Recorduri in calcul lui PI

1. Recorduri in calcullui PI GrupScolar de IdustireUsoaraCisnadie Profesor: Florentina Rotaru

2. Numarul Pi – denumire si studiere • Numărul Pi este o constanta matematica a cărei valoare este egala cu raportul dintre circumferința si diametrul oricărui cerc intr-un spațiu euclidian, sau cu raportul dintre aria unui cerc si pătratul razei sale. Pi este una dintre cele mai importante constante matematice, fiind conținuta in multe formule de matematica, fizica, inginerie. Numărul pi este un număr irațional, a cărui valoare este egala, in varianta scurta, cu 3,14. • Originea literei grecesti “pi”: prima litera a cuvintelor grecesti “perifereia” (periferie) si “perimetros” (perimetru) Pi = C/d Alt nume pentru numarul pi: “Constanta lui Arhimede“, deoarece Arhimede a fost primul care a incercat sa calculeze valoarea lui pi cu exactitate (a observat ca aceasta marime poate fi limitata superior si inferior inscriind cercurile in poligoane regulate si calculand perimetrul poligoanelor exterioare si respectiv inferioare).

3. Proprietati ale numarului pi • este transcendent (i.e. nu exista niciun polinom cu coeficienți raționali care sa-l aibă pe pi ca rădăcina), de unde rezulta următoarea proprietate • este irațional (i.e. nu poate fi scris ca raport a doua numere întregi) – iraționalitatea sa a fost demonstrata complet abia in secolul 18. • Are un număr infinit de zecimalecare nu conțin secvențe ce se repeta; • nu este construibil geometric(i.e. nu se poate construi cu rigla si compasul un pătrat cu aria egala cu ceaa unui cerc dat – aceasta este o problema de geometrie veche si celebra, cunoscuta sub numele de “Cuadratura cercului“, care este o problema fara solutie). Sirul infinit dezecimale a fascinat numeroși matematicieni, iar in ultimele secole s-au depus eforturi semnificative pentru a investiga proprietățile acestui număr; totuși, in ciuda muncii analitice si a calculelor realizate pe supercalculatoare care au calculat 10 mii de miliarde de cifre ale lui pi, nu s-a descoperit niciun șablon identificabil in cifrele găsite. Cifrele numărului pi sunt disponibile pe multe pagini web si exista programe software pentru calcularea lui pi cu miliarde de cifre precizie.

4. Istoric al numarului Pi • A şaisprezecea literă din alfabetul grecesc a reuşit să ţină aprinsă flacăra dezbaterilor timp de mii de ani. Oameni de ştiinţă din întreaga lume şi am putea spune chiar din toate timpurile - matematicieni, fizicieni, filosofi – au încercat să descifreze enigma din jurul aparent banalei constante matematice Pi. • Povestea lui Pi începe însă în urmă cu aproximativ 4.000 de ani. Cu două milenii înainte de Hristos, babilonienii foloseau Pi ca o constantă matematică cu valoarea de 3,125 – o constantă obţinută prin calcularea perimetrului unui hexagon înscris într-un cerc. Papirusul Rhind (aproximativ anul 1650 î.Hr.) – o lucrare amplă şi fundamentală din Egiptul antic cu probleme şi tabele matematice – arată că vechi egipteni foloseau o valoare de aproximativ 3,16045. aveau însă să treacă 1400 de ani pentru ca o minte luminată să găsească o metodă prin care să determine cu acurateţe valoarea lui Pi pe care o cunoaştem astăzi. • Cea mai veche utilizare atestata a unei bune aproximări a lungimii uneicircumferințe în raport cu raza este 3+1/7, valoare folosita la proiectele piramidelor dinVechiul Regatal Egiptului. Marea Piramida din Giza, construita în2550-2500 î.e.n., a fost construita cu un perimetru de 1.760cubii o înălțime de 280 cubii; raportul 1.760/280 2 . Egiptologi ca profesorii Flinders Petrie si I.E.S Edwardsau arătat ca aceste proporții circulare au fost alese deliberatde către scribii si arhitecții Vechiului Regat, din motive simbolice.Aceleași proporții apotropaice fuseseră utilizate si la Piramida de la Meidum din anul 2600 î.e.n. Aceste aplicații au fost relevate arheologic, întrucât nu exista dovezi scrise din perioada respectiva. Istoria veche a lui , în documente scrise urmează dezvoltarea matematicii în ansamblul ei. • Unii autori împart progresul în trei perioade: perioada veche, în care a fost studiat geometric, epoca clasica de după dezvoltarea analizei matematice în Europa în preajma secolului al XVII-lea, si era calculatoarelor numerice.

