Sinais e Sistemas – Capítulo 2

1. Sinais e Sistemas – Capítulo 2 Simon Haykin Aula 9

2. Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças • As equações de diferenças são usadas para representar sistemas de tempo discreto • As equações diferenciais são usadas para representar sistemas de tempo contínuo Aula 9

3. Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças • A forma geral de equações diferenciais com coeficientes constantes é onde x(t) é a entrada do sistema e y(t) é a saída. Aula 9

4. Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças • A forma geral de equações de diferenças com coeficientes constantes é similar, mas com as derivadas substituídas por valores retardados da entrada x[n] e da saída y[n] onde x[k] é a entrada do sistema e y[k] é a saída. Aula 9

5. Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças Equação diferencial Equação de diferença • N é um número inteiro chamado de ordem da equação, e corresponde à derivada mais elevada (no caso de equação diferencial) ou a memória máxima que envolve a saída do sistema (no caso de equação de diferença) • Em termos práticos, a ordem representa o número de dispositivos de armazenamento de energia presentes no sistema Aula 9

6. Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças • Exemplo 1: Sistema RLC Observe que a ordem N é 2 e o sistema possui dois elementos de armazenamento de energia: o capacitor e o indutor. Aula 9

7. Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças • Exemplo 2: Sistema massa-mola Posição Velocidade Aceleração Observe que a ordem N é 2 e o sistema possui dois elementos de armazenamento de energia: a massa e a mola. Aula 9

8. Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças • Exemplo 3: Relação de entrada e saída de um sistema que processa dados em um computador • Observe que a ordem N é 2 pois o sistema possui uma memória máxima da saída igual a 2. • A memória em um sistema de tempo discreto é análoga ao armazenamento de energia em um sistema de tempo contínuo. Aula 9

9. Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças • Dada a forma geral de uma equação de diferença então podemos reescrevê-la na forma recursiva A qual indica que a saída y[n] pode ser obtida a partir da entrada e de valores passados da saída. Aula 9

10. Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças • Exemplo: Considere o sistema de tempo discreto modelado como Descreva o sistema sob uma forma recursiva e determine as 3 primeiras amostras de saída. Solução: Aula 9

11. Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças Observe que para iniciar o processo em n=0 é necessário conhecer os dois valores passados mais recente da saída, y[-1] e y[-2], que são as condições iniciais do sistema. Aula 9

12. Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças • As condições iniciais resumem todas as informações sobre o passado do sistema que são necessárias para determinar as saídas futuras. • Em geral, o número de condições iniciais necessárias é igual à ordem do sistema. • No caso de sistemas de tempo contínuo, as condições iniciais são os valores das N derivadas da saída avaliadas no tempo t0 • As condições iniciais em sistemas de tempo contínuo estão relacionadas com os valores iniciais dos dispositivos de armazenamento de energia (tensões iniciais em capacitores, correntes iniciais em indutores,...) Aula 9

13. Resolvendo Equações Diferenciais e de Diferenças • É conveniente expressar a saída como uma soma de dois componentes: • Um associado somente com as condições iniciais; • Outro devido somente à entrada. • Denominaremos o componente associado com as condições iniciais de resposta natural do sistema, y(n). • O componente da saída devido somente à entrada é denominado resposta forçada do sistema, y(f). • A resposta natural é a saída do sistema para entrada zero, enquanto que a resposta forçada é a saída do sistema com condições iniciais nulas. • Um sistema com condições iniciais nulas (nenhuma energia armazenada ou nenhuma memória) é dito estar em repouso. Aula 9

14. Resolvendo Equações Diferenciais e de Diferenças • A resposta natural mostra como o sistema dissipa energia ou memória do passado, representadas por condições iniciais distintas de zero. • A resposta forçada mostra o comportamento do sistema, que é “forçado” por uma entrada quando o sistema está em repouso. Aula 9

15. A Resposta Natural • Considere a equação diferencial em sua forma geral Considerando x(t)=0, o que nos leva à equação homogênea Logo, a resposta natural y(n) tem a forma em que ri são as N raízes da equação característica do sistema. Aula 9

