Algorithmen des Internets Sommersemester 2005 18.04.2005 2. Vorlesung

1. Algorithmen desInternetsSommersemester 200518.04.20052. Vorlesung Christian Schindelhauer schindel@upb.de

2. Überblick • Das Internet: Einführung und Überblick • Mathematische Grundlagen • IP: Routing im Internet • Packet Forwarding • Dijkstra und Min-Cut Max-Flow-Theorem • Distance Vector und Link State • Intra-AS: RIP, OSPF, Hierarchisches OSPF, IGRP • Inter-AS: BGP • Der Preis der Anarchie: Nash-Equilibrium - Optimum • TCP: Das Transport-Protokoll des Internets • Die Struktur des World Wide Web und des Internets • Suche im Web • Web-Caching im Internet • Peer-to-peer-Netzwerke • Angriffe auf das Internet Heute

3. Routing-Tabelle und Paket-Weiterleitung • IP-Routing-Tabelle • enthält für Ziel (Destination) die Adresse des nächsten Rechners (Gateway) • Destination kann einen Rechner oder ganze Sub-nets beschreiben • Zusätzlich wird ein Default-Gateway angegeben • Packet Forwarding • früher Packet Routing genannt • IP-Paket (datagram) enthält Start-IP-Adresse und Ziel-IP-Adresse • Ist Ziel-IP-Adresse = eigene Rechneradresse dann Nachricht ausgeliefert • Ist Ziel-IP-Adresse in Routing-Tabelle dann leite Paket zum angegeben Gateway • Ist Ziel-IP-Subnetz in Routing-Tabelle dann leite Paket zum angegeben Gateway • Ansonsten leite zum Default-Gateway

4. Probleme in der Paket-Weiterleitung • IP-Paket (datagram) enthält unter anderen • TTL (Time-to-Live): Anzahl der Hops • Start-IP-Adresse • Ziel-IP-Adresse • Behandlung eines Pakets • Verringere TTL (Time to Live) um 1 • Falls TTL ≠ 0 dann Packet-Forwarding aufgrund der Routing-Tabelle • Falls TTL = 0 oder bei Problemen in Packet-Forwarding: • Lösche Paket • Falls Paket ist kein ICMP-Paket dann • Sende ICMP-Paket mit • Start= aktuelle IP-Adresse und • Ziel = alte Start-IP-Adresse

5. ICMP, Ping und Traceroute • ICMP (Internet Control Message Protocol) • zumeist bei Packet Forwarding Problemen • ermöglicht aber auch auch Analyse der Routing: • Ping • Spezielle ICMP-Nachricht: “ICMP Echo Request” • Empfänger antwortet mit “ICMP Echo Reply” • Traceroute • Sendet Paket an Ziel-Rechner • mit TTL 1,2,3,... • mit ungültiger Port-Nummer (> 30.000) • Sammelt ICMP-Pakete wieder ein • ICMP mit TTL-Fehler ergibt Router-Adresse • ICMP mit “Port unreachable” hat Ziel erreicht

6. Statisches und Dynamisches Routing • Forwarding: • Weiterleiten von Paketen • Routing: • Erstellen Routen, d.h. • Erstellen der Routing-Tabelle • Statisches Routing • Tabelle wird manuell erstellt • sinnvoll für kleine und stabile LANs • Dynamisches Routing • Tabellen werden durch Routing-Algorithmus erstellt • Zentraler Algorithmus, z.B. Link State • Einer/jeder kennt alle Information, muss diese erfahren • Dezentraler Algorithmus, z.B. Distance Vector • arbeitet lokal in jedem Router • verbreitet lokale Information im Netzwerk

7. Das Kürzeste-Wege-Problem • Gegeben: • Ein gerichteter Graph G=(V,E) • Startknoten • mit Kantengewichtungen • Definiere Gewicht des kürzesten Pfades • δ(u,v) = minimales Gewicht w(p) eines Pfades p von u nach v • w(p) = Summe aller Kantengewichte w(e) der Kanten e des Pfades • Gesucht: • Die kürzesten Wege vom Startknoten s zu allen Knoten in G • also jeweils ein Pfad mit den geringsten Gewicht zu jedem anderen Knoten • Lösungsmenge: • wird beschrieben durch einen Baum mit Wurzel s • Jeder Knoten zeigt in Richtung der Wurzel

8. Kürzeste Wege mit Edsger Wybe Dijkstra • Theorem • Dijkstras Kürzeste-Wege-Algorithmus kann mittels eines Fibonacci Heap mit Laufzeit Θ(|E| + |V| log |V|) implementiert werden.

