1. Calculer la longueur de l’hypoténuse dans un triangle rectangle

1. Théorème de Pythagore Exercices d ’applications 1. Calculer la longueur de l’hypoténuse dans un triangle rectangle 2. Calculer la longueur d’un côté de l’angle droit dans un triangle rectangle 3. Démontrer qu’un triangle est rectangle 4. Démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle. 5. Des applications.

2. On est ici dans le cas où on peut utiliser le théorème de Pythagore pour calculer une longueur. En effet on sait : - que LJN est un triangle rectangle - les longueurs de 2 côtés dans ce triangle LJN est un triangle rectangle en J tel que LJ=2,5 cm et JN=4 cm. Calculer LN. Voyons maintenant comment bien rédiger avec le théorème de Pythagore

3. L ? 2,5 cm J 4 cm N On s’assure que le triangle est rectangle On applique le théorème de Pythagore à ce triangle rectangle JL ² + JN ² = LN ² LJN est un triangle rectangle en J tel que LJ=2,5 cm et JN=4 cm. Calculer LN ( donner la valeur exacte, puis l ’arrondi au dixième). Je sais que le triangle LJN est rectangle en J D ’après le théorème de Pythagore: Si un triangle est rectangle alors la somme des carrés des longueurs des deux côtés de l’angle droit est égal au carré de la longueur de l’hypoténuse.

4. L ? 2,5 cm J 4 cm N On s’assure que le triangle est rectangle On applique le théorème de Pythagore à ce triangle rectangle On reporte les valeurs connues dans cette égalité est la valeur exacte de LN LN = Avec la calculatrice, on trouve 4,716…le chiffre des centièmes étant 1, on arrondit à 4,7 LJN est un triangle rectangle en J tel que LJ=2,5 cm et JN=4 cm. Calculer LN ( donner la valeur exacte, puis l ’arrondi au dixième). Je sais que le triangle LJN est rectangle en J D ’après le théorème de Pythagore: JL ² + JN ² = LN ² 2,5 ² + 4 ² = LN ² 6,25 + 16 = LN ² LN ² = 22, 25 LN4,7 cm ( arrondi au dixième)

5. On est ici dans le cas où on peut utiliser le théorème de Pythagore pour calculer une longueur. En effet on sait : - que ABC est un triangle rectangle - les longueurs de 2 côtés dans ce triangle ABC est un triangle rectangle en B tel que AB=2,5 cm et AC=4,8cm. Calculer BC. Voyons maintenant comment bien rédiger avec le théorème de Pythagore

6. A 4,8 cm 2,5 cm B ? C On s’assure que le triangle est rectangle On applique le théorème de Pythagore à ce triangle rectangle BA² + BC² = AC ² ABC est un triangle rectangle en B tel que AB=2,5 cm et AC=4,8cm. Calculer BC ( donner la valeur exacte, puis l ’arrondi au dixième) Je sais que le triangle ABC est rectangle en B D ’après le théorème de Pythagore: Si un triangle est rectangle alors la somme des carrés des longueurs des deux côtés de l’angle droit est égal au carré de la longueur de l’hypoténuse.

7. A 4,8 cm 2,5 cm B ? C On s’assure que le triangle est rectangle On applique le théorème de Pythagore à ce triangle rectangle BA² + BC² = AC ² On reporte les valeurs connues dans cette égalité est la valeur exacte de BC BC² = 16,79 Avec la calculatrice, on trouve 4,0975…le chiffre des centièmes étant 9, on arrondit à 4,1 BC = ABC est un triangle rectangle en B tel que AB=2,5 cm et AC=4,8cm. Calculer BC ( donner la valeur exacte, puis l ’arrondi au dixième) Je sais que le triangle ABC est rectangle en B D ’après le théorème de Pythagore: 2,5² + BC² = 4,8² 6,25 + BC² = 23,04 BC² = 23,04 – 6, 25 BC4,1 cm ( arrondi au dixième)

8. On est ici dans le cas où on peut utiliser la réciproque du théorème de Pythagore En effet on sait : - les longueurs des 3 côtés dans ce triangle ROC est un triangle tel que RO=4,5cm, OC=2,4 cm et CR=5,1cm. Démontrer que ce triangle est rectangle. Voyons maintenant comment bien rédiger avec la réciproque du théorème de Pythagore

9. O 4,5 cm 2,4 cm R C 5,1 cm RC² ² ² RO OC ROC est un triangle tel que RO=4,5cm, OC=2,4 cm et CR=5,1cm. Démontrer que ce triangle est rectangle. Enoncé de la réciproque du théorème de Pythagore : Dans un triangle, si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, + alors ce triangle est rectangle. Calculons donc RC² et RO²+OC²

