Patrulatere înscrise în cerc Poligoane regulate Definiţii Aplicaţii Construcţii Formule

1. POLIGOANE ÎNSCRISE ÎN CERC • Patrulatere înscrise în cerc • Poligoane regulate • Definiţii • Aplicaţii • Construcţii • Formule Şcoala cu clasele I-VIII Petőfi Sándor, Tg.Secuiesc Prof. Istók Éva

2. Un poligon este înscris într-un cerc dacă toate vârfurile poligonului se află pe circumferinţa cercului. Q A M E P D N C B A, B, C, D, E puncte conciclice

3. Un poligon se numeşte inscriptibil într-un cerc, dacă există un cerc care trece prin fiecare vârf al său. Orice triunghi este inscriptibil, centrul cercului circumscris fiind punctul de intersecţie al mediatoarelor. Nu orice patrulater este inscriptibil ! Teoreme

4. Fie ABCD un patrulater oarecare înscris într-un cerc. A A, B, C, D vârfuri, puncte conciclice AB, BC, CD, DA laturi, coarde ale cercului D Unghiurile patrulaterului sunt unghiuri înscrise în cerc, deci au ca măsură jumătate din măsura arcului subîntins. B C Teoremă: Unghiurile opuse ale unui patrulater inscriptibil sunt suplementare.

5. Fie ABCD un patrulater oarecare înscris într-un cerc. Fie AC şi BD diagonalele patrulaterului. D A C La fel se demonstrează următoarele congruenţe: B Teoremă: Într-un patrulater inscriptibil unghiul format de o latură şi o diagonală este congruent cu unghiul format de latura opusă şi cealaltă diagonală. Teoreme reciproce

6. PATRULATERE PARTICULARE INSCRIPTIBILE ÎN CERC: • Dreptunghi • Pătrat • Trapez isoscel Paralelogramul, rombul, trapezul oarecare şi trapezul dreptunghic NU sunt inscriptibile!!

7. POLIGOANE REGULATE ÎNSCRISE ÎN CERC • Definiţii • Aplicaţii • Construcţii • Formule

8. Poligonul cu toate laturile şi toate unghiurile congruente se numeşte poligon regulat. !!Dreptunghiul şi rombul NU sunt poligoane regulate!! • Triunghi regulat = triunghi echilateral • Patrulater regulat = pătrat • Poligon regulat cu şase laturi = hexagon regulat • Centrul poligonului regulat coincide cu centrul cercului circumscris/înscris • Triunghi echilateral: intersecţia mediatoarelor • Pătrat şi hexagon regulat: intersecţia diagonalelor

9. Distanţa de la centrul cercului de la laturile poligonului regulat se numeşte apotema poligonului. Într-un poligon regulat cu „n” laturi avem relaţiile: Măsura unghiurilor: Perimetrul: Aria:

10. Aplicaţii: • Utilizând formula precedentă determinaţi măsurile unghiurilor unui triunghi echilateral, al unui hexagon regulat şi al pentagonului regulat. • (pentagon = poligon cu cinci laturi) 2. Ştiind că un pligon regulat are unghiurile de măsură 150°, determinaţi numărul laturilor. • Determinaţi măsurile unghiurilor la centru ce se formează la unirea centrului unui cerc cu vârfurile poligonului regulat cu opt laturi înscris în cerc! • Cum se poate utiliza rezultatul găsit în construcţia acestui poligon?

11. Construcţii: Pătrat 1. Fie AC şi BD două diagonale perpendiculare ale unui cerc.

12. E 2. Unind punctele A, B, C şi D obţinem un pătrat. OA=OB=OC=OD=R 3. Perpendiculara dusă din O pe latura AD se numeşte apotemă. OE=Ap

13. Hexagon regulat • Fie un cerc de rază R şi centru O. • Cu ajutorul compasului cercul se împarte în şase arce congruente. R

14. 2. Unind punctele de diviziune consecutive obţinem un hexagon regulat; AB=BC=CD=DE=EF=FA=R M 3. Perpendiculara dusă din O pe latura AB este o apotemă a hexagonului. OM=Ap

15. E Triunghi echilateral • Costrucţia este identică cu cea a hexagonului, dar nu se vor uni punctele de diviziune consecutive. 2. Perpendiculara dusă din O pe latura AB este o apotemă a triunghiului. OE=Ap OA=OB=OC=R

16. DETERMINAREA LATURII ŞI APOTEMEI ÎN FUNCŢIE DE RAZĂ

17. R R Ap E Triunghi echilateral Fie O centrul cercului circumscris triunghiului echilateral ABC. AB=BC=AC=a OA=OB=OC=R OE=Ap

18. E Ap R R R R Pătrat Fie ABCD un pătrat înscris în cercul de centru O şi rază R; OA=OB=OC=OD=R OE=Ap AB=BC=CD=DA=a

19. M Ap R R R R R R R Hexagon regulat Fie ABCDEF hexagon regulat înscris în cercul de centru O şi rază R OA=OB=OC=OD=OE=OF=R AB=BC=CD=DE=EF=FA=R=a (din construcţie) OM=Ap

20. Tabel centralizator ln ; Apnsunt notaţii pentru latura, respectiv apotema poligonului regulat cu n laturi.