Teoria Geral de Sistemas

1. Teoria Geral de Sistemas Conceitos Básicos Jorge Muniz Barreto UFSC - INE

2. Conceitos Básicos de Sistemas • A Teoria Geral de Sistemas é uma teoria matemática que procura tratar de todos os possíveis tipos de sistemas com um arcabouço único. • Assim, a Teoria de Sistemas abrange vários campos de aplicação mas não se confunde com nenhum deles. Afinal, o todo não deve ser confundido com uma de suas partes.

3. Conceitos Básicos de Sistemas • A noção de sistema deve ser considerada como em uma teoria matemática como um conceito primitivo, sem definição. • Seu conceito deve ser apreendido através de exemplos e contra-exemplos. Só que contra-exemplos são difíceis de encontrar...

4. Conceitos Básicos de Sistemas • Claro que em administração trabalha-se com sistemas administrativos e a noção sistêmica é de grande valia. • Entretanto restringir sistemas a sistemas administrativos seria considerar que o Brasil é a cidade de São Paulo... Se estará perdendo regiões maravilhosas de se viver...

5. Conceitos Básicos de Sistemas • Claro que Pesquisa Operacional usa noções sistêmicas ms seu uso é bem limitado. • Restringir sistemas a problemas que recaem em Pesquisa Operacional seria considerar que o Brasil é a cidade do Rio de Janeiro, com suasa praias esquecendo as águas limpas e quentes do nerdeste...

6. Conceitos Básicos de Sistemas • Ligar sistemas a sistemas produtivos seria eum erro, que levaria a deterioração do conceito por se misturar com cada um dos seus compos particulares de aplicação. • Teoria de Sistemas deve ser extensão da Teoria da Computação por ser um extensão natural da Teoria das Máquinas de Estado Finitas, modelo abstrato de nossos computadores

7. Conceitos Básicos de Sistemas • Tem-se um sistema sempre que se considera um objeto do mundo real ou imaginário e se concentra neste objeto nossa atenção de estudo. Assim sistemas podem ser: Sistemas reais{concretos imaginários Sistemas abstratos

8. Conceitos Básicos de Sistemas • Sistemas reais são todos aqueles que existem no nosso mundo.Ex: Um sistema administra-tivo, o sistema de transportes urbano, etc. • Os dois sistemas acima são sistemas concretos. Um sistema abstrato seria o de um conto policial.

9. Conceitos Básicos de Sistemas • Sistemas abstratos são exatamente os que estudam-se na Teoria Geral de Sistemas. São sistemas matemáticos abstração de algum sistema real. Ex: pedaço de vidro. • Pode constituir vários sistemas: • lâmina de faces paralelas; • estado vítreo, etc.

10. Conceitos Básicos de Sistemas Sistema Geral: Sg Seja o conjunto de atributos relavantes de um sistema: A1, A2, A3, ...An Tem-se: Sg  A1  A2 A3 ...  An

11. Conceitos Básicos de Sistemas Sistema Orientado So Quando se faz uma partição no conjunto de atributos relevantes, considerando conjunto de entradas e  conjunto de saidas, tem-se um sistema orientado. Assim: • So    

12. Conceitos Básicos de Sistemas Observação: Nem todo sistema é orientado. Um resistor linear, tem modelo dado pela Lei de Ohm: V = RI Neste caso, tanto o I como V podem ser a variável independente. Diz-se que R aceita duas orientações.

13. Conceitos Básicos de Sistemas Exemplos de sistemas orientados: Catálogo telefônico de nomes: entra-se com o nome e tem-se o telefone. Lâmpada de mesa: a posição do interruptor determina o estado da lâmpada: acesa ou apagada. A maioria das linguagens de programação, tem dados e resultados perfeitamente definidos.

