Soluções no Espaço de Estados e Realizações (C. T. Chen, Capítulo 4)

1. Soluções no Espaço de Estados e Realizações(C. T. Chen, Capítulo 4) Sistemas Lineares

2. Solução da descrição entrada-saída Não há uma forma analítica simples de calcular a convolução A forma mais simples é calcular numericamente esta equação discretizada, ou seja, calcular

3. Caso de Sistemas LIT • Neste caso pode-se utilizar a relação para calcular a solução , via transformada inversa de Laplace (solução no domínio da frequência) • Se o sistema é distribuído, não será uma função racional de s. Se for este o caso, exceto em alguns casos especiais é mais simples computar a solução diretamente no domínio do tempo, como em (4.1) • Se o sistema é concentrado, será uma função racional de s. Neste caso, se também for uma função racional de s, então a solução pode ser obtida tomando-se a transformada de Laplace inversa de . Tal método requer computar os polos, gerar a expansão em frações parciais e usar uma tabela de Transformadas de Laplace, para obter a transformada inversa de cada fração parcial. Em MATLAB usam-se as funções roots (cálculo dos polos) e residue (cálculo dos resíduos nos polos, para fazer a expansão em frações parciais).

4. Havendo polos repetidos, a computação da solução pode tornar-se muito sensível a pequenas variações nos dados, como erros causados por arredondamento. Portanto, computar a solução via Transformada de Laplace não é um método viável em computadores digitais, pois sempre haverá erros numéricos • Um método mais adequado é transformar funções de transferência em equações no espaço de estados, e então calcular sua solução

5. Solução de Equações de Estado LIT Sejam as equações no espaço de estados lineares e invariantes no tempo onde , , , e são matrizes constantes , , , e , respectivamente, é um vetor , é um vetor e é um vetor . Deseja-se obter a solução excitada pelo estado inicial e a entrada . Tal solução depende da função exponencial de estudada na Seção 3.6.

6. A função mais importante de é a função exponencial . Dado que a série de Taylor converge para todos e , tem-se que Propriedades importantes de

7. Para provar (3.54), toma-se (3.53) com e leva-se em conta (3.52). Para calcular , basta diferenciar termo a termo (3.51), obtendo-se que é o resultado em (3.55).

9. Verificando que (4.5) é solução de (4.2) Devemos mostrar que (4.5) satisfaz (4.2) e a condição inicial em . Para , (4.5) se reduz a e, portanto, (4.5) satisfaz a condição inicial.

11. Cálculo de e Tais valores são calculados no domínio do tempo. Para isto basta calcular

12. Como calcular Opções para cálculo da inversa de

13. Exemplo 4.1

14. Exemplo 4.1

15. Exemplo 4.2

17. Discretização Simples, porém imprecisa

18. Método exato

21. Solução de equação no espaço de estados discreta

22. Solução geral para o caso discreto

23. Equações de estado equivalentes Escolhemos como variáveis de estado (corrente no indutor) e (tensão no capacitor).

26. Equações de estados equivalentes

28. Autovalores e FT de sistemas equivalentes

30. Sistemas equivalentes ao estado zero

31. Exemplo 4.4

32. Formas canônicas Forma canônica controlável Forma de Jordan

33. Forma de Jordan com coeficientes reais

34. Realizações de um sistema LTI

36. Decomposição direta para o caso SISO

38. Solução de sistemas lineares variantes no tempo

39. Caso variante

41. Exemplo

43. Matriz fundamental

44. Exemplo 4.9

45. Prova