نــام درس: رياضی عمومی (2)

2. نــام درس: رياضی عمومی (2) تعداد واحد: 3 واحد منبع درس: کتاب رياضی عمومی (2) مؤلـف:محمد جلوداری ممقانی تهيه کننده: محسن خیری نوع درس: پــــــــايه ناشــــر: دانشگاه پيـــــام نور

3. فهرست مطالب فصل دوم:هندسه تحلیلی که شامل 100 اسلاید می باشد. کتاب حاضرشامل 5 فصل با عنا وين زيراست: فصل سوم:جبر خطی که شامل147 اسلاید می باشد. فصل چهارم: رویه ها و دیگر دستگاههای مختصات که شامل 42 اسلاید می باشد. فصل پنجم: توابع برداری یک متغیره که شامل 104 اسلاید می باشد. فصل اول:دنباله وسری که شامل 86 اسلاید می باشد.

4. فصل اول دنباله ها و سری ها هدفهایکلی دنباله و سری از مفاهیم بنیادی حسـاب دیفرانسیل و انتگرال هستند. دانشجو در این درس با این مفاهیـــم ، مفاهیم وابسته و کاربردهای ساده آنها ، نظیر پیدا کردن حد برخی دنباله ها ، به دست آوردن مقدار تقریبی برخی اعداد و ... آشنا می شود. هدف کلی از ارائه این فصـل آشنا کردن دانشجو به طوری که مطالعه درسهای آنـالیز 1 و معــــادلات دیفرانســـیل برای آنان آسانتر و لذت بخشتـــر باشد.

5. هدفهایرفتاری: دانشجو پس از مطالعه این فصل باید بتواند : 1- دنباله، دنبـــاله های صعودی،نزولـــی، و یکنــوا را تعــــريف و برای هر کـدام مثالــی ذکر کنــد. 2- دنباله های همگـــــرا و واگــــرا را از هم باز بشنــاسد ، و در هـر مورد مثــال ارائــــه کنـــد. 3- ثـــابت کند که هر دنبــــاله یکنــــوا و کرانـــــدار همگــــراســــت. 4- ثــــابت کند که مجموع ، تفاضـل ، حاصلضرب ، و خـــــارج قسمت دو دنبـــــاله (بـــا مخرج غیر صفر) همگــــرا، دنبـــــاله ای همگـــــراست.

6. 5- سری، جمــــله عمومی ســــری، مجمــــوع جزئیn ام سری،همگرایی و واگرایـــی ســـری را تعريـــف کنــــد. 6- آزمــون کوشـــی برای همگرایی را را بیان کند و با استفاده از آن آزمون واگـــرایی را نتيجـه بگیرد. 7- آزمون همگـــرایی سریـــهای با جملـــه های نامنفــی و مجمـــــوع جــزئــی کرانـــــدار را بیـــان کنـــد. 8- انــــواع آزمونهای همگــــرایی ، آزمون مقایســــه ، آزمون نسبـــت ، آزمون ریشـــــه را بیان کنــــدو از آنها استفــــاده کنــــد. 9- ثابت کند که سری واگرا و سری همگـراست.

7. 10- سریـــهای متناوب را شناسایی و آزمون همــــگرایی آنها را بیان کند و به کار برد 11- همگرایــــی مطلق و مشروط را تعريف کند و نشان دهد که همگــــرایی مطلق همگرایی معمولی را ایجاب می کند . 12- سریــــهای توان را تعريف کند . شعاع همگــرایی و بازه همگرایی را برای هـــر ســـری تــــوان را به دســت آورد. 13- با سریـــــهای توان روی بازه همگــــرایی به عنوان یک تابع رفتار کند و تشخیـــص دهد که تحت چه شرایطی می توان حد ســـری تـوان را محاسبه کرد ، از آن مشتــــق یا انتـــگرال گرفت.