5. Perioada geometrica • Primele documente ce dovedesc aproximări ale acestui număr datează din preajma anului 1900 î.e.n.; acestea sunt 25/8 (Babilon) si 256/81 (Egipt), ambeleaproximări de 1% ale valorii reale. Textul indian Shatapatha Brahmana da pentru valoarea 339/108 3,139. Biblia evreiasca pare sa sugereze, în CarteaRegilor , ca = 3, aproximare semnificativ mai slaba decât alte estimări disponibilela momentul scrierii ei (600 î.e.n.). Interpretarea pasajului este în discuție, unii considerând ca raportul 3:1 este cel între circumferința interioara sidiametrul exterior al unui bazin cu păreri subțiri, raport ce ar putea fi destul de precis, în funcție de grosimea perechilor • Aproximarea lui pi după Arhimede • Ulterior, Liu Hui a inventat o metoda rapida de calcul si a obținut valoarea aproximativa 3,1416 cu un poligon de doar 96 de laturi, profitând de faptul ca diferența de arie a poligoanelor succesive formează o progresie geometrica de factor 4. În secolul al V-lea e.n. matematicianul indian Aryabhtaa aproximat numărul pi ca3,1416; el a fost primul care a si afirmat ca este o aproximație si ca valoareaoriginala este un număr irațional; • Pe la 480, matematicianul chinez Zu Chongzhi a demonstrat ca 355/113, si a aratat ca 3,1415926 < < 3,1415927 cu ajutorul algoritmului lui Liu Hui aplicat peun poligon cu 12288 laturi. Aceasta valoare a fost cea mai precisa aproximare a lui disponibila în urmatorii 900 de ani

6. Perioada clasica • Până la începutul mileniului II, a fost cunoscut cu o precizie de mai puțin de 10 zecimale exacte. Următoarea descoperire majora în studierea lui a venit cu dezvoltarea seriilor infinite si, ulterior, cu descoperirea analizei matematice, care în principiu permite calculul lui πcu orice precizie dorita prin adăugarea oricât demultor termeni. Pe la 1400, Madhava din Sangamagramaa găsit prima astfel de serie: • Aceasta este cunoscuta astăzi sub numele des seria Madhava-Leibniz sau seriaGregory-Leibniz Legendre a demonstrat si el în 1794 ca πeste irațional. Când Leonhard Euler în 1735 a demonstrat celebra problema Basel găsirea valorii exacte a lui π • care este π2/6, el a demonstrat o profunda conexiune între si numerele prime. • Atât Legendre cât si Euler au speculat ca ar putea fi transcendent, ceea ce s-ademonstrat în 1882 de catre Ferdinand von Lindemann. S-a spus despre cartea luiWilliam Jones. O Noua introducere în matematica din1706 ca este prima în care s-a folosit litera greceasca pentru aceasta constanta,dar notatia a devenit deosebit de populara dupa ce a adoptat-o Leonhard Euler în1737. El a scris:Exista numeroase alte feluri de a gasi lungimile sau ariile unor anumite linii curbesau drepte, care ar putea facilita practica foarte mult; ca de exemplu, la cerc,diametrul este fata de circumferinta ca 1 fata de (16/5 - 4/239) -1/3(16/53- 4/2393) +... = 3.14159... = ∏

7. Era calculatoarelor • Apariția calculatoarelor numerice în secolul al XX-lea au dus la o creștere a recordurilor de calcul al lui . John von Neumannet al. au folosit ENIAC pentru a calcula 2037 de cifre ale lui π în 1949, un calcul care a durat 70 de ore. Alte mii de zecimale s-au obținut în următoarele decenii si milionul de cifre a fost depășit în 1973. Progresele nu s-au datorat doar hardware-ului mai rapid, ci si apariției unor noi algoritmi. Una dintre cele mai semnificative realizări a fost descoperirea transformatei Fourier rapide(FFT) în anii 1960, algoritm ce permite calculatoarelor sa efectueze rapid operațiuni aritmetice pe numere extrem de mari. La începutul secolului al XX-lea, matematicianul indian Srinivasa Ramanujan a descoperit multe noi formule pentru , unele remarcabile pentru eleganta si profunzimea lor matematica. • Una dintre formulele sale este seria: • si cea similara gasita defratii Ciudnovski în 1987, • care dau 14 cifre zecimale cu fiecare termen. Frații Ciudnovski au folosit aceasta formula pentru a stabili câteva recorduri de calcul al lui spre sfârșitul anilor 1980, inclusiv primul calcul cu peste un miliard (mai precis, 1.011.196.691)de cifre zecimale în 1989. Ea rămâne formula preferata pentru software-ul decalcul al lui ce rulează pe calculatoarele personale, diferita de cele folosite de supercalculatoarele care au stabilit recorduri moderne.