14. Conceitos Básicos de Sistemas Sistema Temporal St: Quando  excitação e  resposta são funções de um mesmo parâmetro t  T conjunto munido de uma relação de ordem total, diz que o sistema é temporal. Assim: St  UT  YT, U é o conjunto de valores de entrada e Y o conjunto de valores de saida.

15. Conceitos Básicos de Sistemas Nota (Relação com Sistemas Formais)(1/2): Em um sistema formal a cada aplicação de uma regra de derivação é criado um novo elemento do sistema formal. Estes elementos podem ser colocados na ordem de sua criação; primeiro, segundo, etc, podendo ser enumerados. Casos como este trata-se de sistema temporal com tempo número natural ou enumerável.

16. Conceitos Básicos de Sistemas Nota (Relação com Sistemas Formais)(2/2): Tem-se ainda: U: alfabeto de entrada; Y: alfabeto de saida; : mesmo que U*; : mesmo que Y*; T: tempo, aqui sub-conjunto dos naturais

17. Um circuito elétrico RLC funciona com tempo número real. Seu modelo matemático é uma equação diferencial de segunda ordem e a solução de pende da carga inicial em C e da corrente em L. Sistemas de valores discretos mas funcionando de modo assíncrono, tem os eventos caracterizando seu comortamento ocorrendo em tempo número real. Conceitos Básicos de SistemasSistemas com tempo número real

18. Conceitos Básicos de Sistemas Frequentemente é imprescindível especificar claramente qual é o conjunto tempo considerado.

19. Conceitos Básicos de Sistemas Sistema Funcional Sf (Conceito de Estado): Em alguns sistemas orientados, a uma mesma entrada podem corresponder mais de uma saida. Por exemplo, uma agenda telefônica, em que se tem mais de um telefone para a mesma pessoa. Cria-se, para ter uma função, conjunto auxiliar X (ex: {fixo, celular}) chamado estado. Sf :   X  

20. Conceitos Básicos de Sistemas Sistema Dinâmico Sd <T, T, X, U, Y, , , , > onde: T: conjunto munido de relação de ordem; X: conjunto de valores possíveis de estado; U,Y: valores de entrada e saída; , : funções de entrada e saída; : função transição de estado; : T  T  X    X : T  U  X Y função saída.

21. Exemplos de Sistema Dinâmico • Um computador é um sistema dinâmico. O tempo T é dado por seu relógio interno, o conjunto de estados X é o conjunto de configurações possíveis de memória, Valores de entrada U é o conjunto das entradas possíveis {teclado, mouse, mancho, etc) Y é o conjunto de saídas possível {caracteres na tela, som, impressão, etc) ,  são dados pelo programa em execução.

22. Exemplos de Sistema Dinâmico • Um neurônio formal é um sistema dinâmico com #X=1, T=N, ou R dependendo de ser a tempo contínuo ou discreto. • Dois argumentos T na função de transição de estados é útil para representar modificação da mesma por envelhecimento.

23. Exemplos de Sistema Dinâmico • Suspensão de automóvel é um sistema dinâmico. Seu modelo é um sistema de equações diferenciais do tipo: x’ = f(x,u(t)) y = g (x,u(t)) onde x’ é a derivada do vetor x, solução de um sistema de equações diferenciais normal.

24. Exemplos de Sistema Dinâmico • Assim como suspensão de um carro é um sistema mecânico dinâmico, circuitos elétricos são também freqüêntemente sistemas dinâmicos. Em princípio, todo sistema contendo elementos armazenadores de energia são sistemas dinâmicos. No sistema mecãnico tem-se energia potencial e cinética, no elétrico, elettrica e magnética.

