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Torsión de Barras Prismáticas de secciones de pequeño espesor. <br>Comparación de secciones abiertas y simplemente conexas.
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Solicitación por TorsiónEjercicio N° 26 de la Guía de Problemas Propuestos Curso de Estabilidad IIb Ing. Gabriel Pujol Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires
Experimentalmente se ha comprobado que, para aquellas secciones huecas en las cuales el espesorde pared es reducido, la hipótesisenunciada por Coulomb es válida (conservación de las secciones planas y el mantenimiento de su forma). Veamos los principales conceptos de torsión en secciones tubulares de pared delgada simplemente conexa. Supongamos una sección tubular de forma arbitraria pero de paredes muy delgadas sujeta a los efectos de un par Mt. Mt Introducción s Si consideramos un corte s-s de la pared del tubo, si Aes un punto de la superficie interior y Botro de la exterior… e s … al encontrarse este último más alejado del centro de rotación de la sección, su distorsión será mayor y en consecuencia resultará: s t t A A B B s
En consecuencia, a lo largo de ABla tensión variará según una ley que desconocemos, pero dado el reducido espesor e, y la poca diferencia entre las direcciones de tA y tB, podemos establecer lo siguiente: Veamos los principales conceptos de torsión en secciones tubulares de pared delgada simplemente conexa. Mt Introducción • que la tensión tangencialtMse mantiene constante en intensidad y dirección a lo largo del espesor de la pared; y s e s que la dirección de tMcoincide con la de la tangente al contorno medio de la sección, en el corte considerado. s t t t A M A B B s
Sea ahora la sección de la figura. Veamos los principales conceptos de torsión en secciones tubulares de pared delgada simplemente conexa. Sobre un elemento de su superficie de espesor e, longitud dsy área: …actuará una fuerza elemental cuya dirección coincide con la tangente al contorno medio en el punto considerado. Mt dT Introducción ds e En consecuencia, si elegimos un punto cualquiera O del plano de la sección y llamamos r a la distancia al mismo de dT, la ecuación que establece la equivalencia del par torsor con el momento de las fuerzas internas adquiere la forma: r O
Imaginemos cortada la sección por dos planos verticales 1-1 y 2-2normales cada uno de ellos al contorno medio, y consideraremos sólo el trozo delimitado por dos secciones separadas de una longitud unitaria. Veamos los principales conceptos de torsión en secciones tubulares de pared delgada simplemente conexa. Mt 1 Sobre cada una de las caras verticales actuarán tensiones tangenciales uniformemente repartidas que, de acuerdo con el teorema de Cauchy darán origen a dos fuerzas elementales, de intensidad (T1 =e1. tM1. 1) y (T2=e2. tM2. 1) que, como pertenece a un sólido en equilibrio, debe también estar también en equilibrio. En consecuencia: dT 1 Introducción ds e r 2 2 T2 T1 O …y como los cortes fueron elegidos arbitrariamente, concluimos que: 1 …y en consecuencia: e1 e2
Veamos los principales conceptos de torsión en secciones tubulares de pared delgada simplemente conexa. ….pero de la figura se observa que: …donde dwes el área del triángulo elemental de base dsy cuyo vértice coincide con el centro Ode momentos, En consecuencia: Mt 1 dT 1 Introducción …en donde Wrepresenta el área de la superficie delimitada por el contorno medio de la sección. Por lo tanto: ds e r 2 Otra magnitud que interesa conocer es el valor del ángulo específico de torsión qy para ello igualamos los trabajos interno y externo de deformación: 2 T2 T1 O el primero corresponde al trabajo del par torsor Mt. 1 el segundo es el desarrollado por las tensiones tM e1 e2
Trabajo interno de deformación: si sobre un par de ejes coordenados llevamos como ordenadas los valores crecientes del par torsor (Mt) y en abscisas los correspondientes ángulos específicos de torsión (q), el diagrama resultante, es una recta que pasa por el origen, dado que existe una relación lineal entre Mt y q. Veamos los principales conceptos de torsión en secciones tubulares de pared delgada simplemente conexa. Mt Mt + dMt Mt Introducción Para un determinado incremento dMt corresponde una variación dq del ángulo específico de torsión, y el trabajo desarrollado, salvo infinitésimos de orden superior, será: q dq …y cuando el par torsor crece de cero a Mt : …que representa el área encerrada por el diagrama (Mt , ):
Por su parte, el trabajo interno de deformación es, el trabajo desarrollado por las tensiones t, de modo que tenemos: Veamos los principales conceptos de torsión en secciones tubulares de pared delgada simplemente conexa. En consecuencia, como debe ser: resulta: Introducción Pero en el caso que nos ocupa: de donde: Reemplazando t2 resulta: … y simplificando y despejando será:
El valor de la integral puede calcularse con suficiente aproximación reemplazándola por una sumatoria, ya que, en general no se conoce la ley de variación een función de s: Veamos los principales conceptos de torsión en secciones tubulares de pared delgada simplemente conexa. …para cuya evaluación bastará dividir el perímetro medio en elementos Ds y considerar para cada uno de ellos su espesor medio em. Introducción Si hacemos Ds = cte, la expresión se transforma en: Finalmente, cuando se trata de una sección de paredes de espesor econstante, resulta: …donde ses la longitud del perímetro medio de la sección y resulta válida cuando el radio de curvatura r es mayor que el espesor e en el punto considerado.