8. Recorduri de calcul al zecimalelorlui ∏ • 2000 I.Hr. – Egiptenii socoteau numarul pi ca fiind 16² / 9² sau 256/81, sau 3.16 cu o exactitate de o singura zecimala. • 250 I. Hr. – Filozoful grec Arhimede a fost primul care a estimat cat mai riguros numărul pi. El a realizat ca amploarea acestuia poate fi limitata înscriind cercuri in poligoane regulate si calculând perimetrele externe si interne a acestor poligoane. Folosind 96 astfel de poligoane, el a demonstrat ca 3 10/71 < ∏ < 3 10/70, adică 3.14185 – o exactitate de 3 zecimale. • Secolul al 16-lea – Ludolph van Ceulen din Germania a calculat numărul pi cu o exactitate de 35 de zecimale dar a murit înainte de a fi publicata descoperirea. Așa ca, aceasta a fost inscripționata pe piatra lui funerara. • 1706 – Astronomul englez John Machin a descoperit o formula complicata pentru aflarea cat mai exacta a numărului pi, si a calculat cu exactitate primele 100 de zecimale.

9. Recorduri de calcul al zecimalelorlui ∏ • Secole de-a rândul, matematicieni din China, India şi Arabia au descoperit noi zecimale ale constantei. • La începutul secolului al XVII-lea, matematicianul german Ludolph van Ceulen reuşise să determine 35 de zecimale ale lui Pi. • La sfârşitul secolului al XVII-lea este introdusă, în matematica europeană, noţiunea de "serii infinite”, ea fiind folosită în această perioadă pentru calcularea zecimalelor lui Pi. Isaac Newton s-a folosit de teoria sa binominală pentru a determina 16 zecimale ale lui Pi. • În 1873, matematicianul englez William Shanks a anunţat că, după 20 de ani de calcule, a aflat 707 zecimale ale constantei lui Arhimede (ulterior s-a dovedit că doar primele 527 de zecimale fuseseră corect calculate). • La începutul secolului al XX-lea, matematicianul indian Srinivasa Ramanujan a găsit o nouă metodă de calcul al lui Pi. • Până la sfârşitul secolului trecut, calculele executate de sistemele computerizate au reuşit să determine... 200.000.000.000 de zecimale ale lui Pi. Pentru că este un număr iraţional (care nu poate fi raport a două numere întregi), Pi a căpătat repede o utilizare comună pentru calculele de zi cu zi.

10. Recorduri moderne • 1873 – Matematicianul englez William Shanks s-a chinuit timp de 15 ani pentru calcularea a 707 zecimale dar din păcate a făcut o greșeala la a 528-a zecimala, rezultând ca celelalte zecimale sa fie greșite la rândul lor. • 2004 – Yasumasa Kanada din Tokyo a calculat cu ajutorul unui computer un numar de 1.24 trilioane de zecimale a numărului pi.

11. Recorduri moderne • Ianuarie 2010 Fabrice Bellard a folosit un simplu PC, pentru această operaţiune fiindu-i necesar circa 131 de zile, cu tot cu verificările necesare. Noua versiune a constantei ocupă peste un terabyte de spaţiu.Vechile recorduri au fost realizate folosindu-se supercomputere, dar Bellard susţine că metoda sa este de 20 de ori mai eficientă. Fostul record de 2,6 miliarde de zecimale a fost obţinut în august 2009 de către DaisukeTakahashi, la Universitatea Tsukuba în Japonia, în doar 29 de ore, dar a fost nevoie de un supercomputer de 2000 de ori mai puternic şi mai scump decât cel folosit de Bellard. Calculele acestea uriaşe fac parte dintr-o ramură a matematicii numită precizie aritmetică arbitrară. Este greu de determinat exact cât de lung este noul π. Fabrice însă spune că numărul în sine nu îl interesează atât de mult. „Precizia aritmetică arbitrară cu numere mari nu are o aplicaţie practică, dar unii dintre algoritmii folosiţi pot şi utilizaţi şi în altă parte”, a adăugat informaticianul. Ivan Peterson, directorul publicaţiilor de la Mathematical Association of America, a declarat că acest rezultat este doar ultimul dintr-o lungă istorie a căutării unui pi mai lung. „Chiar şi Newton a petrecut foarte mult timp folosind una dintre formulele descoperite de el pentru a mai adăuga câteva zecimale”.