25. Sistemas químicos também são sistemas dinâmicos. Em lugar de energia armazenada tem-se concentração dos seus componentes Sistemas térmicos também são sistemas dinâmicos. Aqui a energia armazenada se faz sob a forma de calor, e a dinâmica provoca mudança de temperatura por transmissão de calor. Exemplos de Sistema Dinâmico

26. Sistema estático: Um sistema dinâmico é dito estático quando a cardinalidade do conjunto de estados é 1. Neste caso, ele recai em um sistema temporal. Sistema estacionário: Um sistema dinâmico é dito estácionário quando uma translação no tempo da entrada provoca uma saida igual à anterior transladada no tempo do mesmo valor se em ambos os casos o estado inicial for o mesmo. Tipos de Sistemas dinâmicos

27. Sistema a tempo contínuo: Um sistema dinâmico é dito a tempo contínuo quando o conjunto T é um intervalo dos reais. Sistema a tempo discreto: Um sistema dinâmico é dito a tempo discreto quando o conjunto T é um subconjunto dos inteiros. Tipos de Sistemas dinâmicos

28. Sistema quantizado: Um sistema dinâmico é dito a tempo quantizado quando o conjunto de valores de entrada, saida ou estado são subconjuntos dos inteiros. Tipos de sistemas quantizados: Dependendo de que variável seja de valores subconjunto dos inteiros diz-se tratar-se de um sistema de entrada quantizada, saida quantizada ou estado quantizado.. Tipos de Sistemas dinâmicos

29. Sistema finito: Um sistema dinâmico é dito a finito quando o conjunto de valores de entrada, saida ou estado são conjuntos finitos. Neste caso a estes valores costuma-se chamar alfabeto. Sistema a saida finita: Um sistema dinâmico cuja saida tem valores tomados de um conjunto finito gera sequências ou cadeias sobre este alfabeto, sendo portanto um gerador de uma linguagem. Tipos de Sistemas Dinâmicos

30. Automato: Um sistema dinâmico atempo discreto, de entrada e saida finitas é dito um automato. Em latim: Singular: automaton, Plural: automata Automato finito: Se além de ser um automato, o conjunto de estados for também finito, tem-se um automato finito. Os automatos finitos são algumas vêzes chamados máquinas de estado finitas. Tipos de Sistemas Dinâmicos

31. Tabelas: Pode-se definir um automato finito por tabelas definindo tanto as funções de transição de estados quanto a de saida. Ao lado exemplo de transição de estado Estados Novos estados Representações da Automatos Finitos E n t r a d a

32. Grafos: Essencialmente dois tipos de grafos podem ser usados: 1-Associando nós dos grafos aos estados e marcando nos arcos as entradas que provocam as transições de estado e as saidas correspondentes. Representações da Automatos Finitos 0/a 1/b X1 1/b X2 0/a 1/b 0/a X3

33. 2-Associando nós dos grafos aos estados e marcando nos arcos apenas as enrtadas. As saidas são marcadas diretamente nos estados. Claro que esta representação supõe a função saida a identidade Representações da Automatos Finitos 0 1 X1/a 1 0 X2/b 1 0 X3/c

34. Notação Usual em Automatos • Um automato finito pode ser visto como lendo um conjunto finito de símbolos, do alfabeto de entrada e transformando-os em outro conjunto finito, o alfabeto de saida. • É portanto usual empregar notação compatível com linguagens formais, e simplificar ao máximo a definição de sistema dinâmico. • Mas não esquecerque automatos são: Sistemas Dinâmicos

35. Notação Usual em Automatos • Assim: • Conjunto de valores de entrada U se escreve como uma letra grega maiúscula, , por exemplo. •  segmento de entrada é agora *. • X estado se costuma usar a letra Q. • O tempo T se omite. • Só se usa função saida quando essencial. • A transição de estado é geralmente denotada pela letra 

36. Notação Usual em Automatos • Assim para automato de alfabeto de entrada e saida:  = {a1, a2, …, an } • O automato é como a máquina: • (qu, aj) |qv ai aj ak . . . ar qu ai aj ak . . . ar

37. Automato de Pilha é um automato que dispõe de uma pilha onde é capaz de escrever dados a serem usados futuramente. Um teorema a ser visto é que automatos de pilha são reconhecedores de linguagens livres de contexto. Automato de Pilha

