Логика 1 друга недеља

1. Логика 1друга недеља Синтакса: дефиниције формула, подформула, главног везника. Семантика: Валуације. Таутологије, контрадикције, контингентне формуле. Еквивалентне формуле. Неротивуречност скупова формула. Семантичка последица. Валидност аргумената.

2. СинтаксаИР • Definicija formule: • Svaka atomska formula je formula • Ako je P formula, onda je i ~P formula • Ako su P i Q formule, onda su to i (PQ), (PQ), (PQ) i (P ≡ Q) • Ništa drugo nije formula

3. СинтаксаИР • Definicija podformule, neposredne podformule, atomske podformule i glavnog veznika: • P je podformula od P. • Ako je P atomska formula, P nema veznika, pa nema ni glavog veznika, i nema ni neposredne podformule. • Ako P ima formu ~Q, onda je Q neposredna podformula od P a negacija koja se javlja ispred Q je glavni veznik. • Ako P ima formu (RQ) , (RQ), (RQ) ili (R ≡ Q), onda su R i Q neposredne podformule a glavni veznik je onaj koji se javlja između R i Q. • Neposredne podformule od P su podformule od P. • Ako je Q podformula od P i R podformula od Q, onda je R podformula od P. • Atomske podformule od P su sve podformule od P koje su atomske rečenice.

4. Семантика ИР Valuacija je dodeljivanje vrednosti T ili  atomskim formulama iskaznog računa. Svaka valuacija dodeljuje svakoj iskaznoj formuli samo jednu vrednost T ili .

5. Семантика ИР Valuacija je dodeljivanje vrednosti T ili  atomskim formulama iskaznog računa. Svaka valuacija dodeljuje svakoj iskaznoj formuli samo jednu vrednost T ili . Za atomsku formulu se kaže da je istinita za neku valuaciju akko joj ta valuacija dodeljuje vrednost T. Inače je ta formula lažna za tu valuaciju.

6. Семантика ИР Valuacija je dodeljivanje vrednosti T ili  atomskim formulama iskaznog računa. Svaka valuacija dodeljuje svakoj iskaznoj formuli samo jednu vrednost T ili . Za atomsku formulu se kaže da je istinita za neku valuaciju akko joj ta valuacija dodeljuje vrednost T. Inače je ta formula lažna za tu valuaciju. Kada je u opštem slučaju neka formula P istinita za neku valuaciju v? To ćemo definisati rekurzivno po dužini formule P (šta sad ovo znači??).

7. Семантика ИР Definicija istinitosne vrednosti za datu valuaciju:

8. Семантика ИР • Definicija istinitosne vrednosti za datu valuaciju: • Ako je P atomska formula, recimo A, onda je P istinito za valuaciju v, tj. v(P) = T, akko je v(A) = T.

9. Семантика ИР • Definicija istinitosne vrednosti za datu valuaciju: • Ako je P atomska formula, recimo A, onda je P istinito za valuaciju v, tj. v(P) = T, akko je v(A) = T. • Ako P = ~Q, onda je v(P) = Takko je v(Q) = .

10. Семантика ИР • Definicija istinitosne vrednosti za datu valuaciju: • Ako je P atomska formula, recimo A, onda je P istinito za valuaciju v, tj. v(P) = T, akko je v(A) = T. • Ako P = ~Q, onda je v(P) = Takko je v(Q) = . • Ako P = RQ, onda je v(P) = Takko je v(R) = T i v(Q) = T.

11. Семантика ИР • Definicija istinitosne vrednosti za datu valuaciju: • Ako je P atomska formula, recimo A, onda je P istinito za valuaciju v, tj. v(P) = T, akko je v(A) = T. • Ako P = ~Q, onda je v(P) = Takko je v(Q) = . • Ako P = RQ, onda je v(P) = Takko je v(R) = T i v(Q) = T. • Ako P = RQ, onda je v(P) = Takko je v(R) = T ili v(Q) = T.

12. Семантика ИР • Definicija istinitosne vrednosti za datu valuaciju: • Ako je P atomska formula, recimo A, onda je P istinito za valuaciju v, tj. v(P) = T, akko je v(A) = T. • Ako P = ~Q, onda je v(P) = Takko je v(Q) = . • Ako P = RQ, onda je v(P) = Takko je v(R) = T i v(Q) = T. • Ako P = RQ, onda je v(P) = Takko je v(R) = T ili v(Q) = T. • Ako P = RQ, onda je v(P) = Takko je v(R) =  ili v(Q) = T.

13. Семантика ИР • Definicija istinitosne vrednosti za datu valuaciju: • Ako je P atomska formula, recimo A, onda je P istinito za valuaciju v, tj. v(P) = T, akko je v(A) = T. • Ako P = ~Q, onda je v(P) = Takko je v(Q) = . • Ako P = RQ, onda je v(P) = Takko je v(R) = T i v(Q) = T. • Ako P = RQ, onda je v(P) = Takko je v(R) = T ili v(Q) = T. • Ako P = RQ, onda je v(P) = Takko je v(R) =  ili v(Q) = T. • Ako P = R ≡ Q, onda je v(P) = Takko je v(R) = v(Q).

14. Семантика ИР • Definicija istinitosne vrednosti za datu valuaciju: • Ako je P atomska formula, recimo A, onda je P istinito za valuaciju v, tj. v(P) = T, akko je v(A) = T. • Ako P = ~Q, onda je v(P) = Takko je v(Q) = . • Ako P = RQ, onda je v(P) = Takko je v(R) = T i v(Q) = T. • Ako P = RQ, onda je v(P) = Takko je v(R) = T ili v(Q) = T. • Ako P = RQ, onda je v(P) = Takko je v(R) =  ili v(Q) = T. • Ako P = R ≡ Q, onda je v(P) = Takko je v(R) = v(Q). • P je lažno za valuaciju v akko P nije istinito za tu valuaciju, tj. v(P) =  akko nije v(P) = T

15. Семантика ИР U raznim knjigama iz logike videćete različitu notaciju. Često se umesto ‘v(P) = T’ koristi tzv dupla rampa (double turnstyle) ’v P’ ili ’v P’. ‘v(P) = ’ se može zapisati kao ’v P’. Mi ćemo koristiti i ove simbole tokom kursa.

16. Семантика ИР • Definicija tautologija, kontradikcija i kontingentnih formula:

17. Семантика ИР • Definicija tautologija, kontradikcija i kontingentnih formula: • Formula P je tautologija, što simbolima zapisujemo: P, akko je P istinito za sve valuacije

18. Семантика ИР • Definicija tautologija, kontradikcija i kontingentnih formula: • Formula P je tautologija, što simbolima zapisujemo: P, akko je P istinito za sve valuacije • Formula P je kontradikcijaakko je P lažno za sve valuacije (to jest akko je  ~P)

19. Семантика ИР • Definicija tautologija, kontradikcija i kontingentnih formula: • Formula P je tautologija, što simbolima zapisujemo: P, akko je P istinito za sve valuacije • Formula P je kontradikcijaakko je P lažno za sve valuacije (to jest akko je  ~P) • Formula P je kontingentna akko nije ni tautologija ni kontradikcija, tj. akko važi i P i  ~P, (tj. akko postoji valuacija za koju je P istinito i postoji valuacija za koju je P lažno).

20. Семантика ИР • Definicija tautologija, kontradikcija i kontingentnih formula: • Formula P je tautologija, što simbolima zapisujemo: P, akko je P istinito za sve valuacije • Formula P je kontradikcijaakko je P lažno za sve valuacije (to jest akko je  ~P) • Formula P je kontingentna akko nije ni tautologija ni kontradikcija, tj. akko važi i P i  ~P, (tj. akko postoji valuacija za koju je P istinito i postoji valuacija za koju je P lažno). Iz ove definicije sledi da je svaka atomska formula kontingentna.

21. Семантика ИР • Definicija ekvivalentnosti dve formule • Formule P i Q su ekvivalentne akko nemaju različite istinitosne vrednosti ni za jednu valuaciju

22. Семантика ИР • Definicija ekvivalentnosti dve formule • Formule P i Q su ekvivalentne akko nemaju različite istinitosne vrednosti ni za jednu valuaciju • Definicija neprotivurečnosti i protivurečnosti skupa formula • Skup formula je neprotivurečan akko postoji valuacija za koju su sve formule iz skupa istinite

23. Семантика ИР • Definicija ekvivalentnosti dve formule • Formule P i Q su ekvivalentne akko nemaju različite istinitosne vrednosti ni za jednu valuaciju • Definicija neprotivurečnosti i protivurečnosti skupa formula • Skup formula je neprotivurečan akko postoji valuacija za koju su sve formule iz skupa istinite • Skup formula je protivurečan akko nije neprotivurečan

24. Семантика ИР • Definicija semantičke posledice • Formula P je semantička posledica skupa formula  (simbolima se to zapisuje:  P) akko ne postoji valuacija za koju su sve formule iz  istinite a P lažno

25. Семантика ИР • Definicija semantičke posledice • Formula P je semantička posledica skupa formula  (simbolima se to zapisuje:  P) akko ne postoji valuacija za koju su sve formule iz  istinite a P lažno • Definicija (deduktivne) validnosti argumenata • Argument je validan akko ne postoji valuacija za koju su sve premise istinite a zaključak lažan

26. Семантика ИР • Formula P je tautologija, što simbolima zapisujemo: P, akko je P istinito za sve valuacije • Formula P je kontradikcijaakko je P lažno za sve valuacije (to jest akko je  ~P) • Formula P je kontingentna akko nije ni tautologija ni kontradikcija, tj. akko važi i P i  ~P, (tj. akko postoji valuacija za koju je P istinito i postoji valuacija za koju je P lažno). • Formule P i Q su ekvivalentne akko nemaju različite istinitosne vrednosti ni za jednu valuaciju • Skup formula je neprotivurečan akko postoji valuacija za koju su sve formule iz skupa istinite • Formula P je semantička posledica skupa formula  (simbolima se to zapisuje:  P) akko ne postoji valuacija za koju su sve formule iz  istinite a P lažno • Argument je validan akko ne postoji valuacija za koju su sve premise istinite a zaključak lažan

27. 3.3E 1d

28. 3.3E 1d

29. 3.3E 1d

30. 3.3E 1d

31. 3.3E 1d

32. 3.3E 1d

33. 3.3E 1d

34. 3.3E 1d

35. 3.3E 1d

36. 3.3E 1d

37. 3.4E 1f

38. 3.4E 1f

39. 3.4E 1f

40. 3.5E1b

41. 3.5E1b

42. 3.5E1b

43. 3.5E1b

44. 3.5E1b

45. 3.5E1b

46. 3.5E1b

47. 3.5E1b

48. 3.5E1b

49. 3.5E1b

50. 3.5E1b