12. Recorduri moderne • August 2010Un japonez si un american susțin ca au calculat primele 5 trilioane de zecimale ale constantei matematice Pi, un record in domeniu. Inginerul japonez ShigeruKondo, in vârsta de 54 de ani, s-a aliat pentru acest proiect cu studentul la Informatica din Statele Unite Alexander Yee. Pi, o constanta matematica ce reprezintă raportul dintre circumferința si diametrul oricărui cerc, începe cu 3,14159, iar numărul de cifre se crede ca este infinit. Potrivit lui Kondo, Yee a realizat programul de calcul, in timp ce el s-a ocupat de partea de hardware necesara. Pentru calcul, a fost nevoie de 90 de zile, pe un computer cu 20 de hard disk-uri externe, cu sistemul de operare Windows Server 2008R2 si microprocesoare puternice Intel. Verificarea calculelor a durat 64 de ore. Sistemul de calcul a fost realizat de japonez, din componente cumpărate de la magazinele locale si de pe Internet, costul ridicându-se la 18.000 de dolari americani. “Alexander mi-a oferit software-ul, iar eu m-am ocupat de hardware. Nu puteam ajunge la acest rezultat unul fără celălalt”, a spus Kondo, care vrea acum să îşi înregistreze performanţa în Cartea Recordurilor. Kondo spune că a fost pasionat de numărul Pi încă din liceu. El adaugă că a folosit numai 60% din capacitatea calculatorului pentru acest calcul. Estimarea sa este că ar putea oferi chiar şi 10 trilioane de zecimale pentru numărul Pi. Computerul folosit de Kendo are o capacitate a hard-disk-ului de 32 de terabiţi. Iniţial, japonezul s-a ferit să spună cât a costat computerul, “deoarece ar putea afla familia”, dar apoi a dezvăluit că a investit circa 1,5 milioane de yeni (18.000 de dolari) în această pasiune a sa pentru numărul Pi. Soţia lui Kondo, Yukiko (53 de ani), nu a fost entuziasmată de realizarea soţului său. Ea s-a plâns că, în cele trei luni, computerul a consumat foarte multă energie electrică, plătind chiar şi 200 de dolari într-o lună.

13. Un calcul util? Pentru universul observabil, ajung 39 de zecimale • Recordul lui Kondo poate fi îmbunătăţit. • Totuşi, deşi reprezentarea zecimală a ajuns la trilioane de zecimale, aplicaţii elementare cum ar fi calculul circumferinţei unui cerc necesită mai puţin de 12 zecimale. O valoare cu 11 zecimale, adică 3,14159265358, este de ajuns pentru a calcula circumferința unui cerc de dimensiunile pământului cu precizie de un milimetru. Una cu 39 de zecimale este suficientă pentru calculul oricărui cerc care încape în universul observabil cu o precizie comparabilă cu dimensiunea unui atom de hidrogen. • Configurație cu care s-a scos acest rezultat este de invidiat: doua procesoare Intel Xeon X5680 (hexacoreGulftown la 3.33 GHz), 96 GB DDR3 de la Samsung, si o placa de baza Asus Z8PE-D12. Pentru stocare a fost folosit un HDD de 1 TB de la Hitachi, destinat sistemului de operare Windows Server 2008 R2 Enterprise 64 bits si programelor aferente, plus alte 19 HDD-uri de 2 TB de la Seagate. 3 dintre ele au servit la salvarea numărului final, iar celelalte 16 la procesarea datelor intermediare.Calculul a durat un timp extrem de scurt pentru sistemul folosit: 90 de zile, cu tot cu o dubla verificare. Intre 4 mai 2010 si 3 august 2010. Iar programul folosit a fost Y-cruncher v0.5.4.9138 Alpha

14. Incercati calculul lui π 1. Pornind de la raportul dintre circumferinţa unui cerc şi diametrul acestuia 2. François Viète 1593 foarte rapidă: pi=3.141592653288... după16 iterări • Este suficient deci să luăm un obiect de formă circulară ca roata unei biciclete şi să-i măsurăm diametrul şi circumferinţa , apoi , prin calculul raportului dintre acestea obţinem numărul Pi 3. Leonhard Euler • destul de rapidă : • pi=3.1415797... după 16 iterări 3. Leonhard Euler 3. John Wallis 1655 • extrem de lentă : • pi=3.079... după 16 iterări , şi este nevoie de 136.121 iterări pentru a avea 4 şi 5 zecimale, şi 2.886.751 pentru 6 • foarte lentă: • pi=3.050... după 16 iterări

