Sistemas

1. Sistemas Prof. Marcelo de Oliveira Rosa

2. Sistemas Sistema Sinais de saída Sinais de entrada • Definição • Entidade que manipulaum ou vários sinais (entrada), produzindo um ou vários sinais (saída) • Composição: • Sinais de entrada • Sistema (propriamente dito) • Sinais de saída

3. Sistemas h{} y(t) x(t) • Definição • Terminologias adicionais • Entradas  Excitação  x(t) • Saídas Resposta y(t) • Matematicamente • h{} é uma operaçãorealizada sobre uma função x(t) para produzir uma função y(t)

4. Sistemas z(t) z(t) z(t) + + + + Σ + + + w(t) w(t) w(t) x(t) x(t) x(t) - - - y(t) y(t) y(t) • Diagrama de Blocos • Somador • w(t) = x(t) – y(t) + z(t)

5. Sistemas x(t) K y(t) K x(t) y(t) K x(t) y(t) • Diagrama de Blocos • Amplificador • y(t) = K x(t)

6. Sistemas x(t) x(t) ∫ d/dt y(t) y(t) • Diagramas de Blocos • Integrador/diferenciador • y(t) = ∫ x(τ) dτ • (de – ∞ até t) • y(t) = dx(t)/dt

7. Sistemas • Exemplos • Navegação de barcos • Entradas • Empuxo da hélice • Posição do leme • Direção e velocidade da correnteza • Saída • Direção do barco • Velocidade do barco • Sistema • Dinâmica dos fluidos • Equações do movimento de corpos

8. Sistemas • Exemplos • Suspensão automotiva • Entradas • Distância entre roda e solo • Saídas • Distância entre chassi e chão • Sistema • Equações dinâmicas de movimento • fator de amortecimento • energia elástica.

9. Sistemas • Exemplos • Ponte • Entrada • Direção do vento • Velocidade do vento • Saída • Deslocamento da ponte • Sistema • Dinâmica dos fluidos • Interação entre fluido e estrutura • exemplo: Ponte Tacoma

10. Sistemas • Exemplos • Corpo humano • Entradas • Dose de medicamento • Saídas • Concentração da dose no corpo • Sistema • Equação farmacocinética do medicamento • Equação de infusão e eliminação do medicamento

11. Sistemas • Modelagem de sistemas • Definir equações que “ligam” as entradas às saídas • Geralmente equações integro-diferenciais • Equações diferenciais ordinárias (por exemplo) • Há sistemas complexos demais para modelagem detalhada • Uso de aproximações e simplificações • Tratamento estocástico • Exemplos

12. Sistemas • Propriedades • Resposta com entrada nula • Saída do sistema para entrada x(t) = zero • Condições de contorno não-nulas • Caracteriza efeito da energia inicial do sistema na saída • Resposta com condições iniciais nulas • Saída do sistema para entrada x(t) ≠ zero • Condições de contorno nulas • Geralmente energia inicial do sistema é nula

13. Sistemas • Propriedades • Resposta total ≠Respostas com entrada nula + Respostas com condições inicias nulas • Existe situações de igualdade • EDOs lineares a coeficientes constantes • Solução homogênea • Solução particular

14. Sistemas • Propriedades • Homogeneidade • Um sistema é homogêneo quando sua saída é sempre proporcional à sua entrada • Condições iniciais nulas

15. Sistemas • Propriedades • Aditividade • Duas entradas (x1(t) e x2(t)) produzem respostas y1(t) e y2(t), respectivamente, para um sistema H. • Condições iniciais nulas • O sistema é aditivo se x3(t) [= x1(t) + x2(t)] produzir resposta y3(t) [= y1(t) + y2(t)]

16. Sistemas • Propriedades • Linearidade • Combinação de homogeneidade e aditividade. • Princípio da superposição. • “Dividir para conquistar” • Método comum a classe de sistemas (lineares)

17. Sistemas • Propriedades • Linearidade • Como aplicar o método a sistemas não-lineares? • Processo de linearização • Linearização • Equações diferenciais não-lineares exatas transformadas em equações diferenciais lineares aproximadas • Adição de restrições para aproximação • Exemplo clássico: • Pêndulo para pequenos ângulos

18. Sistemas • Propriedades • Invariância no tempo • Um sistema é invariante no tempo se uma entrada x(t) atrasada/adiantada t0 instantes de tempo produz uma saída atrasada/ adiantada t0instantes de tempo • Condições iniciais nulas

19. Sistemas • Propriedades • Linearidade e Invariância no tempo • LTI • “Linear andtime-invariant system” • Combinação de linearidade e invariância no tempo • Classe específica de sistemas • Análise será baseada em relações em excitações específicas • Uso de convolução

20. Sistemas • Propriedades • Estabilidade • O sistema não “explode” • Critério BIBO • Para qualquer excitação limitada, o sistema produzirá sempre respostas limitadas • Condições iniciais nulas

21. Sistemas • Propriedades • Estabilidade • Para um sistema descrito por uma EDO linear com coeficientes constantes, a solução homogênea (sem excitação) • Descrita por combinação linear de exponenciais complexas • Exponenciais complexas = autofunções • Se Re{autovalores} ≥ zero  sistema instável • Se Re{autovalores} < zero sistema estável • Caso particular importante

22. Sistemas • Propriedades • Causalidade • Um sistema é causal se ele apresenta resposta somente durante ou após a aplicação de alguma excitação. • Sistema não-antecipatório • Condições iniciais nulas

23. Sistemas • Propriedades • Causalidade • Causal  Processamento tempo-real • Não-causal processamento off-line • Impossibilidade de aplicações em tempo real, pois análise depende do “futuro”.