8. 1 . 1دنباله در ایــن بخش پس از معـــرفی دنبـــاله ، مفاهیم بنیادی وابستـــه به آن را بیــــان مـــی کنیم . در میان این مفاهیم ، همگـــرایی دنبــاله اهمیت ویـــژه ای دارد. در واقـــع، سعی خواهیـــم کرد که به هر دنباله ای عددی نسبــت دهیم ، اگر ایـــن کار امکان پذیر باشد می گوییم دنباله همگراست وگرنه دنبــــاله واگرا نامیده خـــواهد شد. به ایــــن ترتیب ،دنبــــاله ها را بــه دو دستــــه همـــگرا و واگــــرا تقسیــــم مـــی کنیــم.

9. 1 . 1 . 1 تعريف فرض کنید A مجمــــوعه ای دلخواه باشد. تابـــع f با قلمرو N و برد A را یک دنباله در A می گوییم.مقـــدارf به ازای nرا جمله عمومی دنبـــــاله f می نامیم و معمولا به صورت و.... نشـــان می دهیم.در تعريــف 1 . 1 . 1 اگر A=R یا ¢A= آنــگاه دنباله را حقیقــی یا مختلط می نامیم. 2 . 1 . 1 مثال : الف) دنباله یک دنباله از اعداد حقيقی و لذا یک دنباله حقیقی است . جمله عمومی این دنباله عبارت است از:

10. 4 . 1 . 1 تعريف : می گوییم دنباله حقیقی به عدد l همگراست اگر به ازای هر ، یک عدد طبیعی وجــود داشته باشــد که از نتيـجه می شــود: اگر دنباله به عددی همــگرا نباشـــد واگـــرا نامیـــده مـی شـود. 5 . 1 . 1 گزاره اگر دنبـــاله به اعـــداد حقيقـــی l و همگـــرا باشد آنگاه . به عبارت دیگر ، هر دنباله می تواند حداکثر به یک عدد حقیقی همگرا باشد.

11. اثبات: فرض کنید و در تعريف همگرایی را مساوی با انتخاب کنید. در ایــن صـــــــورت وجـــود دارد کـــه از نتيـــجه مــی شود: حال با استفاده از نــامساوی مثلث و نامساوی های فـــوق به ازای داریم واگرا از این رو این یک تناقض است ، ولذا .با استفاده از این گزاره تعريف زیر را داریم.

12. 6 . 1 . 1 تعريف : اگر دنبـــاله به عدد l همگـــرا باشد مــی نویسیــــم: و مـــی گوییم lحد دنبـــاله است . همچنین این نمــاد را وقتــی به واگــــرا باشد نیز به کار می بریم . یعنی اگر به واگــرا باشــد آنگاه :

13. 7 . 1 . 1 مثال : الف) دنباله با به 0 همگراست. حل: برای مشاهده این امر ، را در نظر بگیرید و قرار دهید . که در آن [ ] نماد جزء صحیح است . در ایـــن صورت از و تعـــريف جزء صحیـــح نتيجه مــی شود که و لذا در نتيجه

14. 9 . 1 . 1 تعريف : الف) دنباله حقیقی را صعـــودی (نــزولی) می نامیم اگر به ازای هر عدد طبیعی n داشته باشیم : ب) دنباله را نا صعـــودی (نا نــــزولی ) می نامیم اگر به ازای هر عدد طبیعی n داشته باشیم: پ) دنباله را که دست کــم در یکـی از ویژگیهای (الف) یا (ب ) صدق کند، یکنوا می نامیم.

15. ت) دنباله را از بالا (پایین) کراندار مــی نامیم اگر عدد نامنفی M وجـــود داشته باشد که به ازای هــــر عدد طبیـعی n داشتـــه باشیم: ث) دنبالــه را کراندار می نامیـم اگر از بالا و از پایین کراندار باشد. دنبـــاله کـــه کرانـــدار نباشــــد ، بیـــکران نامیـــده می شــــود.

