1 / 19

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss elimináció, Cramer-szabály Dr. Kovács Sándor DE GVK Gazdaságelemzési és Statiszikai Tanszék. Lineáris egyenletrendszerek. Egyismeretlenes egyenletrendszerek megoldása:. Lineáris egyenletrendszerek.

fawzi
Download Presentation

Lineáris egyenletrendszerek

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Lineáris egyenletrendszerek megoldásaGauss elimináció, Cramer-szabályDr. Kovács SándorDE GVKGazdaságelemzési és Statiszikai Tanszék

  2. Lineáris egyenletrendszerek Egyismeretlenes egyenletrendszerek megoldása:

  3. Lineáris egyenletrendszerek Példa: Az édesanya jelenleg 27 évvel idősebb a lányánál. A lány életkora 6 év múlva az édesanya jelenlegi korának az ötöde lesz. Hány éves a lány? Hol van az édesapa most?

  4. Lineáris egyenletrendszerek szimbólumok az együtthatók, valós számok Definíció: Az alábbi egyenletek halmazát lineáris többismeretlenesegyenletrendszernek nevezzük: szimbólumok az ismeretlenek szimbólumok valós számok

  5. Lineáris egyenletrendszerek ellenkező esetben inhomogén az egyeneletrendszer. Ha egy egyenletrendszernek nincs megoldása, akkor ellentmondásos, egyébként megoldható. Ha pontosan egyetlen megoldás létezik, akkor reguláris, ha több megoldás van akkor irreguláris. Két egyenletrsz. ekvivalens, ha megoldásaik azonosak megjegyzés: A lineáris egyenletrendszert homogénnak nevezzük ha

  6. Lineáris egyenletrendszerekmegoldása Gauss eliminációval Tétel: Minden lin. egyenletrsz. véges sok lépésben vele ekvivalens trapéz alakú lineáris egyenletrendszerré alakítható. Az egyenletrsz. pontosan akkor oldható meg, ha a hozzátartozó trapéz alakú lineáris egyenletrendszer azon egyenleteiben, amelynek a bal oldalán csupa 0 áll, a jobb oldali konstansok is 0-val egyenlőek.

  7. Gauss elimináció menete Legyen adott egy (1) alakú lin. egyenletrsz. Tegyük fel, hogy . Az 1. egyenletet osszuk el . Az 1. egyenlet a 2. egyenlethez adjuk hozzá, így a 2. egyenletben az ismeretlen nem szerepel. Hasonlóan az i-edik egyenlethez adjuk hozzá az 1. . Ezen ekvivalens átalakításokkal az alábbi egyenletrsz.hez jutunk:

  8. Gauss elimináció menete Tekintsük a maradék (3) alakú egyenletrsz.-t, amely k-1 egyenletből és n-1 ismeretlenből áll: Ha (3) megoldható, akkor (2) is, és ha megoldása (3)-nak, akkor megoldásai (2)-nek is hozzávéve az értéket.

  9. Gauss elimináció menete Az eljárást megismételjük a (3) egyenletrendszeren, azaz az 1. egyenletet osszuk el . Az 1. egyenlet a 2. egyenlethez adjuk hozzá, így a 2. egyenletben az ismeretlen nem szerepel. Hasonlóan az i-edik egyenlethez adjuk hozzá az 1. . Ezen ekvivalens átalakításokat addig ismételjük míg a (4) alakú egyenletrszerhez jutunk:

  10. Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer megoldását: Példa Gauss eliminációra Az ismeretlenek együtthatóit és a jobboldali konstansokat az alábbi egyszerű alakba rendezzük:

  11. Ekvivalens átalakításokkal megoldjuk az egyenletrendszert Példa Gauss eliminációra Az 1. sor 2-szeresét a 2. sorhoz adjuk, az új 2. sort leírjuk A 3. sor 6 szorosához adjuk a 2. sor 5 szörösét, az új 3. sort leírjuk A 3. sorból kivonjuk az 1. sort, az új 3. sort leírjuk

  12. Határozzuk meg az egyenletrendszer megoldását: Példa Gauss eliminációra Megoldás:

  13. Tekintsük az alábbi n egyenletből és n darab ismeretlenből álló lineáris egyenletrendszert: Cramer-szabály Legyen A az egyenletrendszer együtthatómátrixa, és tegyük fel, hogy A determinánsa nem 0. Ekkor ahol annak az mátrixnak a determinánsa, amit úgy kapunk, hogy az A mátrix i-edik oszlopát kicseréljük

  14. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert: Példa Cramer-szabályra Először kiszámoljuk az A determinánsát: Mivel A nem 0 ezért megoldható Cramer-szabállyal az egyenletrsz.

  15. A vektort kicseréljük az A megtrix megfelelő oszlopaival, az így kapott mátrix determinánsával kapjuk a megoldásokat: Példa Cramer szabályra

  16. A megoldások: Példa Cramer szabályra

  17. Egy vállalkozó 4 növényt termel, melyek fajlagos (1 ha-ra eső) erőforrás szükséglete, illetve a felhasznált erőforrások : Példa Gauss Eliminációra Hány hektáron termeljék az egyes növényeket? Oldjuk meg a feladatot Gauss eliminációval, írjuk fel az egyenlet- Rendszer mátrixos alakját!

  18. A vállalkozó a 4 növényt x,y,z,v hektáron termeli, ekkor a felhasznált erőforrásoknak egyeznie kell a kapacitásával: Példa Gauss Eliminációra

  19. A feladat megoldása: A 2. sor – 2 x 1. sor Példa Gauss Eliminációra A 3. sor – 1. sor 3 x 3. sor – 2 x 2. sor Megoldás: X=1;Y=2;Z=3;V=1

More Related