Ajouts et retraits dans un arbre de connexion

Ajouts et retraits dans un arbre de connexion Nicolas Thibault et Christian Laforest, Équipe OPAL Laboratoire IBISC (regroupement LaMI et LSC), Évry nicolas.thibault@ibisc.fr 8èmes journées Graphes et Algorithmes p. 1 / 14

Données Objectif • Un réseau sous-jacent • Des participants dévoilés au fur et à mesure •  problème online • Incrémenter une structure couvrante Introduction nicolas.thibault@ibisc.fr 8èmes journées Graphes et Algorithmes p. 2 / 14

Sans reconstruction Avec reconstructions Synthèse Contraintes structurelles Évaluation Résultats Objectif • Minimiser la distance moyenne entre les membres du groupe dans l’arbre. Contraintes structurelles du modèle Sans reconstruction Contraintes • À chaque étape, la structure couvrante doit être un arbre : contrainte arbre. • faciliter la gestion des communications • Chaque arbre doit être inclus dans l’arbre précédent : contrainte emboîtement. • ne pas perturber les communications en cours • ne pas reconstruire l’arbre (coûteux) nicolas.thibault@ibisc.fr 8èmes journées Graphes et Algorithmes p. 3 / 14

Sans reconstruction Avec reconstructions Synthèse Contraintes structurelles Évaluation Résultats Évaluation d’un algorithme Soit Ti* un arbre optimal. Un algorithme a un rapport de compétitivité c si  i, CTi(Mi) c .CTi*(Mi) Évaluation de la qualité Notations • ile nombre de sommets ajoutés • M0 M1 … Mi … les groupes successifs • Til’arbre couvrant Mi construit à la ième étape • CG(M)=ΣdG(u,v) la somme des distances entre les sommets du groupe M • u,v M nicolas.thibault@ibisc.fr 8èmes journées Graphes et Algorithmes p. 4 / 14

Sans reconstruction Avec reconstructions Synthèse Contraintes structurelles Évaluation Résultats Borne inférieure sur le rapport de compétitivité • Tout algorithme qui respecte les contraintes arbre et emboîtement • a un rapport de compétitivité en Ω(i). • la contrainte arbre ou emboîtement doit être relâchée. Résultats obtenus Borne supérieure sur le rapport de compétitivité • r est un médian de M si ΣdG(u,r)= minΣdG(u,v) : v  M • u M u M • L’algorithme médian-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné • en un médian r0 du groupe de départ M0. • médian-ajout respecte les contraintes arbres et emboîtement. • mais a un rapport de compétitivité en O(i). nicolas.thibault@ibisc.fr 8èmes journées Graphes et Algorithmes p. 5 / 14

Sans reconstruction Avec reconstructions Synthèse Définition Étape critique Médian-reconstruction Limites Modèle avec reconstructions • Contrainte arbre • Contrainte qualité: les arbres Ti doivent vérifier •  i, CTi(Mi)  c.CTi*(Mi) où c est une constante • Objectif : minimiser les perturbations dues au relâchement de la contrainte emboîtement Définition du modèle Avec reconstructions Modèle sans reconstruction (rappel) • Contrainte arbre • Contrainte emboîtement • Objectif : minimiser la distance moyenne entre les membres du groupe nicolas.thibault@ibisc.fr 8èmes journées Graphes et Algorithmes p. 6 / 14

Sans reconstruction Avec reconstructions Synthèse Définition Étape critique Médian-reconstruction Limites Quantité à minimiser • On veut minimiser le nombre d’étapes critiques, c’est-à-dire le nombre d’étapes nécessitant de casser une ou plusieurs arêtes de l’arbre courant. Exemple : l’étape i est critique Motivations • Une étape critique génère d’importants changements de routes entre les membres dans l’arbre. • perturbe les communications en cours • coûteux l’arbre Ti-1 l’arbre Ti ui Étape critique nicolas.thibault@ibisc.fr 8èmes journées Graphes et Algorithmes p. 7 / 14

Sans reconstruction Avec reconstructions Synthèse Définition Étape critique Médian-reconstruction Limites Qualité de l’arbre construit • Théorème : médian-reconstruction respecte la contrainte qualité avec c = 12. • Preuve : majorations reposant fortement sur la définition d’un médian Évaluation • Théorème : médian-reconstruction implique O(log i) étapes critiques. • Preuve : Taille du ième groupe : i = 2R R = log2(i) L’algorithme médian-reconstruction L’algorithme • Reconstruit totalement l’arbre à chaque fois que la taille du groupe double. • Entre deux reconstructions, connecte le nouveau membre par un plus court • chemin au médian du groupe de la dernière reconstruction. nicolas.thibault@ibisc.fr 8èmes journées Graphes et Algorithmes p. 8 / 14

