1 / 23

Vijetove formule. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne č inioce

Vijetove formule. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne č inioce. Lidija Bo roš, ml03028. 1. Vijetove formule. * Pomoću koeficijenata kvadratne jednačine izražavamo njena rešenja; Vijetove formule su upravo veze izmedju koeficijenata kvadratne jednačine i njenih rešenja.

montana
Download Presentation

Vijetove formule. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne č inioce

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Vijetove formule. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce Lidija Boroš, ml03028

  2. 1. Vijetove formule * Pomoću koeficijenata kvadratne jednačine izražavamo njena rešenja; Vijetove formule su upravo veze izmedju koeficijenata kvadratne jednačine i njenih rešenja.

  3. Brojevi x1 i x2 su rešenja kvadratne • jednačine ax²+bx+c=0 ako i samo ako je • x1+x2=-b/a i x1x2=c/a. • Ove dve jednakosti se nazivajuVijetove formule. • Dokaz: • Pretpostavimo da su x1 i x2 rešenja kvadratne jednačine ax²+bx+c=0. • Tada je • pa će biti • x1+x2= i x1x2=.

  4. Sada pretpostavimo da važi x1+x2= i x1x2=,  b=-a(x1+x2) i c=ax1x2 pa našu kvadratnu jednačinu ax²+bx+c=0 možemo zapisati ovako: ax²-a(x1+x2)x+ax1x2=0 a[x²-(x1+x2)x+x1x2]=0 a[x(x-x1)-x2(x-x1)]=0 a[(x-x1)(x-x2)]=0 što upravo znači da su x1 i x2 rešenja kvadratne jednačine ax²+bx+c=0.

  5. Primer 1 • Napisati kvadratnu jednačinu • a) čija su rešenja x1=4 i x2=-6 • b) čije je jedno rešenje x1=3-2i. • Rešenje: • a) x1=4 i x2=-6 • x1 +x2=4+(-6)=-2 i x1x2=4*(-6)=-24 • naša jednačina je oblika a[x²-(x1+x2)x+x1x2]=0 a[x²-(-2)x+(-24)]=0 a[x²+ 2x- 24]=0 pa za na primer a=1 dobijamo jednačinu: x²+2x-24=0.

  6. b) Ako je x1=3-2ijedno rešenje kvadratne jednačine, tada je drugo rešenje njemu konjugovano x2=3+2i, pa će biti x1 +x2 =6 i x1 x2 =13. Koristeći Vijetove formule dobijamo da je naša jednačina oblika: a[x²-(x1+x2)x+x1x2]=0 a[x²-6x+13]=0 pa za na primer a=1 jednačina je: x²-6x+13=0.

  7. Primer 2: U jednačini mx² -3mx+2=0 odrediti vrednost realnog parametra m tako da njena rešenja zadovoljavaju uslov x1²+x2²=5. Rešenje: Iz jednačine vidimo da je x1+x2=3 i x1x2=. x1²+x2²=5 (x1+x2)²-2x1x2=5 9- =5  4=  m=1.

  8. Primer 3: Neka su x1 i x2 rešenja kvadratne jednačine 2x²+3x-4=0. Koristeći Vijetove formule izračunati vrednost izraza 8x1²-3x1x2+8x2². Rešenje: x1+x2=-3/2, x1x2=-2  8x1²-3x1x2+8x2²=8(x1²+x2²)-3x1x2 =8(x1+x2)²-19x1x2 =8*(9/4)-19*(-2) =18+38 =56.

  9. Zadaci za vežbu: • Napisati kvadratnu jednačinu ako su joj rešenja: • x1 =2, x2 =3; b) x1=-1, x2=-6; c) jedno rešenje je x1 =1-i; d) jedno rešenje je x1=4+2i. • 2. Koristeći Vijetove formule naći rešenja kvadratnih jednačina • a) x²-9x+18=0 b) 2x²+7x-4=0 c) x²-x-2=0. • 3. Odrediti vrednost realnog parametra k za koje rešenja x1 i x2 jednačine (k+4)x²+(4k-3)x+3k=0 zadovoljavaju jednakost • a) x1=-x2 b) x1x2=1 c)x1=1-x2.

  10. 2. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce Kvadratni trinompo x je izraz oblika ax²+bx+c gde su a, b, c brojevi i a≠0. Brojevea, b, cnazivamo koeficijentima kvadratnog trinomaax²+bx+c.

  11. **Ako su x1 i x2 rešenja kvadratne jednačine ax²+bx+c=0, tada se kvadratni trinom po x: ax²+bx+c može rastaviti na linearne činioce na sledeći način: ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2). Dokaz: Koristeći Vijetove formule dobijamo ax²+bx+c=a(x²+xb/a+c/a) =a(x²-(x1+x2)x+x1x2) =a(x-x1)(x-x2).

  12. Važi i obrnuto: Ako je ax²+bx+c=a(x-α)(x-β), tada su α i β rešenja kvadratne jednačine ax²+bx+c=0. Činioci (x-x1) i (x-x2) su linearni po x pa je sa a(x-x1)(x-x2) dato rastavljanje kvadratnog trinoma ax²+bx+c na linearne činioce.

