887110 Introduction to discrete structure บทที่ 7 การนับ (2)

1. 887110Introduction to discrete structureบทที่ 7 การนับ (2)

2. ภาพรวมของเนื้อหา • หลักการการเพิ่มเข้า – ตัดออก (Inclusion-Exclusion principle) • ฟังก์ชันก่อกำเนิด (Generating function) • ความสัมพันธ์เวียนเกิด (Recurrence relations)

3. หลักการการเพิ่มเข้า – ตัดออก (Inclusion-Exclusion principle)

4. หลักการการเพิ่มเข้า – ตัดออก (Inclusion-Exclusion principle) • สมมุติว่างานเลี้ยงแห่งหนึ่ง เจ้าภาพอยากทราบว่ามีแขกที่เป็นผู้หญิง หรือ ชาวต่างชาติกี่คน • ถ้าเราหาคำตอบโดยการนับจำนวนแขกที่เป็นผู้หญิง และ จำนวนแขกที่เป็นชาวต่างชาติและนำมารวมกันเลย นั่นไม่ใช่คำตอบที่ถูกต้อง เพราะ ผู้หญิงบางคนอาจเป็นชาวต่างชาติด้วย ทำให้จำนวนที่เรานับได้เกินความเป็นจริง • ดังนั้น เราจะต้องนำจำนวนผู้หญิงที่เป็นชาวต่างชาติมาลบจากผลรวมดังกล่าวก่อน จึงเป็นคำตอบที่เราต้องการ นี่คือที่มาของหลักการเพิ่มเข้าตัดออก

5. หลักการการเพิ่มเข้า – ตัดออก (Inclusion-Exclusion principle) • จำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 20 ที่หารด้วย 2 หรือ 3 ลงตัวมีกี่จำนวน • การแก้ปัญหานี้เราอาจคิดแยกเป็น 2 กรณี คือ • ตัวเลขที่หารด้วย 2 ลงตัว มี 10 จำนวน (2,4,6,8,10,12,14,16,18,20) • ตัวเลขที่หารด้วย 3 ลงตัว มี 6 จำนวน (3,6,9,12,15,18) • สังเกตเห็นว่ามี 3 จำนวน คือ 6, 12 และ 18 ถูกนับในทั้ง 2 กรณี • ดังนั้นถ้าเราจะนับรวมทั้ง 2 กรณีเข้าด้วยกัน เราต้องนับ 6, 12 และ 18 เพียงกรณีเดียว หรือ หักทั้งสามจำนวนออกจากผลรวมของการรวม 2 กรณีเข้าด้วยกัน จำนวนตัวเลข 1 – 20 ที่หารด้วย 2 หรือ 3 ลงตัว = 10 + 6 – 3 = 13

6. หลักการการเพิ่มเข้า – ตัดออก (Inclusion-Exclusion principle) • จากปัญหาดังกล่าว สามารถแสดงเป็นแผนภาพเวนน์ได้ดังนี้ โดย • A เป็นเซตของจำนวนที่หารด้วย 2 ลงตัว • B เป็นเซตของจำนวนที่หารด้วย 3 ลงตัว • จากแผนภาพจะได้ว่า |AB| = |A| + |B| - |AB| ซึ่งได้ 13 จำนวน A B 2, 4, 8, 10, 14, 16, 20 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19 3, 9, 15 6, 12, 18 U

7. ตัวอย่าง • ในชั้นเรียนวิชาแคลคูลัสนิสิตทุกคนอยู่สาขาวิชาคอมพิวเตอร์ หรือ สาขาวิชาคณิตศาสตร์ หรือ ทั้งสองสาขาวิชา • ถ้าจำนวนนิสิตที่อยู่สาขาวิชาคอมพิวเตอร์มี 25 คน • จำนวนนิสิตที่อยู่สาขาวิชาคณิตศาสตร์มี 13 • จำนวนนิสิตที่เรียนอยู่ทั้ง 2 สาขาวิชามี 8 คน • จงหาว่าจำนวนนิสิตในชั้นเรียนนี้มีกี่คน

8. วิธีทำ กำหนดให้ A แทนเซตของนิสิตที่เรียนสาขาคอมพิวเตอร์ B แทนเซตของนิสิตที่เรียนสาขาคณิตศาสตร์ แทนค่าในสูตร |AB| = |A| + |B| - |AB| จะได้ |AB| = 25 + 13 – 8 = 30 ดังนั้น ในชั้นเรียนวิชาแคลคูลัสมีนิสิตทั้งหมด 30 คน