24. Sistemas • Propriedades • Causalidade • Exemplo: Mercado de ações e filtro média-móvel.

25. Sistemas • Propriedades • Memória • Um sistema commemória depende das excitações em instantes anteriores ou posteriores, além da excitação no instante atual. • Também chamado sistema dinâmico • Um sistema sem memória depende apenas da excitação no instante atual • Também chamado sistema estático

26. Sistemas • Propriedades • Reversibilidade/Inversibilidade • Um sistema é inversível se excitações singulares produzem respostas singulares • Condições iniciais nulas • Sistema inverso “anula” completamente os efeitos do sistema direto. • Idéia de função bijetora

27. Sistemas • Convolução • Estado atual: • Sistemas descritos por EDOs • Solução completa  soluções particular + homogênea • Solução homogênea  combinação linear de autofunções • Questão: • Podemos analisar o sistema sem considerar excitações e respostas?

28. Sistemas • Convolução • Princípio básico • Excitação • Combinação linear de sinais “elementares” • Sistema específico • Sistemas lineares e invariantes no tempo (LTI) • Uso do princípio de sobreposição • Resposta • Combinação linear dos efeitos produzidos pelos sinais “elementares” • Sinal elementar  sinal impulso  δ(t)

29. Sistemas • Convolução • Sistema original • F(y, y’, y’’, ..., y(n-1), y(n)) = G(x, x’, x’’, ..., x(m-1), x(m)) • y = y(t) e x = x(t) • Resposta ao impulso  h(t) • A(h, h’, h’’, ..., h(n-1), h(n)) = B(δ, δ’, δ’’, ..., δ(m-1), δ(m)) • h = h(t) e δ = δ(t)

30. Sistemas • Convolução • Obtenção da resposta ao impulso  h(t) • Encontre solução homogênea de h(t) hh(t) • Características da solução particular • Derive h(t) até a n-ésima derivada e aplique no lado esquerdo da EDO: deve haver correspondênciacom todas as derivadas de δ(t) até m-ésima derivada • Para t = zero • Combinação linear de h(t) e suas derivadas = zero • Para t ≠ zero • Garantia de solução homogênea “vingar”

31. Sistemas • Convolução • Obtenção da resposta ao impulso  h(t) • n>m • hh(t) u(t) • n=m • hh(t) u(t) + Kδδ(t) • n<m • hh(t) u(t) + [K(m-n)u(m-n)(t) + K(m-n-1)u(m-n-1)(t) + ... + K1u1(t) + K0u0(t)] • u0(t) = δ(t), u1(t) = δ’(t), ...

32. Sistemas • Convolução • Resposta ao impulso • Descrição do sistema para qualquer excitação • Apenas para sistemas lineares e invariantes no tempo! • Como obter resposta dado h(t) e excitação?

33. Sistemas • Convolução • Decomposição de x(t) em soma de pulsos • Tp duração dos pulsos

34. Sistemas • Convolução • Decomposição de x(t) em soma de pulsos • Combinação linear de pulsos deslocados no tempo.

35. Sistemas • Convolução • Pelo princípio da superposição... • Válido para sistemas lineares e invariantes no tempo • Lembre-se do exemplos dos filtros RC, RL, RLC, LC • x(t) = pulso unitário  y(t) = hp(t)

36. Sistemas • Convolução • Exemplo • Excitação senóide amortecida • Sistema  filtro RC

37. Sistemas • Convolução • Exemplo • Excitação senóide amortecida • Sistema  filtro RC

38. Sistemas • Convolução • Considerando o limite Tpτ • Excitação • Qualquer sinal = combinação linear de δ(t) • Resposta • Integral de convolução

39. Sistemas h(t) y(t) x(t) • Convolução • Diagrama de blocos • y(t) = h(t) * x(t) • Reforçando • h(t) resposta ao impulso do sistema

40. Sistemas • Propriedades da Convolução • Em relação à variável τ • x(τ) é mantido é mantida fixa • h(t – τ) é revertida e deslocada t instante de tempo • Reflexão  h(–τ) • Atraso no tempo  h(–(τ – t))

41. Sistemas • Propriedades da Convolução • Visualização do processo • Para cada t “fixo”, calculamos a integral (–∞ a +∞)

42. Sistemas • Propriedades da Convolução • Convolução entre dois pulsos unitários

43. Sistemas • Propriedades da Convolução • Amostragem do impulso • Comutativa • Distributiva

44. Sistemas y(t) z(t) w(t) x(t) y(t) z(t) w(t) x(t) • Propriedades da Convolução • Associativa

45. Sistemas y(t)+z(t) y(t) w(t) x(t) + + x(t) w(t) + z(t) • Propriedades da Convolução • Distributiva

46. Sistemas • Propriedades da Convolução • Se y(t) = x(t)*h(t) • Diferenciação • Área • Escala

47. Sistemas • Propriedades da Convolução • Estabilidade • Se x(t) é limitado • Então • Um sistema é estável ser sua resposta ao impulso for absolutamente integrável • Existência da convolução

48. Sistemas • Propriedades da Convolução • Causalidade • Um sistema linear e invariante no tempo é causal se • Sistema não-antecipatório • Convolução em tempo-real

49. Sistemas • Propriedades da Convolução • Memória • Um sistema linear e invariante no tempo é estático se: • Sistema sem memória

50. Sistemas • Diagrama de Blocos • Genericamente • Sistema linear e invariante no tempo • Pode ser representado por convolução