10. O 4,5 cm 2,4 cm R C 5,1 cm On repère le côté le plus long et on calcule le carré de sa longueur. On calcule la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. On constate l’égalité ; on cite la propriété appliquée pour conclure. ROC est un triangle tel que RO=4,5cm, OC=2,4 cm et CR=5,1cm. Démontrer que ce triangle est rectangle. Dans le triangle ROC • RC ² = 5,1 ² = 26,01 • RO ²+OC ² = 4,5 ² + 2,4 ² = 20,25 + 5,76 = 26,01 On a donc RC ² = RO ² + OC ² D ’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ROC est rectangle en O. [RC] est le côté le plus long donc l ’hypoténuse donc O le sommet de l’angle droit.

11. On est ici dans le cas où on peut utiliser la réciproque ou la conséquence du théorème de Pythagore. En effet on sait : - les longueurs des 3 côtés dans ce triangle ABC est un triangle tel que AB=4,5cm, AC=2,8 cm et BC=5,2cm. Déterminer si ce triangle est rectangle. Voyons maintenant comment bien rédiger

12. A 4,5 cm 2,8 cm B C 5,2 cm BC² ² ² AB AC ABC est un triangle tel que AB=4,5cm, AC=2,8 cm et BC=5,2cm. Déterminer si ce triangle est rectangle. Enoncé de la réciproque du théorème de Pythagore : Dans un triangle, si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, + alors ce triangle est rectangle. Calculons donc BC² et AB²+AC²

13. A 4,5 cm 2,8 cm B C 5,2 cm On repère le côté le plus long et on calcule le carré de sa longueur. On calcule la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. En effet si le triangle était rectangle, d’après le théorème de Pythagore l ’égalité BC ² = AB ² + AC ² serait vraie. Or elle est fausse, donc le triangle n ’est pas rectangle. ABC est un triangle tel que AB=4,5cm, AC=2,8 cm et BC=5,2cm. Démontrer que ce triangle est rectangle. Dans le triangle ABC • BC ² = 5,2 ² = 27,04 • AB ²+AC ² = 4,5 ² + 2,8 ² = 20,25 + 7,84 = 28,09 On a donc BC ²  AB ² + AC ² Par la conséquence du théorème de Pythagore, le triangle ABC n ’est pas rectangle

14. Sommaire Enoncé exercice 1 : le triangle est-il rectangle ? Enoncé exercice 2 : une équation est nécessaire. Enoncé exercice 3 : dans une sphère. Enoncé exercice 4 : dans une pyramide. Enoncé exercice 5 : dans un cube. Voir les énoncés.. Menu

15. Le triangle MNP est-il rectangle ? P 12cm 10cm H 8cm N M Il faudrait calculer MP ou MP² pour comparer MP² + NP² avec MN². Utilise le théorème (direct) de Pythagore pour calculer PH² puis PM². Tu pourras chercher une valeur approchée de PH et MP pour vérifier ton travail et ton dessin. Mais attention : l'égalité de Pythagore doit être exactement vérifiée. L'emploi de valeurs approchées ne prouvera rien puisque deux nombres presque égaux peuvent être différents !

16. P Le triangle MNP est-il rectangle ? 12cm Dans le triangle PNH rectangle en H, l ’égalité de Pythagore s ’écrit : PN² = NH² + HP² 12² = 8² + HP² 144 = 64 + HP² 80 = HP² 10cm H 8cm N M Dans le triangle MNP, le côté le plus long est MN, Je compare MN² = 18² MP² + PN² = 180 + 12² MN² = 324 MP² + PN² = 180 + 144 MP² + PN² = 324 Dans le triangle PMH rectangle en H, l ’égalité de Pythagore s ’écrit : PM² = MH² + HP² PM² =10² + 80 PM² = 100 + 80 PM² = 180 Donc d ’après le théorème réciproque de Pythagore MNP est rectangle en P.