9. กิจกรรมที่ 1 • สมมุติว่านิสิตปี 1 มีทั้งหมด 1807 คน ในจำนวนนี้ 453 คนลงทะเบียนเรียนวิชาภาษาไทย 567 คนลงทะเบียนเรียนวิชาคณิตศาสตร์ และ 299 คนลงทะเบียนเรียนทั้ง 2 วิชา จงหาว่า มีนิสิตกี่คนที่ไม่ได้ลงทะเบียนเรียนทั้ง 2 วิชานี้

10. หลักการการเพิ่มเข้า – ตัดออก (Inclusion-Exclusion principle) • สำหรับกรณีจำนวนสมาชิกของการยูเนียนของเซต 3 เซต จะเท่ากับ |ABC) = |A| + |B| + |C| - |AB| - |AC| - |BC| + |ABC|

11. ตัวอย่าง • จากข้อมูลต่อไปนี้ • 1232 คน เรียนวิชาภาษาสเปน • 879 คน เรียนภาษาฝรั่งเศส • 114 คน เรียนภาษารัสเซีย • 103 คน เรียนทั้งภาษาสเปนและภาษาฝรั่งเศส • 23 คน เรียนทั้งภาษาสเปนและภาษารัสเซีย • 14 คน เรียนทั้งภาษาฝรั่งเศษและรัสเซีย • ถ้านักเรียน 2092 คนเรียนอย่างน้อย 1 ภาษา จะมีนักเรียนกี่คนที่เรียน ทั้ง 3 ภาษา

12. วิธีทำ กำหนดให้ S แทนเซตของนักเรียนที่เรียนภาษาสเปน F แทนเซตของนักเรียนที่เรียนภาษาฝรั่งเศส R แทนเซตของนักเรียนที่เรียนภาษารัสเซีย จากโจทย์ ได้ข้อมูลมาดังนี้ |S| = 1232 , |F| = 879 , |R| = 114 |SF| = 103 , |SR| = 23 , |FR| = 14 , |S F R| = 2092 เมื่อแทนค่าในสูตร ได้ดังนี้ 2092 = 1232 + 879 + 114 – 103 – 23 – 14 + |SFR| = 7

13. การประยุกต์ใช้งานหลักการเพิ่มเข้าตัดออกการประยุกต์ใช้งานหลักการเพิ่มเข้าตัดออก • สามารถนำมาประยุกต์ใช้งานได้หลากหลายประเภท • การนับจำนวนคำตอบของสมการซึ่งมีข้อจำกัดของตัวแปร • การนับจำนวนฟังก์ชันทั่วถึง(onto function) จากเซตหนึ่งไปยังอีกเซตหนึ่ง • การนับจำนวนเฉพาะซึ่งมีค่าน้อยกว่าค่าที่กำหนดให้ • การเรียงย้ายตำแหน่ง (derangement)

14. ตัวอย่าง จงหาจำนวนคำตอบของสมการ x1 + x2 + x3 = 10 โดยที่ x1, x2และ x3เป็นเลขจำนวนเต็ม และ 0x13 , 0x24 และ 0x36 วิธีทำ สมการนี้เป็นสมการที่มีข้อจำกัดของค่าตัวแปร เราจะเริ่มกำหนดเซตของคำตอบที่ฝ่าฝืนข้อจำกัดแต่ละข้อที่กำหนด จากนั้นใช้หลักการเพิ่มเข้าตัดออก

15. ตัวอย่าง กำหนดให้ A1, A2 และ A3 แทนเซตคำตอบซึ่ง x1  4, x2  5, x3  7 ตามลำดับ จะได้ N = จำนวนคำตอบกรณีที่ xi  0, i = 1,2,3 = C(3+10-1,10) = 66 N(A1) = จำนวนคำตอบที่ x1  4 = C(3+6-1,6) = 28 N(A2) = จำนวนคำตอบที่ x2  5 = C(3+5-1,5) = 21 N(A3) = จำนวนคำตอบที่ x3  7 = C(3+3-1,3) = 10 N(A1A2) = จำนวนคำตอบที่ x1  4 และ x2  5 = C(3+1-1,1) = 3 N(A1A3) = จำนวนคำตอบที่ x1  4 และ x3  7 = 0 N(A2A3) = จำนวนคำตอบที่ x2  5 และ x3  7 = 0 N(A1A2A3) = จำนวนคำตอบที่ x1  4, x2  5 และ x3  7 = 0 ดังนั้น N(A1A2A3) = N – N(A1) – N(A2) – N(A3) + N(A1A2) + N(A1A3) + N(A2A3) - N(A1A2A3) = 66 – 28 -21 -10 + 3 + 0 + 0 -0 = 10 คำตอบ

16. กิจกรรมที่ 2 • จงหาว่ามีจำนวนเฉพาะทั้งหมดกี่ตัวที่มีค่าไม่เกิน 40

17. ฟังก์ชันก่อกำเนิด (Generating function)

18. ฟังก์ชันก่อกำเนิด (Generating function) • กำหนดให้ gnแทนลำดับของตัวเลข {g0, g1, g2, … } • ถ้าต้องการบรรยายลำดับของตัวเลข gn = {0,1,3,6,10,…} ทำได้หลายวิธี • เขียนแบบแจกแจงไปเลยว่ามีอะไรบ้าง ปัญหา จะต้องแจกแจงกี่ตัวดีผู้เห็นจึงรับรู้ธรรมชาติของลำดับตัวเลขนี้ • เขียน gnในรูปแบบปิด จากตัวอย่าง จะได้ gn = n(n+1)/2 นั่นคือ อยากรู้ตัวที่เท่าไหร่ ก็แทนค่าลงในสูตร • วิธีสุดท้าย คือ การแทนทั้งลำดับ gnด้วยอนุกรมกำลังที่เรียกว่า ฟังก์ชันก่อกำเนิด (generating function)

19. ฟังก์ชันก่อกำเนิด (Generating function) • เราเรียกฟังก์ชัน G(x) = ว่าเป็นฟังก์ชันก่อกำเนิดของ gn โดยแทนลำดับของตัวเลขด้วยอนุกรมกำลังที่มีตัวเลขเหล่านี้เป็นสัมประสิทธิ์ต่างๆ • เราอาจจะสงสัยว่า เราจะวุ่นวายแทนลำดับตัวเลขด้วยอนุกรมกำลังทำไม ?? • สมมุติว่า gnคือจำนวนวิธีการทอนเงิน n บาท ถ้ามีเหรียญ 1, 5, 10 จำนวนมากมาย • ถ้าเราอยากรู้ว่าจะทอนเงิน 138 บาท (g138) อย่างไรหรืออยากรู้รูปแบบทั่วไปของการทอนเงิน n บาท (gn) จะทำอย่างไร • เราคงไม่นั่งลุยเขียนวิธีการทอนเงิน 138 บาทแล้วนับจำนวนเอาว่าทำได้กี่วิธี • ปัญหาการนับแบบนี้สามารถเขียนบรรยายได้ด้วยฟังก์ชันก่อกำเนิด • จากนั้นแปลงฟังก์ชันนี้ให้อยู่ในรูปของอนุกรมกำลัง • ทำการหาค่าของสัมประสิทธิ์ของพจน์ที่ต้องการ และได้คำตอบออกมา

20. การเขียนฟังก์ชันก่อกำเนิดการเขียนฟังก์ชันก่อกำเนิด การเขียนตัวฟังก์ชันก่อกำเนิดจากปัญหาการนับที่ต้องการแก้ไข ตัวอย่าง จำนวนวิธีของการเลือกของ 2 ชิ้นจากของ 3 ชิ้นที่แตกต่างกัน วิธีทำ ถ้าใช้วิธีจัดหมู่ เราสามารถแก้ปัญหานี้ ได้อีกวิธีหนึ่ง ดังนี้ สมมุติว่าของ 3 ชิ้นของเรา คือ  วิธีการเลือกของกี่ชิ้นก็ได้จาก 3 ชิ้นนี้ คือ 1 +  +  +  +  + +  +  = 8 วิธี เมื่อ 1 แทนการไม่เลือกของชิ้นใดเลย คำตอบคือ C(3,2) = 3

21. การเขียนฟังก์ชันก่อกำเนิดการเขียนฟังก์ชันก่อกำเนิด 1 +  +  +  +  + +  +  ถ้าเราแทนสัญลักษณ์ของสิ่งของต่าง ๆ ด้วย x จะได้เป็น 1 + x + x + x + xx + xx + xx + xxx 1 + x + x + x + x2 + x2 + x2 + x3 1 + 3x + 3x2 + x3 จากโจทย์ เราต้องการเลือกของทั้งหมด 2 ชิ้น คำตอบคือ สัมประสิทธิ์หน้า x2 นั่นคือ จำนวนวิธีในการเลือก = 3 วิธี เราเรียกฟังก์ชันของตัวแปร x ที่เขียนขึ้นนี้ว่า ฟังก์ชันก่อกำเนิด