En construcciones mecánicas es muy común el cálculo de la torsión de secciones de formas varias, pero en general de reducido espesor y abiertas. Veamos ahora los principales conceptos de torsión en secciones abiertas de pared delgada. Por su parte, la analogía de la membrana determina, para tales secciones, con suficiente aproximación una distribución lineal de tensiones a través de su espesor y muestra que dichas tensiones varían muy poco si se suponen enderezados los perfiles de modo de transformarse en rectángulos muy alargados. Introducción La solución exacta del problema de la torsión con carácter general y aplicable a cualquier tipo de sección, se debe a Saint Venanty pertenece al dominio de la Teoría Matemática de la Elasticidad (fuera del alcance de este curso). La solución de Saint Venant, aplicada al caso de la sección rectangular, establece que la máxima tensión tangencial ocurre en el centro del lado mayor y su expresión es:
Donde ay bson los lados de la sección y un coeficiente cuyo valor en función de la relación k = a/b mientras que, el ángulo específico de torsión tiene por expresión: Veamos ahora los principales conceptos de torsión en secciones abiertas de pared delgada. o bien: Introducción donde κ = / La sección rectangular presenta dos casos particulares: cuadrada y rectangular muy alargada. Para la segunda, cuando a>>b, 3; 3 y podemos escribir:
Veamos ahora los principales conceptos de torsión en secciones abiertas de pared delgada. Estas ecuaciones serán de aplicación, tanto para determinar la tensión tangencial máxima como para establecer el valor del ángulo específico de torsión, y por lo tanto podremos reescribirlas de la forma siguiente: Introducción
Veamos ahora el siguiente problema de aplicación: Dos barras de acero de iguales dimensiones, las cuales están construidas con un anillo circular de pequeño espesor, siendo una de ellas de contorno cerrado y la otra abierta, se encuentran sometidas a pares torsores equivalentes según se observa en la figura. Se solicita determinar en ambos casos: Enunciado Las tensiones tangenciales y las relaciones entre las mismas. Los ángulos específicos de torsión y sus relaciones. Datos: Rm= 10 cm; e = 1 cm; MT = 200 KN.cm; G = 8x103 KN/cm2
Cálculo de las tensiones tangenciales Veamos ahora el siguiente problema de aplicación: Barra de contorno abierto La tensión tangencial máxima será: Resolución y siendo:
Cálculo de las tensiones tangenciales Veamos ahora el siguiente problema de aplicación: Barra de contorno cerrado Siendo el área encerrada por el contorno medio; la tensión tangencial máxima será: Resolución y siendo:
Cálculo de los ángulos específicos de torsión Veamos ahora el siguiente problema de aplicación: Barra de contorno abierto Siendo Sla longitud del contorno medio de la sección; el ángulo específico de torsión será: Resolución y siendo:
Cálculo de los ángulos específicos de torsión Veamos ahora el siguiente problema de aplicación: Barra de contorno cerrado Siendo el área encerrada por el contorno medio; ángulos específicos de torsión será: Resolución y siendo: y
Relaciones Veamos ahora el siguiente problema de aplicación: Tensiones tangenciales máximas La relación entre ambas tensiones tangenciales será: Resolución Ángulos específicos de torsión La relación entre ambos ángulos específicos de torsión será: Como conclusión, a igualdad de condiciones, la rigidez a la torsión de un anillo circular cerrado es notablemente superior al caso en que el mismo estuviese abierto.
Bibliografía Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko
