Asimetri ve Basıklık Ölçüleri

1. Asimetri ve Basıklık Ölçüleri Ortalamalara dayanan (Pearson) Kartillere dayanan (Bowley) Momentlere dayanan asimetri ve basıklık ölçüleri

2. III. Asimetri ve Basıklık ölçüleri • Asimetri ve basıklık ölçüleri bir serideki gözlem değerlerinin dağılımının şeklini ortaya koyan ölçülerdir. Bu ölçüler yorumlanırken normal dağılım özellikleri dikkate alınır. Normal dağılım eğrisi simetrik ve normal bir basıklığa sahiptir. Asimetri ölçüsü serinin frekans dağılımının simetrik dağılımdan uzaklaşma derecesini gösterirken, basıklık ölçüsü verilerin normal dağılıma göre ortalama etrafında ne kadar yoğun bir şekilde dağıldığını gösteren ölçülerdir. • Asimetri ölçüsünün işaret büyüklüğü verinin çarpıklığının yön ve şiddetini gösterirken, basıklık ölçüsünün büyüklüğü verilerin ortalama civarında aşırı yoğunlaştığına, küçüklüğü ise verilerin ortalamaya etrafında fazla dağınık olduğuna işaret etmektedir.

3. Asimetrisi hafif serilerde ortalamalar arasında aşağıdaki gibi bir ilişki söz konusudur. Bu ilişkinin her iki tarafı standart sapmaya oranlandığında iki asimetri ölçüsü elde edilir. As = 0 ise seri simetrik As > 0 ise seri sağa çarpık As < 0 ise seri sola çarpık olarak nitelendirilir. III. 1- Ortalamalara Dayanan (Pearson) Asimetri Ölçüleri

4. Yukarıdaki asimetri ölçülerinden daha çok birincisi kullanılır. Modun hesaplanamadığı durumlarda ikinci formül kullanılarak asimetri belirlenir. Bu asimetri ölçüsü ±1 e yaklaştıkça çarpıklık kuvvetli hale gelirken, 0,5 e yaklaştıkça orta şiddette 0’a yaklaştıkça hafif şiddette çarpıklık söz konusu olur. • Sağa çarpık durumda gözlem değerlerinin büyük bir kısmı modun sağında, sola çarpık durumda ise solunda yer alacaktır. Diğer bir deyişle sağa çarpık serilerde aritmetik ortalama sağa doğru (büyük değerler yönüne) kayarken, sola çarpık serilerde aritmetik ortalama sola (küçük değerler yönüne) kayma göstermektedir.

5. Örnek :X marka piller için yapılan ömür testinde, 150 pil tesadüfen seçilmiş ve saat cinsinden ömürleri aşağıda verilmiştir. Pearson asimetri ölçülerini bulup sonucu yorumlayınız. • Pearson asimetri ölçülerini elde edilebilmesi için serinin aritmetik ortalaması, standart sapması, mod ve medyanının bilinmesi gerekir.

6. Aritmetik ortalama Kareli ortalama • Standart sapma • Mod • Medyan

7. Serinin şeklinin Histogram ve frekans poligunu ile gösterimi

8. III.2) Kartillere Dayanan (Bowley) Asimetri Ölçüsü • Simetrik serilerde Q3-Q2 = Q2-Q1 olduğu bilinmektedir. Eğer Q3-Q2 > Q2-Q1 ise serinin sağ tarafında bir yoğunlaşma olduğu, aksi halde sol tarafta bir yoğunlaşma olduğu söylenebilir. Bu durumu daha iyi ortaya koymak için Bowley tarafından geliştirilen aşağıdaki asimetri ölçüsü kullanılabilir. • As = 0 ise seri simetrik • As > 0 ise seri sağa çarpık • As < 0 ise seri sola çarpık olarak nitelendirilebilir. • Bu ölçü sıfıra yaklaştıkça asimetri hafifler±1 e yaklaştıkça asimetri kuvvetli hale gelir.

9. Örnek:Yukarıdaki pillerin ömür deneyi örneği için Bowley asimetri ölçüsünü bularak sonucu yorumlayınız. • Q1için • Q2 için

10. III.3. Momentlere Dayanan Asimetri ve Basıklık Ölçüleri • Moment Tanımı ve Çeşitleri : Moment bir serideki gözlem değerlerinin sıfırdan veya aritmetik ortalamadan farklarının kuvvetlerinin aritmetik ortalamasıdır. Bu ölçüler serinin frekans dağılımının şeklinin belirlenmesinde kullanılan ölçülerdir. • Bir serideki gözlem değerlerinin sıfırdan çeşitli derecelerdeki farklarının ortalamasına sıfıra göre moment adı verilir. Sıfıra göre moment “Mr“ şeklinde yazılır. Burada “r” momentin derecesi olup, fark alma işleminin derecesini gösterir. Buna göre sıfıra göre momentler şöyle formüle edilir.

11. Burada r = 1,2,3,4 değerlerini alır. Asimetri ve basıklık için daha üst derecelerde momentler gerekli değildir. • Sıfıra göre 1.moment aritmetik ortalamaya • 2.moment ise kareli ortalamanın karesine eşittir. Sıfıra göre momentleri kullanarak asimetri ve basıklık ölçüsünü elde etmek mümkün değildir. Asimetri ve basıklık ölçüleri aritmetik ortalamaya göre momentler yardımı ile elde edilebilir. Ancak sıfıra göre momentler kullanılarak aritmetik ortalamaya göre momentler elde edilebilir.