22. ตัวอย่าง จงหาจำนวนวิธีการเลือกของ 5 ชิ้นจากของ 4 ประเภท () โดยที่มี  อยู่ 6,2,3 และ 3 ชิ้น ตามลำดับ มีข้อบังคับในการเลือกว่าจะต้องเลือก  และ  ประเภทละหนึ่งชิ้น แต่ห้ามเลือก  เกิน 2 ชิ้น วิธีทำ เราสามารถแก้ปัญหานี้ โดยการแทนรูปแบบการเลือกได้ดังนี้ รูปแบบการเลือกปากกา (1 + +2) //ไม่เลือกเลย, เลือก 1 แท่ง, เลือก 2 แท่ง รูปแบบการเลือกกรรไกร (1 +  + 2) รูปแบบการเลือกโทรศัพท์ ( + 2 + 3) รูปแบบการเลือกนาฬิกา ( + 2 +3) คำตอบของการเลือก เราสามารถเลือกได้หลายประเภท ดังนั้น คำตอบ คือ (1 + +2) (1 +  + 2) ( + 2 + 3) ( + 2 +3)

23. ตัวอย่าง (1 + +2) (1 +  + 2) ( + 2 + 3) ( + 2 +3) แทนสัญลักษณ์ของสิ่งของด้วย x จะได้ (1 + x + x2 ) (1 + x + x2) (x + x2 + x3 ) ( x + x2 + x3) (1 + x + x2)2 (x + x2 + x3 )2 โดยสัมประสิทธิ์ของ x5คือคำตอบ

24. กิจกรรมที่ 3 จงหาจำนวนวิธีในการทอนเงินมูลค่า k บาทด้วยเหรียญ 1, 5 และ 10 บาท

25. ความสัมพันธ์เวียนบังเกิด (Recurrence relations)

26. ความสัมพันธ์เวียนบังเกิด (Recurrence relations) • โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับการนับบางปัญหา ไม่สามารถหาคำตอบได้ด้วยวิธีการที่กล่าวมา (ฟังก์ชันก่อกำเนิด) • แต่ต้องใช้ความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนวิธีของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นก่อน และ จำนวนวิธีของเหตุการณ์ที่เกิดตามหลัง

27. ตัวอย่าง ในห้องทดลองชีววิทยาพบว่า จำนวนแบคทีเรียจะเพิ่มขึ้นเป็น 2 เท่าในทุกๆชั่วโมง สมมุติว่าเมื่อเริ่มทดลองมีแบคทีเรีย 5 ตัว อยากทราบว่า หลังจากผ่านไป 3ชั่วโมง จะมีจำนวนแบคทีเรียเท่าไหร่ วิธีทำ กำหนดให้ a3เป็นจำนวนแบคทีเรียเมื่อสิ้นสุดชั่วโมงที่ 3 ซึ่งมีจำนวนเป็น 2 เท่าของชั่วโมงก่อนหน้า a2ซึ่งมาจาก(a3-1) จะได้ a3 = 2 a2 a2= 2(2 a1) = 22a1 a1 = 23a0โดยที่ a0คือ จำนวนแบคทีเรียในตอนเริ่มต้น a0 = 5 ดังนั้น a3= 23. 5 = 40 ตัว แต่ปัญหาจริงๆเขาไม่ได้อยากรู้เท่านี้

28. ตัวอย่าง ในห้องทดลองชีววิทยาพบว่า จำนวนแบคทีเรียจะเพิ่มขึ้นเป็น 2 เท่าในทุกๆชั่วโมง สมมุติว่าเมื่อเริ่มทดลองมีแบคทีเรีย 5 ตัว อยากทราบว่า หลังจากผ่านไป n ชั่วโมง จะมีจำนวนแบคทีเรียเท่าไหร่ วิธีทำ กำหนดให้ anเป็นจำนวนแบคทีเรียเมื่อสิ้นสุดชั่วโมงที่ n ซึ่งมีจำนวนเป็น 2 เท่าของชั่วโมงก่อนหน้า (an-1) จะได้ an = 2 an-1 ---------------------- (1) = 2(2 an-2) = 22 an-2 … = 2(2 (2…2a0)) = 2na0โดยที่ a0คือ จำนวนแบคทีเรียในตอนเริ่มต้น a0 = 5 ---------------- (2) ดังนั้น an = 2n . 5 ---------------- (3) ความสัมพันธ์เวียนบังเกิด เงื่อนไขเริ่มต้น คำตอบเฉพาะ

