0，x=0 及 x=1所圍成的區域 R 。 (1) 將閉區間 [0,1] 等分成 n 個線段後，求下和與上和。 (2) 求區域 R 的面積。 解：(1)下和 Ln(紅色長條面積和 ) y=f(x)=x2+1 x=1 … …       還有 2頁 空白處按右鍵選「結束放映」可回「一、黎曼和與面積」

10. y x O 上和 Un (藍色長條面積和 ) y=f(x)=x2+1 x=1 … …      To be continued 空白處按右鍵選「結束放映」可回「一、黎曼和與面積」

11. y y y x x x O O O (2) y=f(x)=x2+1 y=f(x)=x2+1 y=f(x)=x2+1 x=1 x=1 x=1 … … … … n 條紅色長條面積和 ≦ n 條藍色長條面積和 ≦所求綠色面積 The end 空白處按右鍵選「結束放映」可回「一、黎曼和與面積」