9. Dijkstra: Beispiel

10. Bellman-Ford • Bei negativen Kantengewichten versagt Dijkstras Algorithmus • Bellman-Ford • löst dies in Laufzeit O(|V| |E|).

11. Link-State Protocol • Link State Router • tauschen Information mittels Link State Packets (LSP) aus • Jeder verwendet einen zentralen Kürzeste-Wege-Algorithmus • LSP enthält • ID des LSP erzeugenden Knotens • Kosten diese Knotens zu jedem direkten Nachbar • Sequenznr. (SEQNO) • TTL-Feld für dieses Feld (time to live) • Verlässliches Fluten (Reliable Flooding) • Die aktuellen LSP jedes Knoten werden gespeichert • Weiterleitung der LSP zu allen Nachbarn • bis auf den Knoten der diese ausgeliefert hat • Periodisches Erzeugen neuer LSPs • mit steigender SEQNOs • Verringern der TTL bei jedem Weiterleiten

12. Distance Vector Routing Protocol • Distance Table Datenstruktur • Jeder Knoten besitzt eine • Spalte für jedes mögliches Ziel • Spalte für jeden direkte Nachbarn • Verteilter Algorithmus • Jeder Knoten kommuniziert nur mit seinem Nachbarn • Asynchroner Betrieb • Knoten müssen nicht Informationen austauschen in einer Runde • Selbstterminierend • läuft bis die Knoten keine Information mehr austauschen

13. Das “Count to Infinity” - Problem • Gute Nachrichten verbreiten sich schnell • Neue Verbindung wird schnell veröffentlicht • Schlechte Nachrichten verbreiten sich langsam • Verbindung fällt aus • Nachbarn erhöhen wechselseitig ihre Entfernung • “Count to Infinity”-Problem

14. Die Grenzen des flachen Routing • Link State Routing • benötigt O(g n) Einträge für n Router mit maximale Grad g • Jeder Knoten muss an jedem anderen seine Informationen senden • Distance Vector • benötigt O(g n) Einträge • kann Schleifen einrichten • Konvergenzzeit steigt mit Netzwerkgröße • Im Internet gibt es mehr als 106 Router • damit sind diese so genannten flachen Verfahren nicht einsetzbar • Lösung: • Hierarchisches Routing

15. AS, Intra-AS und Inter-AS • Autonomous Systems (AS) • liefert ein zwei Schichten-modell des Routing im Internet • Beispiele for AS: • uni-paderborn.de • Intra-AS-Routing • ist Routing innerhalb der AS • z.B. RIP, OSPF, IGRP, ... • Inter-AS-Routing • Übergabepunkte sind Gateways • ist vollkommen dezentrales Routing • Jeder kann seine Optimierungskriterien vorgeben • z.B. EGP (früher), BGP

16. Intra-AS: RIP (Routing Information Protocol) • Distance Vector Algorithmus • Distanzmetrik = Hop-Anzahl • Distanzvektoren • werden alle 30s durch Response-Nachricht (advertisement) ausgetauscht • Für jedes Advertisement • Für bis zu 25 Zielnetze werden Routen veröffentlicht per UDP • Falls kein Advertisement nach 180s empfangen wurde • Routen über Nachbarn werden für ungültig erklärt • Neue Advertisments werden zu den Nachbarn geschickt • Diese antworten mit auch mit neuen Advertisements • falls die Tabellen sich ändern • Rückverbindungen werden unterdrückt um Ping-pong-Schleifen zu verhindern (poison reverse) gegen Count to Infinity-Problem • Unendliche Distanz = 16 Hops

17. Intra-ASOSPF (Open Shortest Path First) • “open” = öffentlich verfügbar • Link-State-Algorithmus • LS Paket-Verbreitung • Topologie wird in jedem Knoten abgebildet • Routenberechnung mit Dijkstras Algorithmus • OSPF-Advertisment • per TCP, erhöht Sicherheit (security) • werden in die gesamte AS geflutet • Mehre Wege gleicher Kosten möglich