29. ความสัมพันธ์เวียนบังเกิด (Recurrence relations) นิยาม ความสัมพันธ์เวียนบังเกิดสำหรับลำดับ {an} คือ สมการที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง anกับพจน์ที่มาก่อนหน้า คือ a0, a1, …, an-1

30. ตัวอย่าง ถ้าลำดับ {an} สอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนบังเกิด an = an-1 – an-2 เมื่อ n = 2, 3, 4, … และ สมมุติว่า a0 = 3 และ a1 = 5 แล้ว a2กับ a3 มีค่าเท่าไหร่ วิธีทำ จากความสัมพันธ์ an = an-1 – an-2 ดังนั้นa2 = a1 – a0 = 5 – 3 = 2 และ ในทำนองเดียวกัน a3 = a2 – a1 = 2 – 5= -3

31. กิจกรรมที่ 4 นายแดงนำเงิน 10000 บาทไปฝากธนาคารแบบประจำได้ดอกเบี้ย 11% (ดอกเบี้ยทบต้น) อยากทราบว่าเมื่อครบ 30 ปี นายแดงจะมีเงินในบัญชีกี่บาท สมมุติว่านายแดงไม่ได้ถอนเงินจากบัญชีนี้เลย

32. ความสัมพันธ์เวียนบังเกิด : Fibonacci • ความสัมพันธ์เวียนบังเกิดที่เป็นที่รู้จักกันดีในกลุ่มนักคณิตศาสตร์คือ ปัญหาของ Leonard di Pisa ซึ่งรู้จักกันในนามของ Fibonacci • Fibonacci ได้ตั้งปัญหาในหนังสือ Liber abaci ดังนี้ • “กระต่ายแรกเกิดเพศผู้และเพศเมียคู่หนึ่งถูกนำไปปล่อยไว้ที่เกาะ อยากทราบว่าเมื่อเวลาผ่านไป n เดือน จะมีกระต่ายทั้งหมดกี่คู่ • เมื่อสมมุติให้ เมื่อกระต่ายทั้งสองมีอายุครบ 2 เดือน จึงจะสามารถให้กำเนิดกระต่ายเพศผู้และเพศเมียอีก 1 คู่ และในตอนเริ่มต้นบนเกาะนั้นไม่มีกระต่ายอยู่เลย

33. ตารางแสดงจำนวนกระต่ายบนเกาะตารางแสดงจำนวนกระต่ายบนเกาะ

34. วิธีทำ • กำหนดให้ fnเป็นจำนวนคู่ของกระต่าย เมื่อตอนต้นเดือนที่ 1 • จากตาราง พบว่า จำนวนกระต่ายของเดือนที่ 3 = จำนวนกระต่ายเดือนที่ 2 + จำนวนกระต่ายเดือนที่ 1 • จำนวนกระต่ายในเดือนที่ 4 = จำนวนกระต่ายเดือนที่ 3 + จำนวนกระต่ายเดือนที่ 2 เป็นเช่นนี้ไปเรื่อยๆ • ดังนั้น fn = fn-1 + fn-2 ---------------------------- (4)

35. วิธีทำ 2 • ถ้ากำหนด f0 = 1 สมการที่ 4 จะเป็นไปได้สำหรับ n 2 และเราทราบว่า f1 = 1 ดังนั้น f2 = f1 + f0 = 2 f3 = f2 + f1 = 3 f4 = f3 + f2 = 5 f5 = f4 + f3 = 8 … • สังเกตเห็นว่า ความสัมพันธ์เวียนบังเกิดในสมการที่ 4 ไม่สามารถจัดในรูปคำตอบเฉพาะได้อย่างง่าย

36. หอคอยแห่งฮานอย • โจทย์ปัญหานี้ ตั้งคำถามว่า จงหาจำนวนวิธีในการเคลื่อนย้ายแผ่นไม้จากเสาที่ 1 ซึ่งวางเรียงซ้อนกันจากแผ่นใหญ่สุดไปยังแผ่นเล็กสุด ดังรูป ไปยังเสาต้นอื่นๆภายใต้ข้อตกลงต่อไปนี้ • สามารถเคลื่อนย้ายแผ่นไม้ทีละแผ่นเท่านั้น • แผ่นไม้ที่ใหญ่จะซ้อนบนแผ่นไม้ที่มีขนาดเล็กกว่าไม่ได้ เสาต้นที่ 1 เสาต้นที่ 2 เสาต้นที่ 3