  13. Primer 1: Rastaviti kvadratni trinom a) 3x²+8x-3 b) x²-4x+5 na linearne činioce. Rešenje: a) Rešenja kvadratne jednačine 3x²+8x-3=0 su x1=-3 i x2=1/3 pa će biti 3x²+8x-3=3(x+3)(x-1/3) =(x+3)(3x-1). b) Rešenja kvadratne jednačine x²-4x+5=0 su x1=2-i i x2=2+i pa kvadratni trinom x²-4x+5 možemo faktorisati ovako: x²-4x+5=[x-(2-i)][x-(2+i)] =[x-2+i][x-2-i].

  14. Primer 2: Skratiti razlomak: • 3x²-7x+2 • 2x²-5x+2 • Rešenje: • Rešenja kvadratne jednačine 3x²-7x+2=0 su x1=1/3 i x2=2 • 3x²-7x+2=3(x-1/3)(x-2)=(3x-1)(x-2); slično, rešenja jednačine 2x²-5x+2=0 su x1=1/2 i x2=2 pa je 2x²-5x+2=(2x-1)(x-2) • 

  15. Zadaci za vežbu • Rastaviti na linearne činioce sledeće kvadratne trinome: • 2x²+7x+6 b) 4x²+19x-5 c)x²-kx-6k², za neki realan broj k • 2. Skratiti razlomke: • a) b) c)

  16. 3. Primena Vijetovih formula Pored već pomenute upotrebe Vijetovih formula pri formiranju kvadratnih jednačina ako su joj data rešenja i rastavljanja kvadratnog trinoma na linearne činioce, Vijetove formule se mogu upotrebiti i za utvrđivanje znaka realnih rešenja kvadratne jednačine.

  17. **Rešenja x1 i x2 kvadratne jednačine sa realnim koeficijentima ax²+bx+c=0 su realna i pozitivna ako i samo ako je b²-4ac≥0, b/a<0, c/a>0. Dokaz: Neka su x1 i x2 realna i pozitivna rešenja kvadratne jednačine ax²+bx+c=0  D=b²-4ac≥0. Kako važi x1≥0 i x2≥0  x1+x2≥0, x1x2≥0 -b/a≥0, c/a≥0 b/a<0, c/a >0. Neka je sada b²-4ac≥0, b/a<0, c/a>0. Na osnovu Vijetovih formula dobijamo sledeće: -(x1+x2)<0, x1x2>0 tj. x1+x2>0, x1x2>0 x1>0 x2>0.

  18. **Rešenja x1 i x2 kvadratne jednačine ax²+bx+c=0 su realna i negativna ako i samo ako je b²-4ac≥0, b/a>0, c/a>0. Dokaz sličan malopređašnjem. **Slično, važi: Rešenja kvadratne jednačine sa realnim koeficijentima su realna i različita ako i samo ako je b²-4ac≥0, c/a<0. Ako je pri tome ~<0, veće je po apsolutnoj vrednosti pozitivno rešenje; ~>0, veće je po apsolutnoj vrednosti negativno rešenje; ~ =0, rešenja su dva suprotna realna broja.

  19. Primer 1. Koristeći Vijetove formule, odrediti znak rešenja kvadratne jednačine 3x²+ 7x+2=0. Rešenje: Iz kvadratne jednačine možemo videti da su nam dati koeficijenti: a= 3, b=7, c= 2  D=b²-4ac=7²-4*3*2= 49-24= 25>0  Rešenja su realna. = 2/3 >0  rešenja su istog znaka =7/3 >0  rešenja su negativna.

  20. Primer 2: Koristeći Vijetove formule odrediti znak rešenja kvadratne jednačine x²-(k-1)x-k=0 u zavisnosti od realnog parametra k. Rešenje: D=(k-1)²+4k=(k+1)² ≥0, za svako k iz R. Jednačina ima realna rešenja. x1+x2=k-1, x1x2=-k. » Za k-1<0 i k<0: oba rešenja su negativna, x1<x2<0; » za k-1<0 i k>0  x1<0< x2, |x1|>|x2|; » za k-1>0 i k>0  x1<0< x2, |x1|<|x2|; » za k=0  x²+x=0  x(x+1)=0 x=0 ili x=-1; » za k=1  x²-1=0  (x-1)(x+1)=0 x1=1 ili x2=-1.

  21. Primer 3: • Dokazati da brojevi √2 i 1/√2 ne mogu biti rešenja kvadratne jednačine sa racionalnim koeficijentima. • Rešenje: • Pretpostavimo da x1=√2 i x2=1/√2 jesu rešenja kvadratne jednačine sa racionalnim koefocijentima ax²+bx+c=0  x1+x2=√2+1/√2=-b/a • 3/√2=-b/a  -3a/b=√2. Mora biti b≠0, jer bi u suprotnom bilo 0=3/√2, a to nije tačno  √2 je racionalan, kontradikcija √2 i 1/√2 nisu rešenja kvadratne jednačine sa racionalnim koeficijentima.

  22. Zadaci za vežbu: • Ne koristeći formule za dobijanje rešenja kvadratne jednačine, utvrditi kakvog su znaka njena rešenja: • a) 5x²-2x-10=0 b) 2x²+7x+3=0. • 2. Skup svih vrednosti realnog parametra m za koje su koreni kvadratne jednačine (m-2)x²-2mx+2m+2=0 realni i različitog znaka je: • a) (-1, 2); b) (2, ∞); c) (-7, -2). • 3. Skup svih vrednosti realnog parametra a za koje su rešenja kvadratne jednačine x²-(a+2)x+a+5=0 negativna je podskup skupa • a) (-∞, -6]; b) [-6, -5]; c) (-5, -4].

  23. Kraj!!!

More Related