18. Intra-AS: Hierarchisches OSPF • Für große Netzwerke zwei Ebenen: • Lokales Gebiet und Rückrad (backbone) • Lokal: Link-state advertisement • Jeder Knoten berechnet nur Richtung zu den Netzen in anderen lokalen Gebieten • Local Area Border Router: • Fassen die Distanzen in das eigene lokale Gebiet zusammen • Bieten diese den anderen Area Border Routern an (per Advertisement) • Backbone Routers • verwenden OSPF beschränkt auf das Rückrad (backbone) • Boundary Routers: • verbinden zu anderen AS

19. Intra-AS: IGRP (Interior Gateway Routing Protocol) • CISCO-Protokoll, Nachfolger von RIP (1980er) • Distance-Vector-Protokoll, wie RIP • Hold time • Split Horizon • Poison Reverse • Verschiedene Kostenmetriken • Delay, Bandwidth, Reliability, Load etc. • Verwendet TCP für den Austausch von Routing Updates

20. Inter-AS: BGP (Border Gateway Protocol) • Ist faktisch der Standard • Path-Vector-Protocol • ähnlich wie Distance Vector Protocol • jeder Border Gateway teilt all seinen Nachbarn (peers) den gesamten Pfad (Folge von ASen) zum Ziel mit (advertisement) • per TCP • Falls Gateway X den Pfad zum Peer-Gateway W sendet • dann kann W den Pfad wählen oder auch nicht • Optimierungskriterien: • Kosten, Politik, etc. • Falls W den Pfad von X wählt, dann publiziert er • Path(W,Z) = (W, Path (X,Z)) • Anmerkung • X kann den eingehenden Verkehr kontrollieren durch senden von Advertisements.

21. Optimales Routing: Max-Flow • Gegeben: • Gerichteter Graph G mit Kantenkapazitäten w(e)≥0 • Seien s und t verschiedene Knoten • G ist ein Netzwerk aus Röhren • Flüsse • Ein Fluß weist jeder Kante eine Zahl f(e) zu mit 0 ≤ f(e) ≤ w(e) • Für alle Knoten x gilt • wobei I(x):= eingehenden Kanten und O(x) := ausgehenden Kanten • “Was reingeht muss auch rausgehen” • Ziel: • So viel wie möglich von s nach t pumpen • der maximale Fluss von s nach t, • d.h. maximiere

22. Max-Flow-Min-Cut Theorem • Ein Schnitt C in G zwischen s und t • ist eine Menge Kanten, so dass jeder gerichtete Pfad von s nach t wenigstens eine der Kanten in C beinhalten muss • Die Kapazität des Schnitts C ist die Summe aller Kantenkapazitäten • Max-Flow-Min-Cut Theorem [Feinstein, Shannon; Ford, Fulkerson, Shannon 1956] • Der maximale Fluss ist gleich der Kapazität des minimalen Schnitts. • Berechnung des maximalen Flusses • durch Lösen des Linearen Programms • Simplex-Methode/Ellipsoid-Methode • Ford-Fulkerson-Methode für ganze Zahlen • implementiert durch den Edmonds-Karp-Algorithmus

23. Routing als Spiel • Das BGP-Spiel [Papadimitriou, “Algorithms, Games and the Internet”, STOC 2001] • Gegeben: • Ungerichteter Graph mit n Knoten • Symmetrische n × n Verkehrsmatrix F • Sei ci die Kapazität eines Knoten i • Dies ergibt ein Multi-Commodity-Flow-Problem im Graphen, d.h. • es gibt verschiedene Flüsse, die nicht austauschbar sind • deren Summe aber den Kapazitäten entsprechen müssen • Bestimmte Knoten spielen in Koalitionen • Jeder Knoten kann Verbindungen zu Nachbarn veröffentlichen (oder nicht) • Ziel (jedes Knoten): • Optimiere den eigenen Verkehrsdurchsatz • das sind Pakete von Knoten der eigenen Koalition • evtl. durch die Minimierung des fremden Verkehrs

24. Nash-Equilibrium • Gegeben ein Spiel • mit n Spielern und n Strategien für jeden Spieler • xi sei die Strategie für Spieler i aus einer Menge Si • ui(x1, x2, ..., xn) sei der Gewinn von Spieler i • eine Funktion aus den Einzelstrategien • Ein Nash-Equilibrium ist ein Kombination von Strategien x1, ..., xn • so dass für alle Spiele i und für alle Strategien x’i ≠ xi gilt • ui(x1, x2, ..., xi, ... , xn) ≥ ui(x1, x2, ..., x’i, ... , xn) • Theorem (John Nash, 1950) • Es gibt immer ein solches Nash-Equilibrium, wenn die Mengen Si konvex sind. • Eine Menge S ist konvex, • falls für alle x,y ∈ S für alle i ∈ [0,1] gilt: i x+ (1-i) y ∈ S • Daraus folgt: • Randomisierte Strategien sind konvex.

