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第二章 Matlab 编程基础

第二章 Matlab 编程基础. 数组和矩阵基本运算. 主要内容：. 2.1 矩阵 和数组 2.2 matlab 基本运算 2.3 matlab 语言结构与编程 2.4 文件 I/O. 2.1 矩阵和数组. 2.1.1 基本概念 2.1.2 矩阵和数组的创建 2.1.3 矩阵和数组的访问 2.1.4 矩阵操作. 2.1.1 基本概念. 1. 变量 所谓变量，就是指在程序运行过程中需要改变数值的量，每一个变量都具有一个名字，变量将在内存中占据一定的空间，以便在程序运行的过程中保存其数值。

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第二章 Matlab 编程基础

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  1. 第二章 Matlab编程基础 数组和矩阵基本运算

  2. 主要内容： • 2.1 矩阵和数组 • 2.2 matlab基本运算 • 2.3 matlab语言结构与编程 • 2.4 文件I/O

  3. 2.1 矩阵和数组 • 2.1.1 基本概念 • 2.1.2 矩阵和数组的创建 • 2.1.3 矩阵和数组的访问 • 2.1.4 矩阵操作

  4. 2.1.1 基本概念 • 1.变量 • 所谓变量，就是指在程序运行过程中需要改变数值的量，每一个变量都具有一个名字，变量将在内存中占据一定的空间，以便在程序运行的过程中保存其数值。 • 对变量的命名有相应的要求：变量必须以字母开头，后面可以是19个字母、数字或者下划线的组合

  5. 2.数组 • 数组是有序数据的集合，在大多数编程语言中，数组的每一个成员(元素)都属于同一种数据类型，它们使用同一个数组名称和不同的下标来惟一确定数组中的成员(元素)。

  6. 3. 向量 • 从编程语言的角度上看，向量其实就是一维数组，然而从数学的角度上看，向量就是1×N或者N×1的矩阵，即行向量或列向量 • MATLAB的基本运算单位就是矩阵和向量，而M语言本身就是以向量化运算为基础的编程语言

  7. 4.矩阵 • 在MATLAB中，矩阵的概念就是线性代数中定义的矩阵的概念——矩阵是用一对圆括号或者方括号括起来，符合一定规则的数学对象。例如：

  8. 2.1.2 数组和矩阵的创建 • 1. 创建向量 • 2. 创建矩阵 • 3. 稀疏矩阵

  9. 1.创建向量 • 从编程语言的角度上看，向量也就是一维数组。在MATLAB中创建向量可以使用五种不同的方法，最直接也最简单的方法就是逐个输入向量的元素 • 1）.创建行向量 • 2）.创建列向量

  10. 1）.创建行向量 • （1）直接创建，通过直接输入数组中每个元素的值来创建数组，方法为以左方括号开始，以空格或逗号为间隔输入元素值，最后以右方括号结尾 • 例：在命令窗口输入X=[1 2 3 4 5 6 7 8 9]或x=[1，2，3，4，5，6，7，8，9] • （2）利用冒号运算符创建向量 • X=初值：终值，创建从初值开始到终值结束，增量为1的行向量x • 例：x=0：10

  11. （3）x=初值：增量：终值，创建从初值到终值，给定增量的行向量（3）x=初值：增量：终值，创建从初值到终值，给定增量的行向量 • 例：x=0：0.1：1 • （4）利用函数X=linspace(初值，终值，n)创建从初值开始到终值结束，有n个元素的行向量 • 例：x=linespace(0,pi,11) • （5）利用函数x=logspace(初值，终值，n)创建从初值开始到终值结束，有n个元素对数分隔量。 • 例：x=logspace(0,1,11) • 1.0000 1.2589 1.5849 1.9953 2.5119 3.1623 3.9811 5.0119 6.3096 7.9433 10.0000

  12. 2）. 创建列向量 • （1）直接输入元素法。通过直接输入数组中每个元素的值来创建数组，方法为以左方括号开始，以分号为间隔输入元素值，最后以右方括号结尾 • 例：A = [1;2;3;4;5;6] • （2）使用转置的方法 • 例：B = (1:6)'

