Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen (20 – Graphen)

1. Vorlesung Informatik 2Algorithmen und Datenstrukturen(20 – Graphen) T. Lauer

2. Motivation • Wie komme ich am besten von Freiburg nach Ulm? • Was ist die kürzeste Rundreise durch eine gegebene Menge vonStädten? • Welche Menge an Wasser kann die Kanalisation von Freiburg maximalverkraften? • Gibt es einen Rundweg über die Brücken von Königsberg (Kaliningrad),derart dass jede Brücke nur einmal überquert wird und man zumAusgangspunkt zurückgelangt?  Diese und viele andere Probleme lassen sich als Graphenproblemedefinieren.

3. Repräsentation von Problemen durch Graphen Das Königsberger Brückenproblem: Ein Planungsproblem: Putz anbringen Garten anlegen Wände mauern Einziehen Dachstuhl herstellen Dach decken Innenausbau fertig stellen Möblieren 3

4. Definition von Graphen Definition: Ein gerichteter Graph G = (V,E) (englisch: digraph) besteht auseiner Menge V = {1, 2, . . . , |V|} von Knoten (englisch: vertices) und einerMenge E V  Vvon Pfeilenoder Kanten(englisch: edges, arcs). EinPaar (v, v´)  Eheißt Pfeil oder Kante von vnach v´. Darstellung: • Knoten werden durch Punkte dargestellt und • Kanten bzw. Pfeile werden durch Verbindungslinien mit Pfeilspitze aufden Endknoten dargestellt. Einschränkung: Endliche Graphen, d.h. V  

5. Adjazenzmatrizen • Adjazenzmatrizen dienen der Speicherung von Graphen. • Ein Graph G = (V,E) wird in einer Booleschen |V | x |V |-MatrixAG = (aij), mit 1 i |V |, 1 j |V | gespeichert, wobei class graph { graph(int n){ this.numberOfNodes = n; this.a = new boolean[n][n]; } private int numberOfNodes; private boolean[][] a;} Ï ; ì 0 ( i , j ) E falls = a í Î ij ; 1 ( i , j ) E falls î

6. Beispiel einer Adjazenzmatrix 1 2 3 4 5 6 7 8 91 0 1 1 0 0 0 1 0 02 0 0 0 0 0 0 0 0 03 0 0 0 0 0 0 0 0 04 0 0 0 0 0 1 0 0 05 0 0 0 1 0 0 0 0 06 1 0 0 0 1 1 0 0 07 0 0 0 0 1 0 0 0 08 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 1 0 3 8 1 2 7 9 6 5 4

7. Eigenschaften von Adjazenzmatrizen • Bei der Speicherung eines Graphen mit Knotenmenge V in einerAdjazenzmatrix ergibt sich ein Speicherbedarf von Θ(|V |2). • Dieser Speicherbedarf ist nicht abhängig von der Anzahl der Kantenim Graphen. • Demnach sind Adjazenzmatrizen ungünstig, wenn der Graphvergleichsweise wenige Kanten enthält. • Wegen der erforderlichen Initialisierung der Matrix oder derBerücksichtigung aller Einträge der Matrix benötigen die meistenAlgorithmen Ω(|V |2) Rechenschritte.

8. Adjazenzlisten • Bei Adjazenzlisten wird für jeden Knoten eine lineare, verketteteListe der von diesem Knoten ausgehenden Kanten gespeichert. • Die Knoten werden als lineares Feld von |V | Anfangszeigern auf jeeine solche Liste verwaltet. • Die i-te Liste enthält ein Listenelement mit Eintrag j für jedenEndknoten eines Pfeils (i, j)  E. • Adjazenzlisten unterstützen viele Operationen, z.B. das Verfolgen vonPfeilen in Graphen, sehr gut. • Andere Operationen dagegen werden nur schlecht unterstützt,insbesondere das Hinzufügen und Entfernen von Knoten.

9. Ein Beispiel 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 6 4 6 5 8 7 5 2 1

10. Implementierung von Adjazenzlisten class graphAL { graphAL(int n) { this.numberOfNodes = n; this.edgeTo = new edge[n]; } private int numberOfNodes; private edge[] edgeTo;} class edge { edge(int node, edge next) { this.node = node; this.next = next; } int node; edge next;}

11. Doppelt verkettete Kantenliste • Die bei Adjazenzlisten fehlende Dynamik kann erreicht werden, indemman die Knoten in einer doppelt verketteten Liste speichert, anstattsie in einem Feld fester Größe zu verwalten. • Jedes Listenelement dieser Liste enthält drei Verweise, zwei davonauf benachbarte Listenelemente und einen auf eine Kantenliste, wiebei Adjazenzlisten. • Jede Kantenliste ist doppelt verkettet; statt einer Knotennummerbesitzt jedes Kantenlistenelement einen Verweis auf ein Element derKnotenliste.