25. 0 -1 1 1 0 -1 -1 1 0 Beispiel: Das Nash-Equilibrium von Papier, Schere, Stein • Zwei Spieler • Strategien: • Si={Papier, Schere, Stein} • Gewinnfunktion gemäß Matrix • Das diskrete Spiel hat kein reines Nash-Equilibrium • d.h.wenn jeder einmalig eine Entscheidung, dann gibt es für jedenimmer eine bessere Lösung • Es gibt ein gemischtes Nash-Equilibrium • Wähle gleich wahrscheinlich eine der drei Möglichkeiten

26. Der Preis der Anarchie • Ein Spiel über mehrere Runden konvergiert gegen das Nash-Equilibrium • falls alle Akteure egoistisch handeln, • falls das Spiel in den selben Rahmenbedingungen bleibt, • d.h. Bewertung bleibt gleich • und falls das Spiel überhaupt konvergiert • Das Nash-Equilibrium muss aber nicht global die beste Lösung darstellen, • da nur jeder einzelne seine Kosten optimiert hat • Es kann sogar sein, dass jeder einzelne besser da stehen kann, • wenn sie nicht im Nash-Equilibrium sind • Beispiel: Gefangenen-Dilemma • Der Preis der Anarchie: • Die Differenz zwischen der besten Lösung und dem Nash-Equilibrium

27. Der Preis der Anarchie im Gefangenendilemma • Zwei Verdächtige werden unabhängig verhört • Sie können jeweils gestehen oder leugnen • Falls beide leugnen: • jeweils 1 Jahre Haft • Falls beide gestehen: • jeweils 2 Jahre Haft • Falls einer gesteht und der andere leugnet: • Für den Zeugen: Freispruch • Für den Anderen: 3 Jahre Haft • Analyse: • Nash-Equilibrium: Beide Gestehen - Jeder 2 Jahre • Optimal: Beide Leugnen - Jeder 1 Jahr • Preis der Anarchie: • 1 Jahr für jeden!!! Wir waren es! Ich weiß von nichts!

28. Beispiel: Das Paradoxon von Braess • Gegen ein Fluss-Netzwerk mit • konstanten Kosten (1/2) • flussabhängigen Kosten (x) • Gesucht ein Fluss von S nach T • und das Nash-Equilibrium zwischen den Flüssen aller möglicher Teilpfade • Braess Paradoxon: • Durch Einfügen einer Kante kann sich der erreichbare Fluss im Nash-Equilibrium verkleinern • Dadurch steigt der Preis der Anarchie

29. Zusammenfassung • Paketweiterleitung im Internet folgt einem einfachen Schema • Die Routing-Tabelle bestimmt den Weg • Die Wegewahl heißt Routing • Es gibt zwei Arten des Routing • Intra-AS • RIP, OSPF, Hier. OSPF, etc. sind innerhalb einer AS • berechnen kürzeste Wege durch Weitergabe von Advertisement • mit Dijkstra • oder durch die Verbreitung der Information - Distance Vector • Inter-AS • BGP-Standard läßt Freiraum für ein Spiel zwischen den ASen: • Advertisements können verändert werden • Das Nash-Equilibrium • beschreibt eine Lösung, falls alle egoistisch handeln • ist nicht unbeding optimal: Die Differenz ist der Preis der Anarchie

30. Vielen Dank!Ende der 2. VorlesungNächste Vorlesung: Mo. 25.04.2005Nächste Übung: Mo. 25.04.2005 Heinz Nixdorf Institut & Institut für Informatik Universität Paderborn Fürstenallee 11 33102 Paderborn Tel.: 0 52 51/60 66 92Fax: 0 52 51/62 64 82E-Mail: schindel@upb.dehttp://www.upb.de/cs/schindel.html