  13. 2.创建矩阵 • 1）直接输入法 • A = [1 2 3;4 5 6;7 8 9]或A = [1，2，3；4，5，6；7，8，9] • 在创建矩阵的时候，需要注意： • 整个矩阵的元素必须在“[ ]”中键入 • 矩阵的元素行与行之间需要使用分号；间隔，也可以在需要分行的地方用回车键间隔 • 矩阵的元素之间可以使用逗号或者空格间隔。 • 其实创建上面的矩阵时还可以这么做 • A = [1:3;4:6;7:9]

  14. A=

  15. 2）创建特殊矩阵 • （1）随机数矩阵 • rand（x,y）产生x行y列的随机数矩阵 • （2）全1阵 • ones(n) 产生n行n列的全1方阵 • ones(x,y) 产生x行y列的全1矩阵 • （3）全零阵 • zeros（n）产生n行n列的全零方阵 • zeros（x,y）产生x行y列的全零矩阵 • （4）对角矩阵 • eyes(x,y)产生x行y列的对角阵

  16. 3.稀疏矩阵 • 在实际工作中，经常遇到这样一类矩阵，这类矩阵中数值为0的元素居多，这类矩阵一般被称为稀疏矩阵。如果使用满阵的方式来表示稀疏矩阵，则0元素将占用相当的内存空间，特别是在MATLAB中，由于MATLAB默认的数据类型是双精度类型，每一个双精度类型的数据元素都要占用八个字节的内存空间，当0元素很多的时候将占用相当可观的内存空间，因此，在MATLAB中，专门提供了稀疏矩阵的表示方法。

  17. 创建稀疏矩阵 • 在MATLAB命令行窗口中键入下面的指令： • >> A = eye(5) • A = • 1 0 0 0 0 • 0 1 0 0 0 • 0 0 1 0 0 • 0 0 0 1 0 • 0 0 0 0 1

  18. B = sparse(A) • B = • (1,1) 1 • (2,2) 1 • (3,3) 1 • (4,4) 1 • (5,5) 1 • >> whos • Name Size Bytes Class • A 5x5 200 double array • B 5x5 84 double array (sparse) • Grand total is 30 elements using 284 bytes

  19. 在上例中，首先使用eye函数创建了五阶的单位矩阵，五阶单位方阵一共有25个元素，其中却有20个元素是0，于是使用sparse函数将该函数构造成为稀疏矩阵，这样就得到了矩阵B。在上例中，首先使用eye函数创建了五阶的单位矩阵，五阶单位方阵一共有25个元素，其中却有20个元素是0，于是使用sparse函数将该函数构造成为稀疏矩阵，这样就得到了矩阵B。 • 通过whos指令可以清晰地比较两个矩阵占用的内存空间，A矩阵占用了200个字节，而B矩阵仅占用了84个字节。

  20. 稀疏矩阵和普通矩阵(满阵)之间可以直接进行运算，例如稀疏矩阵和普通矩阵(满阵)之间可以直接进行运算，例如 • >> A+B • ans = • 2 0 0 0 0 • 0 2 0 0 0 • 0 0 2 0 0 • 0 0 0 2 0 • 0 0 0 0 2 • 这里运算得到的结果是一个满阵。

  21. MATLAB中使用“三元组”表示法来表示稀疏矩阵，该表示方法一般由三个向量组成： MATLAB中使用“三元组”表示法来表示稀疏矩阵，该表示方法一般由三个向量组成： • 第一个向量是由矩阵中非零元素组成的向量，其长度一般为nzmax，即矩阵中所有非零元素的个数； • 第二个向量是非零元素的行序号，该向量的长度也为nzmax； • 第三个向量是非零元素的列序号，该向量的长度也为nzmax。

  22. 例如对于下面的稀疏矩阵： • 因此，表示矩阵的三个向量分别为 • >> data = [15 91 11 3 28 22 −6 −15]; • >> ir = [ 1 5 2 2 6 1 3 1]; • >> jc = [1 1 2 3 3 4 4 6];

  23. 利用上面的三个矩阵和sparse函数创建六行六列的稀疏矩阵：利用上面的三个矩阵和sparse函数创建六行六列的稀疏矩阵： • >> S = sparse(ir,jc,data,6,6) • S = • (1,1) 15 • (5,1) 91 • (2,2) 11 • (2,3) 3 • (6,3) 28 • (1,4) 22 • (3,4) -6 • (1,6) -15