Sans reconstruction Avec reconstructions Synthèse Définition Étape critique Médian-reconstruction Limites Réponse • Théorème : Pour toute constante de qualité c fixée, il existe un graphe et • une séquence d’ajouts tels que tout algorithme respectant les • contraintes arbre et qualité implique (log i) étapes critiques. Limites du modèle avec reconstructions Question • Est-ce que O(log i) étapes critiques est un bon résultat ? nicolas.thibault@ibisc.fr 8èmes journées Graphes et Algorithmes p. 9 / 14

Sans reconstruction Avec reconstructions Synthèse Définition Étape critique Médian-reconstruction Limites CT(M)  (c+1)22j+2c CT* (M)  22j+2c CT(M)  (c+1)22j+2Rc CT* (M)  22j+2Rc CT(M)  (c+1)22j CT* (M)  22j CT(M)  (c+1)22j+6c CT* (M)  22j+6c CT(M)  (c+1)22j+4c CT* (M)  22j+4c 2j 2j+2(c+1) 2j+R(c+1) 2j+(c+1) 2j+3(c+1) CT(M)  (c+1)22j CT* (M)  22j CT(M)  (c+1)22j 2j 2j 2j sj s3 2j+1 2j+1+(c+1) 2j+1+R(c+1) 2j+1+3(c+1) 2j+1+2(c+1) 2j+1 s2 2j+1 2j+1 sj+1 22 s1 s0 21 c+1 c+1 c+1 c+1 c+1 c+1 c+1 c+1 c+1 Limites du modèle avec reconstructions • |M|= i  2j+2+R(c+1)  2(c+1)+2+R(c+1) • a2bR (a,b constants) • R (log i) • |M|= i  2j+2+R(c+1)  2(c+1)+2+R(c+1) • = a2bR (a,b constants) • R   (log i) • |M|= i  2j+2+R(c+1)  2(c+1)+2+R(c+1) • = a2bR (a,b constants) • R   (log i) • |M|= i  2j+2+R(c+1)  2(c+1)+2+R(c+1) • a2bR (a,b constants) • R   (log i) nicolas.thibault@ibisc.fr 8èmes journées Graphes et Algorithmes p. 10 / 14

Sans reconstruction Avec reconstructions Synthèse Variantes Résultats Perspectives Variantes étudiées • Deux critères : • la somme des distances et la distance maximum (diamètre du groupe) • Trois versions du problème : • ajouts seuls, retraits seuls, ajouts et retraits mêlés Variantes du problème présenté Résultats présentés • Pour le critère somme des distances, pour le problème ajout de sommets • Sans reconstruction : • borne inférieure et supérieure en (i) et O(i) sur le rapport de compétitivité • Avec reconstructions : • borne inférieure et supérieure en (log i) et O(log i) sur le nombre d’étapes critiques nicolas.thibault@ibisc.fr 8èmes journées Graphes et Algorithmes p. 11 / 14

Sans reconstruction Avec reconstructions Synthèse Variantes Résultats Perspectives Résultats obtenus Somme des distances Sans recons. (compétitivité) Avec recons. (étapes critiques) ajouts (i) et O(i) (log i) et O(log i) retraits (i) (log i) et O(i) ajouts et retraits (i) (i) et O(i) Diamètre Sans recons. (compétitivité) Avec recons. (étapes critiques) ajouts 2 0 retraits (i) (log i) et O(log i) ajouts et retraits (i) (i) et O(i) nicolas.thibault@ibisc.fr 8èmes journées Graphes et Algorithmes p. 12 / 14

Sans reconstruction Avec reconstructions Synthèse Variantes Résultats Perspectives Perspectives • Relâcher les contraintes du problème pour identifier les difficultés • Obtenir des résultats autres que dans le pire cas. Autres résultats et perspectives Autres résultats pour le modèle avec reconstructions • Nombre de changements élémentaires moyens par étape constant pour • l’ajout, avec comme critère la somme des distances et • le retraits, avec comme critère le diamètre. nicolas.thibault@ibisc.fr 8èmes journées Graphes et Algorithmes p. 13 / 14

Questions ? nicolas.thibault@ibisc.fr 8èmes journées Graphes et Algorithmes p. 14 / 14

AVEC RECONSTRUCTIONS : Définitions • Soit M un ensemble de membres et T un arbre couvrant M. • Nœud de liaison :u est un nœud de liaison de l’arbre T ssi : • u M • u est de degré supérieur ou égal à 3 • Arbre de liaison : On construit l’arbre de liaison Tc associé à T en • remplaçant chaque chemin de T ne contenant que des sommets de • degré 2 par une arête. ou