16. 10 . 1. 1 مثال : الف) دنباله صعودی است . زیرا به ازای هر عدد طبیعی n نامساوی n< n+1 برقرار است . این دنباله بی کران است .زیــرا به ازای هر عدد مثبت M ، و به ازای n=[M] داریم n+1>M . ب) دنباله صعـــودی است ، زیـــرا به ازای n=1 داریـــم: حـــال اگـــر n>1 آنــــگاه با توجـــه به نامســـاوی

17. به ازای هر عدد طبیعی nداریم یعنی صعـــودی است. یا پ) دنباله نزولی و کراندار است . در واقع به ازای هر عدد طبیعی n داریم نامساوی وسط حاکی از نــــزولی بودن دنبالـه و نامساوی کناری حاکی از کرانــــدار بودن آن هستنــــد.

18. 15 . 1 . 1 مثال : از مثال 7 . 1 . 1 می دانیم که دنباله با جمله عمومی واگراست. از طرف دیگر به ازای هر n داریم: و لذا این دنباله کراندار است .

19. 19 . 1 . 1 تعريف : دنباله را کوشی می نامیم اگر به ازای هر عدد طبیعی وجـــود داشته باشـــد که از نتيجـــه مـــی شود 20 . 1 . 1 مثال : دنباله کوشی است . حل: را در نظر می گیریم . به ازای هر دو عدد طبیعی n , m داریم

20. و از این رو با انتخاب و با استفاده از نامساوی طرف چپ داریم 21. 1 . 1 قضيه : اگر یک دنبـــاله همــگرا و بر عکـــس اگر کوشــی باشـــد همـــگرا است . یا به اختـــصار: همــــگراست اگر وتنـــها اگر کـــوشـــی باشـــد.

21. 22 . 1 . 1 مثال : الف) دنباله با کوشی است ، زیرا همگراست. ب) چون به ازای 0<a<1 ، دنباله همگراست ، پس کوشی است . پ) دنباله بی کران ولذا واگراست و بنابراين کوشی نیست .

22. 2 .1قواعدمحاسبه 1 . 2 . 1 قضيه : فرض کنید دنباله های به ترتیب به b , a همگرا باشند و c عددی دلخواه باشد . در این صورت الف) دنباله به a+b همگراست ، یعنی ب) دنباله به ab همگراست ، یعنی: به ویژه

23. پ)اگر و به ازای هر n، آنگاه به همگرا ست ، یعنی 2 . 2 . 1 مثال : الف) را محاسبه کنید. حل: فرض کنید . چون پس

24. ب) را محاسبه کنید. حل: می نویسیم: حدهای صورت و مخرج را جداگانه محاسبه می کنیم. بنابراين

25. 6 . 2 . 1 قضيه ساندویچی اگر دنباله هر دو به عـــددa همـــــگرا باشند ، و دنباله چون به ازای هر n در صدق کند ، آنگاه نیز به همگراست. اثبات: را در نظر بگیرید. بنا به تعريف همگرایی ی وجود دارد که بنابراين اگر آنگاه بنابراين به a همگراست.

26. 7 . 2 . 1 مثال : الف) راپیدا کنید. حل: به ازای هر n داریم و لذا به ازای هر n داریم چون پس

27. ب) ثابت کنید . حل: دنباله را به صورت تعريف می کنیم . روشن است که به ازای هر n ، . داریم: بنابراين به ازای داریم یا

28. چون پس . بنابراين 8 . 2 . 1 قضيه : فرض کنید تابع رویD پیوسته و دنباله ای از اعضای D باشد که به همگراست . در این صورت دنباله بهf(a) همگراست.

29. 9 . 2 . 1 مثال : الف) تابــــع (رادیـــکال)روی پیــــوسته است . بنابراين داریم ب) می دانیــــم که تابــــع f(x)=ln(1+x) روی x >-1 پیوستــــه است . همچنین می دانیم که . بنابراين همگراست و داریم:

30. 1 .3سری شرکتپذیری عمل جمع روی مجموعـــــه اعداد حقيقی (مختلط) موجب می شود که مجمــــوع هر تعداد متنــــاهی از اعـــداد معنـــی دار باشد و به روش یکتایــی به صورت نشان داده شــود. با وجود این، مجمـــوع بینهایت عــدد دارای معنای روشنـی نیست. در این قسمت مفهوم مجمــــوع بینهایت عدد را با معرفی سـری ارائـــه مــی دهیم.

31. 1 . 3 . 1 تعريف : به دنباله دنباله جدید را با تعريف نسبت می دهیم. این دنباله جدید را یک سری می نامیم، و آن را با نشان مــی دهیم و می خوانیم « سیـــگمای » . را جمله عمـــومی ســــری و را مجموع جزئی nام آن می نامیم. گاه دنباله را دنباله مجموعهای جزئی ســـری می نامیم. توجه کنید که اگر تعريف کنیم آنگاه

32. 2 . 3 . 1 مثال : فرض کنید داریم • توجه کنید که برای محاسبه از فرمول تصاعد هندسی استفاده کرده ایم.

33. 4 . 3 . 1 تعريف : سری را همـــگرا می نامیم اگر دنبالـــــه مجموعهای جزئی آن همـــگرا باشد.درغیر این صورت سری را واگــرا می نامیم. اگر یعنی دنبالـــــه مجموعهای جزئی سری به S همگرا باشد ، S را مجموع ســـری مــــی نامیم و می نویسیـــــم.

34. 5 .3 . 1 مثال : الف) دنبالــــه مجموعهای جزئی سری را می نامیـــم. در مثال 2 . 3 . 1 دیدیم که و یا چون پس و لذا سری همگـراست و داریم

35. 6 . 3 . 1 شرط کوشی برای همگرایی سری همگراست اگر و تنها اگر به ازای هر ، عدد طبیعی یـــافت شـــود که به ازای هر و هر داشتــه باشیــــم این شرط را شرط کوشـــی برای همگـــرایی سـری مـــی نامیم . یکی از نتایج بسیار مهم شرط کوشـــی را که نوعی آزمون واگـــرایی است در زیر می آوریم.

36. 7 . 3 . 1 نتيجه اگر سری همگرا باشد ، آنگاه . به بیــان دیـــگر اگر آنگاه ســـری واگـــراست . • توجه کنید که عکــس نتيجـــه فوق نادرست است . بدین معنـــی که • ســـری واگــــــرایی چون با شـــرط وجـــــود دارد . • متذکر مـی شویـــم که نتيجـــه و نکته فوق حاکــی از آن اند که برای • پیدا کردن ســــریهای همگرا باید در میـان سریهایـــی بگردیـــم که حد • جملـــه عمــومی آنها صفـــر است .

37. 8 . 3 . 1 مثال : الف)می دانیـــم که ســـری موزون واگــــراست . روشــــن است کـــه . ب) سری واگراست ، زیرا . پ) ســـری واگــراست زیرا وجــود ندارد. ت) بنابر مثـال 5 . 3 . 1 (پ) ســـری همــــگراست و بنابــــراين در شـــرط کوشـــی صدق مـــی کند.

38. ت) بنابر مثال 5 . 3 . 1 (الف) سـری همــــگراست و بنابراين در شرط کوشی صدق می کند. در زیر دستـــه ای از سریها را که کاربردهای فراوان دارند معرفی می کنیم. 9 . 3 . 1 تعريف : ســـری هنـــدسی. فرض کنید a عـــددی ثابت باشد . ســـــری را یک ســــری هندســـی با قدر نسبت a می نامیم. چـون به ازای هر a ، با حد وجـــود ندارد یا نامتناهـــی است ، پس ســری هندسی به ازای هر a با شرط واگراست .

39. 4 .1جبرسریها با استفــاده از عمــــلهای جمع ، ضرب ، تفریق ، تقسیم و ... اعـــداد حقيقی می توان از سریـــهای داده شده ، سریــــهای جدیدی به دست آورد . در این قسمت همگـــرایی یا واگـــرایی برخی از این سریـهای جدید را مورد بحث و بررســـی قرار می دهیــــم .

40. 1 . 4 . 1 تعريف : فرض کنید دو سری حقــیقــی و c عددی حقــیقـی باشد. الف) سری را مجموع سریــــهای مـــی نامیم. ب) سری را حاصلضرب عدد c در سری مـــی نامیم.

41. 2 . 4 . 1 قضيه : اگر سریــــهای همـــگرا و c عـــددی دلخواه باشد ، آنگاه سریهای همـــگرا هستنــد و داریـــم

42. 3 . 4 . 1 مثال : می دانیم که سریــــهای همـــگرا هستنـــد، بنابراين سریهای همــگرا هستند.و داریم

43. 4 . 4 . 1 قضيه : دنباله ، جمله های از آن و اعداد را که در آنها k , m اعداد ثابت هستند در نظر می گیریم . الف ) اگر همگرا (واگرا ) باشد آنگاه همگرا (واگرا) است . یعنی حذف تعداد متناهی جمله از اول سری در همگــــرایی (واگـرایی) آن تاثیری ندارد. ب) سری را به صورت زیر تعريف می کنیم:

44. در این صورت ، همگراست (واگراست ) اگـــر و تنها اگر همگرا (واگرا ) باشد . یعنی اضافه کردن تعداد متناهی جمله به اول سری همگرایی آن را تغییر نمی دهد. 5 . 4 . 1 مثال : الف) سری همگـــراست . بنابر قضيه فوق ســری همگراست و داریم: ب) سری واگراست و لذا سری واگراست .

45. 5 . 1 همگرایی مطلق ، همگراییمشروط در این قسمت سری های با جمله های نامنفی و سریهای متناوب را که جمله های آنها به طور متوالی مثبت و منفی هستند ، معرفی می کنیم . سریهای با جمله های نامنفی (مثبت) نقش بسیار مهمی در نظریه سریها دارند. 1 . 5 . 1 تعريف : سری را که در آن تمام ها نامنفی هستند ، یک سری متناوب می نامیم.

46. 2 . 5 . 1 مثال : الف) سری یک سری متناوب است . در اینجا به ازای هر n ، این سری واگراست . ب) سری متناوب است . نشان می دهیم که این سری همگراست .برای این منظور فرض می کنیم که مجموع جزئی nام سری باشد ثابت می شود که همگراست .

47. 4 . 5 . 1 تعريف : اگر تمام جمله سری نامنفی باشند ، ســـری را با جمله های نامنفی می نامیم. 5 . 5 . 1 قضيه : سری با جمله های نامنفی همگراست اگر دنباله مجموعهای جزئی آن کراندار باشند. اثبات: قرار می دهیم: چون به ازای هر n ، ، پس صعودی است و لذا همگراست . در نتيجه سری همگراست .

48. 6 . 5 . 1 مثال : الف) فرض کنید زوج فرد در این صورت سری یک سری با جمله های نامنفی است . چند مجموع جزئی این سری عبارت اند از به راحتی می توان دید که و لذا بی کران و بنابراين واگراست .

49. ب) یک ســـری با جملـــــه های مثبت است . داریــــم مشاهده می کنیم که به ازای هر n ، ، و لذا سری مذکور همگراست . 7 . 5 . 1 تعريف : سری را همگرای مطلق می نامیم اگر سری همگرا باشد. سری را همگرای مشروط می نامیم اگر همگرا و سری واگرا باشد .

50. 9 . 5 . 1 مثال : الف) در مثال 2 . 5 . 1 دیدیم که سری همگراست . همچنین در مثال 5 . 3 . 1 دیدیم که سری واگراست . بنابراين سری همگرای مشروط است . ب) سری همگرای مطلق است . زیرا بنابر مثال 5 . 3 . 1 (پ) سری همگراست .