  24. >> %将该矩阵还原成满阵 • >> full(S) • ans = • 15 0 0 22 0 -15 • 0 11 3 0 0 0 • 0 0 0 -6 0 0 • 0 0 0 0 0 0 • 91 0 0 0 0 0 • 0 0 28 0 0 0

  25. >> whos • Name Size Bytes Class • S 6x6 124 double array (sparse) • ans 6x6 288 double array • data 1x8 64 double array • ir 1x8 64 double array • jc 1x8 64 double array • Grand total is 68 elements using 604 bytes

  26. 2.1.3 数组和矩阵的访问 • 1.向量元素的访问 • 访问向量的元素只要使用相应元素的索引即可，以例说明 • 例1： A = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 0]，访问向量中的元素。 • 在MATLAB的命令行窗口中键入下面的指令： • >> %访问向量的第三个元素 • >> A(3) • ans = • 3

  27. >> %访问向量的第一、三、七个元素 • >> A([1 3 7]) • ans = • 1 3 7 • >> %访问向量的第一、三、五个元素 • >> A([1,3,5]) • ans = • 1 3 5 • >> %访问向量的最后四个元素 • >> A([end-3:end]) • ans = • 7 8 9 0 • >> %重复访问向量中的元素 • >> A([1:5,5: -1:1]) • ans = • 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1

  28. 说明： • 访问向量的元素直接给出元素在向量中的序号，元素的序号不仅可以是单一的整数，还可以是元素序号组成的向量，如例1中的各种操作。 • 关键字end在访问向量元素时，表示向量中最后一个元素的序号。 • 访问向量元素时，序号的数值必须介于数值1～end之间

  29. 例2 对向量A = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 0]中的元素赋值 • 在MATLAB命令行窗口中键入下面的指令： • >> %对向量的第三个元素赋值 • >> A(3) = -3 • A = • 1 2 -3 4 5 6 7 8 9 0 • >> %对向量中不存在的数据赋值 • >> A(15) = -15 • A = • Columns 1 through 10 • 1 2 -3 4 5 6 7 8 9 0 • Columns 11 through 15 • 0 0 0 0 -15

  30. 说明： • 在例2中，对向量的第15个元素赋值，在赋值之前向量的第11~15个元素不存在，但是在赋值之后，将自动创建这些元素，并且为没有明确赋值的元素赋默认值0，这就是MATLAB的数据自动扩充和初始化机制。

  31. 2.矩阵元素的访问 • 访问矩阵的元素也需要使用矩阵元素的索引，不过具有两种方式，第一种方式是使用矩阵元素的行列全下标形式，第二种方法是使用矩阵元素的单下标形式 • 例3 ： • MATLAB工作空间中具有一个5×5的矩阵，该矩阵是五阶的幻方，通过命令行获取矩阵的第二行、第四列的元素，于是在MATLAB命令行窗口中键入下面的指令：

  32. >> %创建矩阵 • >> A = magic(5) • A = • 17 24 1 8 15 • 23 5 7 14 16 • 4 6 13 20 22 • 10 12 19 21 3 • 11 18 25 2 9 • >> %使用全下标的形式访问元素 • >> A(2,4) • ans = • 14 • >> %使用单下标的形式访问元素 • >> A(17) • ans = • 14

  33. 说明： • 使用了MATLAB函数magic创建幻方。所谓幻方，就是n阶的方阵，该方阵的行元素和列元素的和都相等。 • 使用全下标的形式访问矩阵元素的方法简单、直接，同线性代数的矩阵元素的概念一一对应。 • 矩阵元素的单下标是矩阵元素在内存中存储的序列号，一般地，同一个矩阵的元素存储在连续的内存单元中。 • 矩阵元素的单下标与全下标之间的转换关系如下，以m行的矩阵为例，该矩阵的第i行第j列的元素全下标表示为单下标l=(j-1)×m+i。 • 注意： • MATLAB的矩阵元素的排列以列元素优先，这一点同FORTRAN语言的二维数组元素的排列方法一致，与C语言的二维数组元素的排列不同，C语言的二维数组元素排列以行元素优先。

  34. 使用索引访问矩阵元素的方法

  35. 例4 用不同的方法访问矩阵的元素。 • 在MATLAB命令行中键入下面的指令： • >> % 创建矩阵 • >> A = 1:25; • >> A = reshape(A,5,5) • A = • 1 6 11 16 21 • 2 7 12 17 22 • 3 8 13 18 23 • 4 9 14 19 24 • 5 10 15 20 25

  36. >> %访问矩阵的第三行第一列元素 • >> A(3,1)或A(3) • ans = • 3 • >> % 访问矩阵第三行的所有元素 • >> A(3,:) • ans = • 3 8 13 18 23 • >> %访问矩阵第四列的所有元素 • >> A(:,4) • ans = • 16 • 17 • 18 • 19 • 20

  37. >> %访问矩阵的最后一行元素 • >> A(end,:) • ans = • 5 10 15 20 25 • >> %获取矩阵的子矩阵 • >> I = [1 3 5];J = [2 4]; • >> A(I,J) • ans = • 6 16 • 8 18 • 10 20

  38. 2.1.4 数组/矩阵操作 • 对数组或矩阵的基本操作有： • 插入 • 重新排列 • 提取 • 按列拉长 • 置空（去掉某行或某列） • 置零 • 用单个下标操作一个矩阵 • 用逻辑数组操作一个矩阵 • 按指定条件求子数组 • 求数组的规模

  39. 例1：X=4：6，按下列要求进行操作： • （1）插入：通过对x进行插入运算创建矩阵A • A=[x-3;x;x+3] • A = • 1 2 3 • 4 5 6 • 7 8 9 • （2）重新排列：以逆序重新排列A的各行形成矩阵B • B=A[3:-1:1,1:3] • B = • 7 8 9 • 4 5 6 • 1 2 3

  40. （3）提取：提取A的前两行的后两列构成矩阵C • C=A[1:2,end-1:end](或C=A[1:2,2:3]) • C= • 2 3 • 5 6 • （4）按列拉长：对C按列拉长形成矩阵D • D=C（:） • D= • 2 • 5 • 3 • 6

  41. （5）置空：删除B的第2列 • B(:,2)=[] • B= • 7 9 • 4 6 • 1 3 • （6）置零：将矩阵B的第2行第2列的元素置为0 • Ｂ(2,2)=0 • B= • 7 9 • 4 0 • 1 3

  42. （7）用单个下标操作一个矩阵，获得矩阵B的第3个元素（7）用单个下标操作一个矩阵，获得矩阵B的第3个元素 • B(3) • ans= • 1 • （8）用逻辑数组操作一个矩阵：判断矩阵A中元素绝对值大于3的情况，如果绝对值大于3则置为1，否则为0 • abs(A)>3 • ans= • 0 0 0 • 1 1 1 • 1 1 1

  43. （9）按指定条件求子数组：寻找A中大于4的元素对应的下标（9）按指定条件求子数组：寻找A中大于4的元素对应的下标 • [r,s]=find(A>4) • r= • 3 • 2 • 3 • 2 • 3 • s= • 1 • 2 • 2 • 3 • 3

  44. (10)求数组的规模 • S=size(A),返回一个二元素行向量s，s的第一个元素是A的行数，第二个元素为A的列数 • [r,c]=size(A),返回两个变量r和c分别为A的行数和列数 • r=size(A,1),只返回A的行数给r • c=size(A,2)，只返回A的列数给c • n=length(A)，返回行数和列数中较大的一个

  45. 2.2 Matlab基本运算 • 2.2.1 数组和矩阵的基本运算 • 2.2.2逻辑运算和关系运算

  46. 2.2.1 数组和矩阵的基本运算 • 1. 数组操作函数 • 2. 矩阵生成函数 • 3. 数组和矩阵的运算符 • 4. 数组和矩阵的基本运算函数

  47. 1. 数组操作函数

  48. 2. 矩阵生成函数

  49. 矩阵操作函数

  50. 3. 数组和矩阵运算符号 • 矩阵和数组运算是不同的，数组运算是元素对元素的运算，而矩阵运算采用线性代数的运算方式，两种运算符号也不同，其区别见下表

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