Calcul Avancé

1. Calcul Avancé Chapitre 4 Linéarisation et optimisation sous contrainte Section 2

2. Le plan tangent à z=f(x,y) Forme cartésienne La surface définie par z=f(x,y) est considérée comme la surface de niveau W(x,y,z)=0. Le gradient de la fonction w est perpendiculaire à cette surface de niveau. L’équation du plan tangent en M(x0, y0, z0) passant par M(x,y,z) est donné par Soit

3. Le plan tangent à z=f(x,y) Linéarisation Le plan de linéarisation à la fonction f(x,y) passant par (x0,y0) est

4. Le extremums Maximums et minimums locaux Soit Si la fonction f(x,y) admet des dérivées premières et secondes autour du point (x0,y0) et qu’elles sont nulles en ce point et si en ce point D<0, alors: Maximum relatif si Minimum relatif si

5. Les points de selle Soit Si la fonction f(x,y) admet des dérivées premières et secondes autour du point (x0,y0) et qu’elles sont nulles en ce point et si en ce point D>0, alors le point (x0,y0) est un point de selle.

6. Les multiplicateurs de Lagrange Soit les fonctions à deux variables z=f(x,y) et z=g(x,y). Si cette fonction admet un extremum au point (x0,y0) sous la contrainte g(x,y)=0, alors il existe un nombre l tel que: En projetant l’équation vectorielle sur chacun des deux axes et avec la contrainte g(x,y)=0, on obtient trois équations avec trois inconnues, x0, y0 et l.