220 likes | 383 Views
Bezpredponové jazyky a ich popisná zložitosť. Monika Krausová Univerzita Pavla Jozefa Šafárika v Košiciach. Obsah. Bezpredponové regulárne jazyky Deterministické a nedeterministické automaty pre bezpredponové jazyky Uzavretosť na regulárne operácie Stavová zložitosť regulárnych operácií
E N D
Bezpredponové jazyky a ich popisná zložitosť Monika Krausová Univerzita Pavla Jozefa Šafárika v Košiciach
Obsah • Bezpredponové regulárne jazyky • Deterministické a nedeterministické automaty pre bezpredponové jazyky • Uzavretosť na regulárne operácie • Stavová zložitosť regulárnych operácií • Zhrnutie a otvorené problémy
Bezpredponové regulárne jazyky • Regulárne jazyky: DKA, NKA • Bezpredponové jazyky: v jazyku neexistujú dve rôzne slová u, v také, že v = uw • Príklad 1: L = {trala, tralala} - nie je bezpredponový • Príklad 2: L = {slovo}L = {aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc} - sú bezpredponové
Štruktúra deterministických automatov • Minimálne DKA pre bezpredponové jazyky: • jediný koncový stav f • stav f na každé písmeno do dead stavu d
Štruktúra nedeterministických automatov • Minimálne NKA pre bezpredponové jazyky: • jediný koncový stav f bez prechodov
Je uzavretá na: prienik rozdiel zreťazenie Nie je uzavretá na: zjednotenie doplnok iteráciu zrkadlový obraz symetrický rozdiel cyklický posun Uzáverové vlastnosti triedy bezpredponových jazykov
Uzavretosť na prienik • Veta: Trieda bezpredponových regulárnych jazykov je uzavretá na prienik. • Dôkaz: • podmnožina bezpredponového jazyka je bezpredponový jazyk • ak K a L sú bezpredponové jazyky, tak aj K ∩ L je bezpredponový jazyk
Neuzavretosť na zjednotenie • Veta: Trieda bezpredponových regulárnych jazykov nie je uzavretá na zjednotenie. • Dôkaz: Nech K = {abb} a L = {abba}. Potom KU L = {abb, abba}, čo nie je bezpredponový jazyk.
Čo je zložitosť regulárneho jazyka? • Stavová zložitosť jazyka: • počet stavov v minimálnom DKA • Nedeterministická stavová zložitosť jazyka: • počet stavov v (nejakom) minimálnom NKA
Čo je zložitosť regulárnej operácie? • Máme: m – stavový DKA pre K n – stavový DKA pre L • Pýtame sa: ??? – stavový DKA pre K U L • Stavová zložitosť zjednotenia RJ je mn • horný odhad • dolný odhad • Nedeterministická zložitosť zjednotenia RJ je m + n + 1
Zreťazenie BJ: m + n – 2(horný odhad) • Z prvého automatu odstránime dead stav • Koncový stav tohto automatu „zlepíme“ s počiatočným stavom druhého automatu • Získame DKA pre zreťazenie, má m + n – 2 stavov
Zreťazenie BJ: m + n – 2(dolný odhad) • Dôkaz: Nech K = {am - 2} a L = {an - 2}. - bezpredponové - obsahujú iba jedno slovo - akceptované m – DKA a n – DKA - KL = {am - 2 an - 2} = {am + n - 4}
Zreťazenie BJ: m + n – 2(dolný odhad) KL = {am – 2 an - 2} = {am + n - 4} • všetky stavy sú dosiahnuteľné • žiadne dva stavy nie sú ekvivalentné
Nedeterministická zložitosť operácií • Metóda „klamúcej“ množiny • Zreťazenie: m + n – 1 (unárna abeceda)
Zhrnutie • Minimálny DKA pre BJ <=> jeden koncový stav, ktorý ide vždy do dead stavu • Minimálny NKA pre BJ iba => • Uzavreté na: K ∩ L, K - L, KL • Neuzavreté na: K U L, KL, LC, L*, LR, Shift(L) • Prienik, zjednotenie, zreťazenie: zmenšili sme veľkosť abecedy • Symetrický rozdiel: mn – 2 (binárna abeceda) • Nedeterministické zreťazenie – unárna abeceda
Otvorené problémy • Rozdiel: (m – 2)n – m + 4 (ternárna abeceda) – dá sa aj na binárnej? • Zrkadlový obraz: 2n-1 + 1 (štvorpísmenková) – čo v prípade menšej abecedy? • Nedeterministický doplnok: 2n-1 + 1 alebo 2n-1 – hypotéza: 2n-1 + 1 na binárnej abecede
Literatúra • J.-C. Birget: Intersection and union of regular languages and state complexity. Inform. Process. Lett. 43, 185-190 (1992). • Glaister, J. Shallit: A lower bound technique for the size of nondeterministic finite automata. Inform. Process. Lett. 59, 75-77 (1996). • Y.-S. Han, K. Salomaa, D. Wood: Operational state complexity of prefix-free regular languages. Automata, Formal Languages, and Related Topics, 99-115 (2009). • Y.-S. Han, K. Salomaa, D. Wood: Nondeterministic state complexity of basic operations for prefix-free regular languages. Fund. Math. 90, 93-106 (2009). • M. Holzer, M. Kutrib: Nondeterministic descriptional complexity of regular languages. Internat. J. Found. Comput. Sci. 14, 1087-1102 (2003). • S. Yu, Q. Zhuang, K. Salomaa: The state complexities of some basic operations on regular languages. Theoret. Comput. Sci. 125, 315-328 (1994).