12. Aritmetik Ortalamaya Göre Momentler • Serideki gözlem değerlerinin aritmetik ortalamalardan çeşitli derecelerdeki farklarının ortalamalarına aritmetik ortalamaya göre momentler adı verilir. Aritmetik ortalamaya göre momentler “r” şeklinde gösterilir. Burada “r” momentin derecesi olup 1,2,3,4 değerlerini alır. Aritmetik ortalamaya göre momentler şöyle yazılır.

13. r =1 için 1 = 0 olur • r =2 için 2 = 2 yani varyans olur. • 3.1. Momentlere Dayanan Asimetri Ölçüsü (3) • Momentlere dayanan asimetri ölçüsü (3), asimetrik ortalamaya göre 3. momentin standart sapmanın küpüne oranlanması ile elde edilir. • olup • 3 = 0 ise seri simetrik • 3 > 0 ise seri sağa çarpık • 3 < 0 ise seri sola çarpık olmaktadır. • 3 için bir üst sınır olmamakla birlikte olursa asimetrinin kuvvetli olduğu kabul edilir.

14. 3.2. Momentlere Dayanan Basıklık Ölçüsü (4) • Momentlere dayanan basıklık ölçüsü, asimetrik ortalamaya göre 4. momentin standart sapmanın 4. kuvvetine oranlanması ile elde edilir. • olup, • 4 = 3 ise serinin basıklığı normal • 4 > 3 ise seri normal dağılıma göre daha sivridir. • 4 < 3 ise seri normal dağılıma göre daha basıktır. • Eğer bir seri 3= 0 ve 4= 3 şeklinde bir dağılım gösteriyorsa bu serinin dağılımının normal olduğu söylenir.

15. Örnek:Yukarıdaki pil örneği için; • a-) Sıfıra göre momentleri bulunuz. • b-) Aritmetik ortalamaya göre momenti hesaplayınız. • c-)3 asimetri ölçüsünü bularak yorumlayınız. • d-)4basıklık ölçüsünü bularak yorumlayınız.

16. a) Sıfıra göre momentler b) Aritmetik ortalamaya göre momentler

17. b) Aritmetik ortalamaya göre momentler: c) 3 asimetri ölçüsü: olduğundan seri sağa çarpıktır.

18. olduğundan seri hafif basıktır. • d) Basıklık Ölçüsü • Şu halde seri normal dağılan bir seriye göre sağa çarpık ve hafif basık bir dağılış göstermektedir. Kabaca grafiği şöyle çizilebilir.

19. Sıfıra Göre Momentlerden Hareketle Aritmetik Ortalamaya Göre Momentlerin Bulunuşu • Sıfıra göre momentlerden yararlanarak aritmetik ortalamaya göre momentler elde edilerek serinin asimetri ve basıklığı hesaplanabilir. Burada basit seri için aritmetik ortalamaya göre momentlerin sıfıra göre momentlerden bulunuşu gösterilecektir. Diğer seriler için de aynı formüller geçerlidir. • Aritmetik ortalamaya göre 1. moment: • Aritmetik ortalamaya göre 2. moment

20. Aritmetik ortalamaya göre 3. moment • Aritmetik ortalamaya göre 4. moment

21. Örnek:Yukarıdaki pil örneği için sıfıra göre momentleri kullanarak aritmetik ortalamaya göre momentleri bularak asimetri ve basıklığı belirleyiniz. • Çözüm:Yukarıda bu örnek için sıfıra göre momentler bulunmuştu. Buna göre; • Bu verilenden hareketle 2, 3 , 4 ‘ü yukarıda verilen formülleri kullanarak bulalım. • Standart sapma • 3. moment

22. Aritmetik ortalamaya göre 4. moment: • 3 asimetri ölçüsü: • 4 basıklık ölçüsü:

23. Aşağıda D100 karayolunun Adapazarı İzmit kesiminde meydana gelen kazaların günlere göre dağılımı verilmiştir. Bu veriler göre serinin; • a) Sıfıra ve aritmetik ortalamaya göre momentleri bulunuz. • b) Asimetri ölçüsünü bulunuz. • c) Basıklık ölçüsünü bulup yorumlayınız.

24. a) Sıfıra göre momentler Sıfıra göre 4 moment şöyle olur.

25. Aritmetik ortalamaya göre momentlerin hesaplanması

26. Aritmetik ortalamaya göre momentlerin farklar serisinden hesaplanması

27. Sıfıra göre momentlerden aritmetik ortalamaya göre momentlerin bulunuşu

28. c) Asimetri ve basıklık ölçüleri • Asimetri ölçüsü (3) • Basıklık ölçüsü (4)

29. Örnek:Basit bir seri için aşağıdaki verilere ulaşılmıştır. Bu verilerden hareketle; • a) Aritmetik ortalamayı (8.5) • b) Kareli ortalamayı (10,238) • c) Gözlem sayısını (N=6) • d) Modu tahmin ediniz ( Mod=10,6) • e) α3 asimetri ölçüsünü (1,07) • f) µ4 aritmetik ortalamaya göre 4. momenti (3230,6) • g) α4 Basıklık ölçüsünü (3,04) • h) Değişim katsayısını bulunuz. (%67,17)

30. Örnek:Basit bir seri ile ilgili aşağıdaki veriler elde edilmiştir. • M2 = 69,8 DK= 38,38 Xi3 = 3429 3 = 0,059 • M4 = 7282 Xi = 1920 Mod= 8,4 • a) Aritmetik ortalamayı, (7,8) • b) Gözlem sayısını, (5) • c) Geometrik ortalamayı bulunuz. (4,536) • d) Standart sapmayı, (3) • e) Medyanı tahmin ediniz. ( 8 ) • f) 4 basıklık ölçüsünü, (3,21)