38. Automata de Pilha ai aj ak . . . ar • Início: (q0, ai, Z0)| (q3, z1z2… zr ) q0 Z0

39. Automato de Pilha ai aj ak . . . ar (q3, aj, z1)| (q3, s1… st ) q3 z1 z2 . . . zr

40. Automato de Pilha ai aj ak . . . ar (q3, ak, s1)| (q5, ) q3 s1 s2 . . st z2 . . . zr Section 1- 29 Les Lander CS 573, Fall 1997

41. Automato de Pilha ai aj ak . . . ar Continue até que à Máquina falte argumento (pilha vazia) ou chegue ao fim da fita. q5 s2 . . st z2 . . . zr

42. Automato de Pilha ai aj ak . . . ar Existem 2 modos de definir Aceitação de palavraspelo estado finalpor esvaziar a pilha qm s . . . . . z

43. Ponto de Equilíbrio • Um elemento do conjunto de estados, para um sistema dinâmico contínuo no tempo, é dito um ponto de equilíbrio se, corresponder a uma solução da equação: x’= f(x,u(t)) Para x’= 0. Se este ponto de equilíbrio for calculado para u(t)=0 será de sistema autônomo, caso contrário será de sistema forçado

44. Ponto de Equilíbrio • Um elemento do conjunto de estados, para um sistema dinâmico a tempo discreto, é dito um ponto de equilíbrio se, corresponder a uma solução da equação: x(k)= f(x(k),u(k)) Se este ponto de equilíbrio for calculado para u(k)=0 será de sistema autônomo, caso contrário será de sistema forçado

45. Ponto de Equilíbrio (Nota) • Pela definição de ponto de equilíbrio nota-se que o conceito, estudado em Lambda cálculo de ponto fixo, corresponde a ponto de equilíbrio. • Existe uma analogia entre programas que não terminam, entrando em ciclos e outros que terminam e sistemas dinâmicos instáveis e estáveis. • PENSE!

46. Ponto de Equilíbrio Estável • Um ponto de equilíbrio é dito estável se o sistema tende a voltar a ele após uma perturbação • No caso contrário será dito instável. Não me empurre Que euCaio! Pode me empurrar Estou seguro!

47. Observabilidade • Um sistema dinâmico é dito observável se com informação de um segmento finito de entrada e saida é possivel determinar o estado inicial do sistema. Estado inicial é o valor do estado que corresponde ao tempo, início do segmento de entrada e saida observado. • No caso contrário o sistema será dito não observável.

48. Observabilidade • Como exemplo, seja o sistema caracterizado pelo sistema de equações discretas, (como se costuma modelar redes neurais síncronas), que para simplicidade de tratamento se tomará o caso linear: • x(k+1)=Ax(k) + Bu(k) • y(k) = Cx(k) + Du(k) onde: • x Rn; u Rm; y Rp; A,B,C,D matrizes reais.

49. Observabilidade • Para uma deducão simplificada seja D matriz nula. • Se n=p=1 y(0) = Cx(0), (1) • C é escalar logo se C ≠ 0 x(0) = y(0)/C • Se n=2,p=1 a equação acima não permite calcular x(0), mas usando a equação de transição de estado: • y(1)=Cx(1)=CAx(0)+CBu(0) (2) • Eq.1 e Eq.2 formam sistema linear: • |y(0) y(1)|T = |C CA|T + |0 CB| T u(0) cuja solução depende de se a matriz |C CA| é regular (determinante ≠ 0)

50. Observabilidade • Este resultado, devido á Kalman (1960) apresentado no 1º Congresso do IFAC (“International Federation on Automatic Control”), para o caso com n,p quaisquer se torna: Um sistema dinâmico linear estacionário é observável se a matriz: |C CA CA2 CA3 … CAN-1| for de posto n, isto é, contiver submatriz quadrada, regular de dimensão (n x n)