AVEC RECONSTRUCTIONS : Définitions • Soit M un ensemble de membres et T un arbre couvrant M. • Nœud de liaison :u est un nœud de liaison de l’arbre T ssi : • u M • u est de degré supérieur ou égal à 3 • Arbre de liaison : On construit l’arbre de liaison Tc associé à T en • remplaçant chaque chemin de T ne contenant que des sommets de • degré 2 par une arête. • Exemple : ou Un graphe G et un sous-groupe M

AVEC RECONSTRUCTIONS : Définitions • Soit M un ensemble de membres et T un arbre couvrant M. • Nœud de liaison :u est un nœud de liaison de l’arbre T ssi : • u M • u est de degré supérieur ou égal à 3 • Arbre de liaison : On construit l’arbre de liaison Tc associé à T en • remplaçant chaque chemin de T ne contenant que des sommets de • degré 2 par une arête. • Exemple : ou Un arbre T couvrant M

AVEC RECONSTRUCTIONS : Définitions • Soit M un ensemble de membres et T un arbre couvrant M. • Nœud de liaison :u est un nœud de liaison de l’arbre T ssi : • u M • u est de degré supérieur ou égal à 3 • Arbre de liaison : On construit l’arbre de liaison Tc associé à T en • remplaçant chaque chemin de T ne contenant que des sommets de • degré 2 par une arête. • Exemple : ou Les nœuds de Liaison de T

AVEC RECONSTRUCTIONS : Définitions • Soit M un ensemble de membres et T un arbre couvrant M. • Nœud de liaison :u est un nœud de liaison de l’arbre T ssi : • u M • u est de degré supérieur ou égal à 3 • Arbre de liaison : On construit l’arbre de liaison Tc associé à T en • remplaçant chaque chemin de T ne contenant que des sommets de • degré 2 par une arête. • Exemple : ou L’arbre de liaison Tcassocié à T

AVEC RECONSTRUCTIONS : Définitions • Changement élémentaire : Pour toute étape k d’ajout d’un nouveau membre, • est considéré comme un changement élémentaire : • Ajouter une arête dansTck-1 • Retirer une arête dansTck-1 • Pour toute étape k d’ajout d’un nouveau membre, on note #EC(Tkc) le nombre • de changements élémentaires à l’étape k.

AVEC RECONSTRUCTIONS : Définitions • Changement élémentaire : Pour toute étape k d’ajout d’un nouveau membre, • est considéré comme un changement élémentaire : • Ajouter une arête dansTck-1 • Retirer une arête dansTck-1 • Pour toute étape k d’ajout d’un nouveau membre, on note #EC(Tkc) le nombre • de changements élémentaires à l’étape k. • Exemple : Tck-1

AVEC RECONSTRUCTIONS : Définitions • Changement élémentaire : Pour toute étape k d’ajout d’un nouveau membre, • est considéré comme un changement élémentaire : • Ajouter une arête dansTck-1 • Retirer une arête dansTck-1 • Pour toute étape k d’ajout d’un nouveau membre, on note #EC(Tkc) le nombre • de changements élémentaires à l’étape k. • Exemple : Tck-1 uk

AVEC RECONSTRUCTIONS : Définitions • Changement élémentaire : Pour toute étape k d’ajout d’un nouveau membre, • est considéré comme un changement élémentaire : • Ajouter une arête dansTck-1 • Retirer une arête dansTck-1 • Pour toute étape k d’ajout d’un nouveau membre, on note #EC(Tkc) le nombre • de changements élémentaires à l’étape k. • Exemple : Tck uk

AVEC RECONSTRUCTIONS : Définitions • Changement élémentaire : Pour toute étape k d’ajout d’un nouveau membre, • est considéré comme un changement élémentaire : • Ajouter une arête dansTck-1 • Retirer une arête dansTck-1 • Pour toute étape k d’ajout d’un nouveau membre, on note #EC(Tkc) le nombre • de changements élémentaires à l’étape k. • Exemple : Tck uk #EC(Tkc)= 1+3 = 4

AVEC RECONSTRUCTIONS : Critères à minimiser (1) • On veut minimiser le nombre dechangements élémentaires moyen par • étape #ECM(T0c,…, Tic) définit par : • Motivations : • Chaque changement élémentaire a un coût réseau (en temps, en argent) • pour l’opérateur.

Médian-reconstruction : Évaluation (reconstructions) • Théorème : Médian-reconstruction implique au plus 20 changements • élémentaires moyens par étapes. • Preuve : Repose sur les arguments suivants : • Une étape où l’arbre n’est pas reconstruit implique au plus • 4 changements élémentaires dans l’arbre de liaison. • Un arbre de liaison couvrant un groupe M a au plus 2| M | sommets. • Le nombre de changements élémentaires maximum dans un tel arbre • est donc 4| M |. • Les étapes de reconstructions sont suffisamment peu nombreuses • ( O(log i)) pour donner un nombre de changements moyen par étape • constant.

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