16. A Resposta Natural Equação homogênea Logo, a resposta natural y(n) tem a forma em que ri são as N raízes da equação característica do sistema A substituição de y(n) na equação homogênea estabelece sua solução para qualquer conjunto de constantes ci. Aula 9

17. A Resposta Natural • Considere a equação de diferenças em sua forma geral Considerando x[n-k]=0, o que nos leva à equação homogênea Logo, a resposta natural y(n) tem a forma em que ri são as N raízes da equação característica do sistema A substituição de y(n) na equação homogênea estabelece sua solução para qualquer conjunto de constantes ci. Aula 9

18. A Resposta Natural Equação característica de tempo contínuo Equação característica de tempo discreto Observe que as equações características de tempo contínuo e de tempo discreto diferem uma da outra. Aula 9

19. A Resposta Natural • A forma da resposta natural se modifica ligeiramente quando as equações características possuem raízes repetidas. • Se a raiz for repetida p vezes, então incluímos p termos distintos nas soluções de y(n) associadas com ri, envolvendo as p funções Tempo contínuo Tempo discreto • Natureza de cada termo na resposta natural: • ri reais => exponenciais reais • ri imaginárias=>senóides • ri complexas=> Senóides exponencialmente amortecidas Aula 9

20. A Resposta Natural • Exemplo: Considere o circuito RL como um sistema cuja entrada é a tensão aplicada x(t) e a saída é a corrente y(t). Encontre uma equação diferencial que descreva este sistema e determine a resposta natural do sistema para t>0, supondo que a corrente que atravessa o indutor no instante t=0 seja y(0)=2 A. Solução: Aula 9

21. A Resposta Natural A resposta natural é a solução da equação homogênea cuja solução, sabendo que N=1, é em que r1 é a raiz da equação característica O coeficiente c1 é determinado de forma que a resposta satisfaça a condição inicial y(0)=2. Neste caso, c1=2, de modo que Aula 9

22. A Resposta Forçada • A resposta forçada é a solução para a equação diferencial ou de diferenças correspondente à entrada dada, supondo-se que as condições iniciais sejam nulas. • Consiste na soma de dois componentes: • Um termo que tem a mesma forma que a resposta natural • Uma solução particular y(p) • A solução particular normalmente é obtida supondo que a saída do sistema tenha a mesma forma geral que a entrada • Exemplo 1: se a entrada é x[n]=an, então supomos que a saída tenha a forma y(p)[n]=can, e encontramos a constante c . • Exemplo 2: se a entrada é x[n]=Acos(Ωn+Φ), então supomos que a saída tenha a forma y(p)[n]=c1cos(Ωn)+c2sen(Ωn), onde c1 e c2 são determinadas a fim de que y(p)[n] satisfaça a equação de diferença do sistema. Aula 9

23. A Resposta Forçada Aula 9

24. A Resposta Forçada • Exemplo: Considere o circuito RL como um sistema cuja entrada é a tensão aplicada x(t) e a saída é a corrente y(t). Encontre uma solução particular para este sistema, sabendo que x(t)=cos(ω0t)V. Solução: Aula 9

25. A Resposta Forçada Supomos uma solução particular da forma Então, a equação diferencial fica como segue: Aula 9

26. A Resposta Forçada • Exemplo: Considere o circuito RL como um sistema cuja entrada é a tensão aplicada x(t) e a saída é a corrente y(t). Encontre a resposta forçada, sabendo que x(t)=cos(t)V, R=1Ω, L=1H. Aula 9

27. A Resposta Forçada Solução: Reposta natural: Reposta Particular: Reposta Forçada: Aula 9

28. A Resposta Forçada Reposta Forçada: Aula 9

29. A Resposta Completa • É a soma da resposta natural e a resposta forçada • Obtém-se aplicando os procedimentos para determinação da resposta forçada, mas com as condições iniciais reais em vez de nulas Aula 9

30. A Resposta Completa • Exemplo: Considere o circuito RL como um sistema cuja entrada é a tensão aplicada x(t) e a saída é a corrente y(t). Encontre a resposta forçada, sabendo que x(t)=cos(t)V, R=1Ω, L=1H e y(0)=2A. Solução: Reposta forçada: Reposta completa: Aula 9

31. A Resposta Completa Reposta Completa: Reposta Natural: Reposta Forçada: Aula 9