37. วิธีการแก้ปัญหา • กำหนดให้ Hnเป็นจำนวนครั้งของการย้ายแผ่นไม้จากเสาต้นที่ 1 ไปยังต้นอื่น • ถ้าเราเริ่มจากมีแผ่นไม้ n แผ่นบนเสาต้นที่ 1 • เราสามารถย้ายแผ่นไม้ n-1 แผ่น ไปไว้เสาที่ 3 โดยใช้จำนวนครั้งในการย้ายแผ่นไม้ทั้งหมด Hn-1ครั้ง • จากนั้นย้ายแผ่นไม้ที่ใหญ่ที่สุดไปไว้ที่เสาที่ 2

38. วิธีการแก้ปัญหา 2 • และย้ายแผ้นไม้ n-1 แผ่นจากเสาที่ 3 ไปยังเสาที่ 2 ด้วยการย้ายทั้งหมด Hn-1ครั้ง

39. วิธีแก้ปัญหา 3 • จำนวนครั้งของการย้ายแผ่นไม้ ทั้งหมด n แผ่นคือ Hn = 2 Hn-1 + 1 • โดยที่ H1 = 1 เพราะเราสามารถย้ายแผ่นไม้ 1 แผ่นจากเสาที่ 1 ไปเสาที่ 2 ได้โดยจำนวนครั้งที่น้อยที่สุดเป็น 1 • หากเราใช้การแทนค่าด้วยเทอมที่อยู่ก่อนหน้า จะได้ Hn = 2 Hn-1 + 1 = 2 (2 Hn-2 + 1) + 1 = 22 Hn-2 + 2 + 1 = 22 (2 Hn-3 + 1) + 2 + 1 = 22 Hn-3 + 22 + 2 + 1 … = 2n-1 + 2n-2 + … + 22 + 1 = 2n – 1 ----------------------------------------(5) • จากสมการที่ 5 ในที่นี้เรามีแผ่นไม้ 5 แผ่น ดังนั้น จำนวนครั้งของการย้ายคือ H5 = 25 – 1 = 32 -1 = 31 ครั้ง

40. ตัวอย่าง • ค่าผ่านทางด่วนช่วงระหว่างถนนพระราม 9 ถึงถนนรามคำแหงเท่ากับ n บาท ถ้าชูศรีมีเงินในกระเป๋าดังนี้ • เหรียญบาท 1 • เหรียญ 5 บาท • เหรียญ 10 บาท • ธนบัตรใบละ 10 บาท • ชูศรีมีวิธีจ่ายค่าทางด่วนที่แตกต่างกันทั้งหมดกี่วิธี ถ้าสมมุติว่าจำนวนเงินในแต่ละประเภทมีไม่จำกัด

41. วิธีทำ • กำหนดให้ anเป็นจำนวนวิธีสำหรับการจ่ายเงิน n บาท • ถ้า a1คือ การจ่ายเงินไปแล้ว 1 บาท ชูศรีจะต้องจ่ายเงินอีก n-1 บาท ซึ่งมีจำนวนวิธีเป็น an-1 • ทำนองเดียวกัน ถ้าจ่ายไปแล้ว 5 บาท จะมีจำนวนวิธีจ่ายอีก an-5 • ถ้าจ่ายไปแล้ว 10 บาท จะจำนวนวิธีที่จ่ายอีก an-10สำหรับจำนวนที่เหลือ • จากกฎการบวกจะได้ an = an-1 + an-5 + 2an-10

42. เอกสารอ้างอิง • อติวงศ์ สุชาโต. เอกสารคำสอนวิชา 2110200. ภาควิชาวิศวกรรมคอมพิวเตอร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย • ดร. รวิวรรณ เทนอิสระ. ความสัมพันธ์เวียนบังเกิด. หลักสูตร บูรณาการความรู้พื้นฐานด้านวิทยาการคอมพิวเตอร์ • สมชาย ประสิทธิ์จูตระกูล. คณิตศาสตร์ภินทนะ. ภาควิชาวิศวกรรมคอมพิวเตอร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย