Metodo di risoluzione

1. Metodo di risoluzione • Per risolvere la disequazione ax2 + bx+ c > 0 oppure ax2 + bx+ c < 0 con a > 0: • consideriamo la parabola y = ax2 + bx + cassociata al trinomio al primo membro • troviamo le sue intersezioni con l’asse x risolvendo l’equazione ax2 + bx+ c = 0; si possono presentare i seguenti casi a seconda del valore del discriminante: • Δ > 0: ci sono due intersezioni x1 e x2 con l’asse x ed il trinomio è • positivo per x < x1 o x > x2 • negativo per x1 < x < x2 • Δ = 0: c’è una sola intersezione x1 con l’asse delle x ed il trinomio è: • sempre positivo tranne per x= x1 dove si annulla • Δ < 0: non ci sono intersezioni con l’asse x ed il trinomio è: • sempre positivo • scegliamo l’intervallo delle soluzioni a seconda del verso della disequazione: • nella disequazione ax2 + bx+ c > 0 ricerchiamo gli intervalli di positività • nella disequazione ax2 + bx+ c < 0 ricerchiamo gli intervalli di negatività.

2. Metodo di risoluzione ESEMPI 1. Calcoliamo il discriminante e, se è positivo o nullo, troviamo le radici dell’equazione associata: Disegniamo la parabola corrispondente: Scegliamo l’intervallo delle soluzioni (stiamo cercando gli intervalli in cui il trinomio è positivo):

3. Metodo di risoluzione 2. Calcoliamo il discriminante: Poiché Δ < 0, la parabola non interseca l’asse delle ascisse. II trinomio è sempre positivo e quindi, poiché stiamo cercando gli intervalli in cui il trinomio è negativo, la disequazione non è mai verificata:

4. Metodo di risoluzione 3. Cambiamo i segni e il verso: Calcoliamo il discriminante: La parabola interseca l’asse x in un solo punto (corrispondente al vertice) dove assume valore zero ed è positiva in tutti gli altri punti. Poiché stiamo cercando gli intervalli in cui il trinomio è positivo (abbiamo cambiato segni e verso), la disequazione è verificata

5. Disequazioni frazionarie Ricordiamo che in una disequazione frazionaria non si devono mai eliminare i denominatori dei quali non si conosce il segno. Una volta scritta la disequazione nella forma oppure • studiamo i segni dei fattori che si trovano al numeratore e al denominatore • costruiamo la tabella dei segni • deduciamo il segno finale della frazione in base alle regole sul prodotto dei segni • individuiamo l’insieme delle soluzioni.

6. Disequazioni frazionarie ESEMPIO deve essere x ≠ 0 ∧x ≠ 2 Il dominio della disequazione è R − {0, 2}. Studiamo il segno dei polinomi al numeratore e al denominatore: Poiché Δ < 0, la disequazione è verificata L’equazione associata ha soluzioni x = 0 ∨x = 2, quindi la disequazione è verificata se x < 0 ∨x > 2 continua

7. Disequazioni frazionarie Costruiamo la tabella dei segni: 0 2 R segno di x2 + 3 + + + segno di x2 − 2x + − + frazione + − + S L’insieme delle soluzioni è quindi l’intervallo 0 < x < 2

8. Disequazioni di grado superiore al secondo Qualunque disequazione di grado superiore al secondo nella forma E(x) ≥ 0 oppureE(x) ≤ 0 si risolve scomponendo in fattori al più di secondo grado l’espressione E(x) e studiando poi il segno di ciascuno di tali fattori; se E(x) non è scomponibile, la disequazione non può essere risolta per via algebrica. ESEMPIO Scomponiamo il polinomio al primo membro: 3 R Studiamo il segno di ogni fattore del prodotto: segno di x2 + 1 + + segno di x − 3 − + prodotto − + S

9. Sistemi di disequazioni Un sistema di disequazioni è verificato nell’insieme intersezione delle soluzioni di ciascuna disequazione; conviene quindi: • risolvere ciascuna disequazione • costruire la tabella delle soluzioni in modo da mettere in evidenza le eventuali intersezioni. ESEMPIO S1 Risolviamo la prima disequazione: S2 Risolviamo la seconda disequazione: 8 R 0 −1 Tabella delle soluzioni: S1 S2 Il sistema è verificato se 0 ≤ x ≤ 8 S