17. Un poteau électrique de 7,5 m de haut s ’est brisé. Son extrémité se trouve à 1,5m de son pied. A quelle hauteur ce poteau s’est-il brisé ? Appelons x la hauteur cherchée. Si on suppose que le sol est horizontal et le poteau vertical alors le triangle ABC est rectangle en A. B BC s’exprime en fonction de x BC = 7,5 - x Et l’égalité de Pythagore s’écrit BC² = AC² + AB² (7,5 - x) ² = 1,5² + x² x Aide pour résoudre l ’équation suite A 1,5 m C

18. BC² = AC² + AB² (7,5 - x) ² = 1,5² + x² (7,5 - x )(7,5 - x) = 2,25 + x² 56,25 - 7,5 x - 7,5 x + x² = 2,25 + x² B -15 x = - 54 x =-54 / (-15) x = 3,6 x Le poteau s’est brisé à 3,6 m de haut. A 1,5 m C

19. Une balle de 30 cm de diamètre flotte dans un bassin. Sachant qu’elle s ’est enfoncée de 10 cm, on demande de calculer le diamètre du cercle délimité à la surface de l ’eau par la balle. Il faut réaliser un croquis Utilise le texte pour déterminer les valeurs de OA, AC et OC. O B C A

20. Une balle de 30 cm de diamètre flotte dans un bassin. Sachant qu’elle s ’est enfoncée de 10 cm, on demande de calculer le diamètre du cercle délimité à la surface de l ’eau par la balle. Il reste à appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle OBC. O 30cm B 5 cm OB² = OC² + CB² 15² = 5² + OC² 225 = 25 + OC² 200 = OC² OC = 200 C 10cm A Le diamètre cherché est proche de 28,3 cm.

21. SABCD est une Pyramide régulière de base carrée. SA = AB = BC = CD = AD = 50 cm On demande de calculer la hauteur puis le volume en litres de cette pyramide. S A D I B C

22. Tracé de la pyramide régulière. Trace la base ABCD : en réalité c'est un carré, mais en perspective il faut dessiner un parallélogramme. S D A Trace le centre I du parallélogramme. Trace une hauteur IS. I B C Trace les arêtes. Tu peux réaliser plusieurs dessins en faisant varier - l'angle BÂD - la longueur SI. Compare ces différents croquis !

23. ABCD est un carré ! Calcule AC puis AI. S A ABC est un triangle rectangle et isocèle en B, l ’égalité de Pythagore s ’écrit : AC² = AB² + BC² AC² = 50 ² + 50² AC² = 5000 D I C B 50 cm Donc

24. ABCD est un carré contenu dans un plan horizontal et SI est une droite verticale, donc : S SIB est un triangle rectangle en I, et l ’égalité de Pythagore s ’écrit : SB² = SI² + IB² A D I C B 50 cm Les diagonales d ’un carré ont la même longueur et ont même milieu, donc AI = IB. Finalement

25. Construire une pyramide régulière de base carrée 4 cm et de hauteur 5 cm ! S 5 cm A D I Indications : Calculer AI puis SA. C B 4 cm Il faudra prendre SA proche de 4,65cm

26. On demande de calculer la diagonale intérieure d ’un cube de coté 5cm. Le triangle ABC est (isocèle et ) rectangle en B, la relation de Pythagore s ’écrit : AC² = AB² + BC² .... D Le triangle ACD est rectangle en C, la relation de Pythagore s’écrit : AD² = AC² + CD² ..... C B A

27. Pour développer un produit du type (3x - 2)(4x-3) Tu dois penser (3x - 2) x (4x-3) = 3x x 4x + 3x x (-3) + (-2 ) x 4x + (-2) x (-3) Et calculer mentalement 3x x 4x ; 3x x (-3) ; (- 2) x 4x ; (-2) x (-3) 12x² -9x -8x +6 Pour écrire directement (sans écrire ce que tu penses) (3x - 2)(4x-3) = 12x² - 9x - 8 x + 6 = 12x² - 17 x +6

28. Réduis l'équation pour obtenir une forme simple du type 5x - 3 = 2 - 4x 5x -3 + 3 + 4x = 2 - 4x + 3 + 4x9x = 5 Pense ou écris 5x - 3 = 2 - 4x donc +4x +3 +4x+3 5x + 4x = 2 + 3 9x = 5 En divisant par 9

29. P 12cm Le triangle MNP est-il rectangle ? M N 10cm H 8cm Un poteau électrique de 7,5 m de haut s’est brisé. Son extrémité se trouve à 1,5m de son pied. A quelle hauteur ce poteau s’est-il brisé ? S SABCD est une Pyramide régulière de base carrée. SA = AB = BC = CD = AD = 50 cm On demande de calculer la hauteur puis le volume en litres de cette pyramide. D A 1,5 m I C B On demande de calculer la diagonale intérieure d ’un cube de coté 5cm. Une balle de 30 cm de diamètre flotte dans un bassin. Sachant qu’elle s’est enfoncée de 10 cm, on demande de calculer le diamètre du cercle délimité à la surface de l ’eau par la balle. Menu