Download
1 / 48
530 likes | 1.12k Views
Metodo di esaustione. Si fa risalire ad Eudosso di Cnido. Eudosso: matematico del IV secolo a. C. divenne il pupillo di Platone (dal quale poi si separò); a lui viene attribuita la teoria delle proporzioni. Metodo di esaustione. non è un procedimento euristico;
E N D
Metodo di esaustione Si fa risalire ad Eudosso di Cnido Eudosso: matematico del IV secolo a. C. divenne il pupillo di Platone (dal quale poi si separò); a lui viene attribuita la teoria delle proporzioni D. Zamburlini - Metodo di esaustione
Metodo di esaustione non è un procedimento euristico; (non è utile a trovare il risultato); si serve di una reductio ad absurdum; evita l’uso del passaggio al limite (o degl’infinitesimi o dell’infinito); D. Zamburlini - Metodo di esaustione
Metodo di esaustione pro: formalmente ineccepibile; (ecco perché piaceva ad Archimede) contro: sostanzialmente presuppone la conoscenza del risultato; (ecco perché non piace più ai moderni che preferiscono il passaggio al limite) D. Zamburlini - Metodo di esaustione
Esempio : area del cerchio A è l’area, r è il raggio del cerchio D. Zamburlini - Metodo di esaustione
L’area di un poligono regolare di n lati è: pn è il perimetro, an è apotema D. Zamburlini - Metodo di esaustione
apotema perimetro L’area di un poligono regolare di n lati è: pn è il perimetro, an è apotema apotema D. Zamburlini - Metodo di esaustione
apotema perimetro L’area di un poligono regolare di n lati è: pn è il perimetro, an è apotema apotema apotema perimetro D. Zamburlini - Metodo di esaustione
L’area di un poligono regolare di n lati è: pn è il perimetro, an è apotema ..ma all’aumentare del numero n dei lati.. Pn si avvicina alla lunghezza della circonferenza (il poligono è inscritto) an si avvicina alla lunghezza del raggio D. Zamburlini - Metodo di esaustione
..quindi la formula: ..diventa l’area del cerchio: D. Zamburlini - Metodo di esaustione
..in definitiva.. ..dove c è la lunghezza della circonferenza ed r è il raggio del cerchio. D. Zamburlini - Metodo di esaustione
Archimede fa una serie di premesse D. Zamburlini - Metodo di esaustione
…controlla che i poligoni inscritti “invadano” completamente il cerchio D. Zamburlini - Metodo di esaustione
…controlla che i poligoni inscritti “invadano” completamente il cerchio D. Zamburlini - Metodo di esaustione
…controlla che i poligoni inscritti “invadano” completamente il cerchio D. Zamburlini - Metodo di esaustione
… vediamo come… D. Zamburlini - Metodo di esaustione
… isola un segmento circolare.. … chiamiamola lunula del quadrato o L4 D. Zamburlini - Metodo di esaustione
… considera anche l’ottagono… … quelle grigie sono le lunule dell’ottagono o L8 D. Zamburlini - Metodo di esaustione
… confronta le lunule… … il grigio si è ridotto… D. Zamburlini - Metodo di esaustione
… costruisce … …due L8 simmetriche… D. Zamburlini - Metodo di esaustione
…e vede… … che 4 L8 sono contenute in una sola L4! D. Zamburlini - Metodo di esaustione
… ne segue.. …che 8 L8 sono contenute in 2 L4! D. Zamburlini - Metodo di esaustione
… ne segue ancora che.. … l’area residua si va più che dimezzando.. D. Zamburlini - Metodo di esaustione
… ne segue.. … l’area residua si va più che dimezzando.. ..e diventa sempre più piccola (quanto si vuole) D. Zamburlini - Metodo di esaustione
… conclusione posso sempre trovare un poligono inscritto (celeste).. …la cui area si avvicina al cerchio (quanto si vuole) e la differenza diventa piccola a piacere D. Zamburlini - Metodo di esaustione
..considero cerchio e triangolo* *il triangolo ha: base = circonferenza, altezza = r D. Zamburlini - Metodo di esaustione
..è vera una sola di queste possibilità.. D. Zamburlini - Metodo di esaustione
..sia, se possibile, maggiore il cerchio.. D. Zamburlini - Metodo di esaustione
..si può dire che esiste un quadratino azzurro.. D. Zamburlini - Metodo di esaustione
..allora esiste un poligono inscritto di 4n lati (che riduciamo al triangolo azzurro) D. Zamburlini - Metodo di esaustione
..e concludiamo che.. D. Zamburlini - Metodo di esaustione
..e ora la reductio ad .. D. Zamburlini - Metodo di esaustione
..e ora la reductio ad absurdum.. D. Zamburlini - Metodo di esaustione
..questa possibilità.. ..è negata!!! D. Zamburlini - Metodo di esaustione
..considerando i poligoni regolari di 4n lati, circoscritti al cerchio si elimina anche la seconda possibilità. D. Zamburlini - Metodo di esaustione
..ergo.. D. Zamburlini - Metodo di esaustione
Trattato Misura del cerchio – Basilea 1544 D. Zamburlini - Metodo di esaustione
..noi moderni con l’analisi D. Zamburlini - Metodo di esaustione
..noi moderni con l’analisi Considerati i poligoni regolari P4, P8, P16, .. inscritti (o circoscritti) in un cerchio C di raggio r, le cui aree valgano A4, A8, A16 … l’area A del cerchio è data da… D. Zamburlini - Metodo di esaustione
..noi moderni con l’analisi Considerati i poligoni regolari P4, P8, P16, .. inscritti (o circoscritti) in un cerchio C di raggio r, le cui aree valgano A4, A8, A16 … l’area A del cerchio è data da… D. Zamburlini - Metodo di esaustione
fine D. Zamburlini - Metodo di esaustione