12. Doppelt verkettete Kantenliste am Beispiel 1 2 3 4 5 6 7 8 9

13. Durchlaufen von Graphen • Für manche Probleme ist es wichtig, Graphen vollständig zutraversieren, d.h. alle Knoten eines Graphen zu betrachten. • Fasst man die Web-Seiten im Internet als Knoten und die Links aufdiesen Seiten als Kanten auf, so muss man beim Suchen nach einembestimmten Schlüsselwort alle Knoten dieses Web-Seiten-Grapheninspizieren. • Das Betrachten oder Inspizieren eines Knotens in einem Graphen nenntman auch oft Besuchendes Knotens. • Manchmal ist es wichtig die Knoten nach einer gewissen Systematikzu besuchen. • Wir werden im Folgenden die Tiefensuche und die Breitensuchealszwei Spezialfälle eines allgemeinen Knotenbesuchsalgorithmuskennen lernen.

14. Besuchen aller Knoten eines Graphen G = (V,E) Spezialfall: Binärbäume Dafür sind verschiedene Traversierungsreihenfolgen wohl definiert. Beispielsweise Preorder: WLR Tiefensuche: besuche die Söhne eines jeden Knotens vor seinen Brüdern Breitensuche: besuche die Brüder eines Knotens vor seinen Söhnen

15. Ein allgemeines Schema für das Traversieren • Im Gegensatz zu Bäumen kann es bei Graphen Zyklen geben. • Deswegen kann es beim Traversieren passieren, dass wir bei einemschon einmal besuchten Knoten ankommen. • Aus diesem Grund müssen wir uns die bereits besuchten Knoten ineiner Tabelle merken, um Endlosschleifen zu vermeiden. • Da jeder Knoten mehrere Nachfolger haben kann, müssen wir darüberhinaus eine Datenstruktur verwenden, in der wie die noch zubesuchenden Knoten ablegen.

16. Tiefendurchlauf: DFS rekursiv Rekursive Formulierung des Tiefendurchlaufs: DFS(v): Markiere v als „besucht“ und füge v zu B hinzu; for each (jede von v ausgehende Kante (v, v‘)) do: ifv‘ ist nicht „besucht“ then DFS(v‘)

17. Tiefendurchlauf: DFS mit Stapel Formulierung des Tiefendurchlaufs mit Hilfe eines Stapels S: DFS(s): Initialisiere S als Stapel mit einzigem Element s; whileS≠  do {Nehme oberstes Element u von S herunter; if besucht(u) = false then { setze besucht(u) = true; for each Kante (u, v), die von u ausgeht do stapele v auf S } } /* end while

18. Beispiel 1 2 3 4 6 8 5 7

19. Breitendurchlauf: BFS mit Schlange Q BFS(s): Setze besucht(s) = true und für alle anderen Knoten v setze besucht(v) = false; Setze Q = {s}; whileQ≠  do { entferne erstes Element u von Q; betrachte jede von u ausgehende Kante (u, v): if besucht(v) = false then setze besucht(v) = true; füge v am Ende von Q ein } */ end while

20. Beispiel 1 2 3 4 6 8 5 7

21. Allgemeiner Knotenbesuchsalgorithmus für einen Graphen G = (V,E) • Sei b erster besuchter Knoten B = {b} markiere alle Knoten in V als unbesucht 2. while es gibt noch eine unbesuchte Kante (v, v´)  E mit v  Bdo wähle Kante (v, v´) und markiere sie als besucht B = B  {v´} endwhile

22. Verbesserung: Verwende Rand Rand: Grenze zwischen besuchten und unbesuchten Knoten • B = {b}; R = {b} 2. whileR  do wähle v  R if es gibt keine unbesuchte Kante (v, v´)  E thenR = R \ {v} else { wähle unbesuchte Kante (v, v´)  E; ifv´ B then B = B  {v´}; R = R  {v´} endif } endif endwhile

23. Konkrete Traversierungsverfahren • Die Reihenfolge, in der die Knoten ausgegeben werden, hängtoffensichtlich von der Datenstruktur für den Rand ab, d. h. der Art, wie dieKnoten darin abgelegt werden. • Verwendet man für die Knotenliste einen Stack, so ergibt sich einTiefendurchlauf durch den Graphen. • Verwendet man hingegen eine Queue, so entspricht das Verhalten einemBreitendurchlauf.

24. Beispiel 1 2 3 4 5 4 3 1 4 5 4 5 3 1 2 3 5

25. 1 1 4 4 3 5 1 1 5 5 5 5 4 3 4 3 1 1 4 1 3 3 1 4 1 4 1 1 Breiten und Tiefendurchlauf Durchlauf ab Knoten 1 mit Stack (Ausgabe: 1  4  5  3): Durchlauf ab Knoten 1 mit Queue (Ausgabe: 1  4  3  5):