N. Galabov and E. S. Pisanova 1

1. N. Galabov and E. S. Pisanova1 1Department of Theoretical P hysics, University of Plovdiv, 24 TzarAssen Street, Plovdiv 4000, Bulgaria Изследване на модел на структурни фазови преходи в анхармоничен кристал с далекодействие с W-функцията на Ламберт

2. Резюме: Разгледан е точно решаем решетъчен модел, описващ структурни фазови преходи в анхармоничен кристал с далекодействие. Пресметната е плътността на свободната енергия на модела в околност на класическата критична точка в горната класическа критична размерност като са използвани свойстванта на W-функцията на Ламберт. Анализирани са зависимостите на пресметнатата плътност на свободната енергия от параметъра, описващ класическите флуктоации и от параметъра на далекодействие на системата (съответно от размерността на системата). За трите реални физични размерности резултатите, получени чрез използването на W-функцията на Ламберт са сравнени с тези, получени по метода на итерациите.

3. Цел на изследването: Да се пресметне плътността на свободната енергия на модела в околност на класическата критична точка в горната класическа критична размерност при слаби квантови флуктоации като се използват свойствата на W-функцията на Ламберт.

4. W-функция на Ламберт • През 1996г. R. M. Corless, G.H. Gonnet, D.E.G. Hare, D.J. Jeffrey и D.E. Knuth събират съществуващата информация за функцията, добавят нови резултати за нея и предлагат тя да се нарича W-функция на Ламберт, защото представлява логаритъм на специален случаи от ред на Ламберт. [R. M. Corless, G. H. Gonnet, D. E. G. Hare, D. J. Jeffrey and D. E. Knuth (1996)] • Подробно разглеждане на W-функцията на Ламберт, както и много нейни приложения за решаването на математически и физични проблеми е направено от A. E. Dubinov, I. D. Dubinova, S. K. Saykov. [A. E. Dubinov, I. D. Dubinova, S. K. Saykov (2006)]

5. Дефиниция на W-функцията на Ламберт : Уравнение (1) има безброй много решения , където k определя клона на тази многозначна функция. W-функцията на Ламберт влиза и в решенията на много други трансцендентни уравнения, които могат да бъдат сведени до (1). • W-функцията на Ламберт е въведена в системите за символни изчисления Maple и Mathematica. (1)

6. Фигура 1 Графика на реалните клонове на W-функцията на Ламберт

7. Интегралното уравнение, което трябва да решим за това изследване може да бъде сведено до уравнение от вида: • което чрез полагане се свежда до (1). Следователно, неговите решения са: (2) (3)

8. По-Важни ПРИЛОЖЕНИЯ НА W-функцията на Ламберт • Cтатистическата механика [J. M. Caillol (2003)] • Електромагнетизма [D. C. Jenn (2002)] • Tеорията на ускорителите на електрони [C. Thomas, M. I. J. Botman (2002)] • Oптиката и теорията на лазерите [J. K. Jabczynski (2003)] • Физиката на соларните ветрове [S. R. Cranmer (2004)] • Oписване на връзка между напрежение ток и съпротивление в диод [T. C. Banwell, and A. Jayakumar (2000)] • Пресмятане на траекторията на балистичен снаряд в присъствие на въздушно съпротивление [E. Packel, and D. Yuen (2004)]

9. Моделът Хамилтонианът на модела e Моделът (4) показва фазов преход от втори род при критична температура ,където: е безразмерна температура, е параметър който характеризира квантовитесвойства на системата, е височината на бариера на двуямия потенциал в (4).

10. Фазовата диаграма на модела Фигура 2Схематична фазова диаграма на модела (4).

11. Моделът (4) е много реалистичен, защото описва системи с далекодействие при наличие както на класически, така и на квантови флуктоации. • Настоящият модел е използван при изследване на: • структурни фазови преходи с прости дефекти [H. Braeter, D. Michel (2003)] • структурни фазови преходи [E. S. Pisanova and N. S. Tonchev (1993)] • фероелектрични фазови преходи [L. V. Aksenov, S. Stamencovich and N. M. Plakida (1989)] • неподредени магнитни системи[T. Vojita and M. Scrieber (1996)],[T. K. Kopec and R. Pirk (1997)]

12. Плътност на свободната енергия на модела • Плътността на свободната енергия на модела в термодинамична граница е [J. G. Brankov, D. M. Danchev and N. S. Tonchev (2000)] : където в (6) е радиуса на ефективната сфера заместващ зоната на Брилуен, а е повърхнината на d-мерната единична сфера. • Плътността на свободната енергия на модела в околност на квантовата критична точка е изследвана в[E. S. Pisanova, N. S. Tonchev(2010)] (5) (6)

13. За плътността на свободната енергия при , когато от уравнение (6) получаваме: • Достатъчно близо до класическата критичната точка , запазвайки водещите членове горното уравнение (7) може да се запише във вида: (7) (8)

14. В класическата граница при горната класическа критична размерност уравнението за самосъгласуване има вида: където • След заместване на точното решение за плътността на свободната енергия получаваме: където (9) (10) (11) (12) (13)

15. . Фигура 3 Плътността на свободната енергия в класическата критична точка, като функция на показателя на далекодействие • За плътността на свободната енергия в класическата критична точка може да бъде получен и следния асимптотичен израз: • където (14) (15)

16. Таблица 1Числени данни за и за относителната грешка като функции на отклонението от класическата критична точка и на параметъра на далекодействие σ (размерността на системата d). Забележка: В тази таблица относителнита грешка при d=1 и d=2 е в модул, т.к. в тези случай .

17. Заключения: • полученият резултат по метода на итерациите не отчита зависимостта на плътността на свободната енергия от размерността на системата, докато изразът с W-функцията на Ламберт отчита тази зависимост (виж Таблица 1); • при всяка фиксирана размерност на системата, относителната грешка като функция на отклонението от класическата критична точка нараства; • за разлика от поведението на плътността на свободната енергия в околност на квантовата критична точка, в класическия случай при фиксирано отклонение от класическата критична точка относителната грешка нараства с нарастването на размерността на системата; • за едномерни и двумерни системи плътността на свободната енергия има отрицателни стойности;

18. Благодаря за вниманието ви