15. Memorarea cifrelor numarului pi • Chiar cu mult timp înainte ca valoarea lui pi sa fie evaluata de calculatoarele electronice, unii oameni au devenit obsedați memorarea unui număr record de cifre ale sale. • Ultimul record recunoscut de GuinnessWorl Records la memorarea cifrelor lui pi este de 67.890 de cifre si este deținut de un student chinez de 24 ani (Lu Chao), căruia i-au luat 24 de ore si 4 minute sa recite fara greșeala pana la a 67.890-a cifra zecimala a lui pi. • Exista mai multe moduri de memorare a numărului pi, iar cea mai cunoscuta metoda consta in folosirea de “pieme” (poeme pentru numărul pi) – poezii ce reprezintă numărul pi astfel incat lungimea fiecărui cuvânt (in litere) reprezintă o cifra. Exemplu de piema in limba romana: “Așa e ușor a scrie renumitul si utilul număr.” . Piemul Cadaeic Cadenza conține primele 3835 de zecimale ale lui pi. • Pe 14 mai 2004, Daniel Paul Tammet a reprodus din memorie 22.514 zecimale ale constantei matematice Pi. In iulie 2006 a acordat un interviu live, la televiziune, vorbind curat islandeza, la doar o saptamana după a început sa o invete. Orice om normal are nevoie de ani buni pentru a atinge o asemenea performanta. Filmul intitulat "Băiatul cu un creier incredibil “când pe parcursul a 5 ore a reprodus in public din memorie, in fata câtorva arbitri, 22.514 cifre zecimale corecte ale celebrei constante numerice cunoscuta ca 3,14. Puteți viziona filmul la adresa: http://www.youtube.com/watch?v=AbASOcqc1Ss&feature=related

16. Curiozitati • De ziua PI Participanţii se adună în jurul unei fel de loc sacru dedicat lui Pi, o placă din cupru pe care sunt gravate primele 100 de cifre ale numărului. Mulţi dintre aceşti pasionaţi cunosc, de altfel, pe de rost, primele 100 de zecimale. Neimpresionat, ținând cont că unul dintre modurile în care îşi petrec timpul liber constă în a se provoca în a recita cat mai multe zecimale. • La acest joc, un chinez deţine recordul. Chao Lu, un student la chimie a recitat pe de rost primele 67.890 de zecimale ale numărului Pi în 2005. Această performanţă a durat peste 24 de ore şi a necesitat peste 26 de casete video, care au transmise apoi spre validare Cărţii recordurilor Guinness. Însă chiar şi această reuşită este departe de cea a supercalculatoarelor, care au reuşit să identifice peste 1.000 de miliarde de zecimale, fără să elucideze însă misterul acestui număr care fascinează matematicienii de secole. • Ziua mondiala a numărului Pi, “Ziua Pi“: 14 martie, aleasa de americani,tradiție începuta in anul 1988, fondatorul ei fiind fizicianul Larry Shaw, cunoscut sub pseudonimul de „Printul Pi”. După cum va dați bine seama, mâncarea tradiționala a acestei zile este plăcinta, atâta timp cat ea are o forma rotunda. • Numărul pi este extrem de folositor cercetătorilor, inginerilor si designerilor. Orice • lucru care are o forma circulara sau se mișca in cercuri (roata, conserva, planeta), • implica numărul pi. Fara acest număr, nu am putea construi mașini saunu am putea • înțelege rotația planetelor.

17. Bibliografie: • http://www.scribd.com/doc/53967406/Numarul-Pi • http://ro.wikipedia.org/wiki/Pi • Alexander D. (1999). “The handbook of formulasandtables for signal processing”. CRC Press. p. 9.8. • „Sampledigits for hexa decimal digits of pi”. 6 decembrie 2002. • http://www.super-computing.org/pi-hexa_current.html. • Gourdon, Xavier; Pascal Sebah. „Collection of approximations for π”. Numbers, constantsandcomputation.http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/piApprox.html. • http://gandirelogica.blogspot.com/2011/05/numarul-pi.html • http://www.descopera.ro/stiinta/6368472-arta-infinitului-istorie-matematica-imposibil