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Logique et fondements de l’informatique

Logique et fondements de l’informatique. Université Paris II Michel de Rougemont mdr@lri.fr http://www.lri.fr/~mdr. Sens et dénotation Complexité Applications à la sécurité. Qu’est ce que la logique?. Définir le sens d’expressions syntaxiques Raisonnement, preuve, calcul

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Logique et fondements de l’informatique

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Presentation Transcript

  1. Logique et fondements de l’informatique Université Paris II Michel de Rougemont mdr@lri.fr http://www.lri.fr/~mdr Sens et dénotation Complexité Applications à la sécurité DU commerce éléctronique, mars 2001

  2. Qu’est ce que la logique? • Définir le sens d’expressions syntaxiques • Raisonnement, preuve, calcul Les applications de la logique: Mathématique, Linguistique, Philosophie Depuis 1950 : Informatique Depuis 2000 : Sécurité informatique DU commerce éléctronique, mars 2001

  3. 1. Sens et dénotation • Aristote (-300 BC) : Tous les hommes sont mortels. Socrate est un homme. Donc Socrate est mortel. • Al-Khovarezmi (700) :qu’est ce qu’une fonction calculable? • Frege (1870) : L’étoile du matin est l’étoile du soir. • Tarski (1930) : Dénotation d’une expression mathématique DU commerce éléctronique, mars 2001

  4. Raisonnement et calcul • Aristote (-300 BC) : Raisonnement? • Al-Khovarezmi (700) : Calcul? • Frege (1870) : Raisonnement? • Tarski (1930) : Définition? • Turing (1930) : Calcul? • Gödel (1930) : Limites du raisonnement mathématique? DU commerce éléctronique, mars 2001

  5. Langage des mathématiques • A la suite de Tarski, Turing, Gödel • Thèse de Church (1936) : calculable = récursif = Turing-calculable • Conclusion : certaines formules ne sont pas démontrables. D’autres le sont pour différentes notions de preuves. DU commerce éléctronique, mars 2001

  6. Calcul et machine de Turing • Ordinateur = Machine de Turing • Fonction primalité : • Primalité(56787661515515167171)=0 mais la preuve est longue!! (Exponentielle dans la longueur de l’entrée :20) • 1972 : Cook et Karp formulent la notion de NP-complétude DU commerce éléctronique, mars 2001

  7. Sens en informatique • Un programme décrit un algorithme • Quel est le sens d’un programme? Dim LaFeuille ; Set LaFeuille = Document.ValidForm Do While i <= n { If (T(i)=1) Then total =total +1 End if; i=i+1;Loop;} • Dénotation classique • Complexité de calcul, Robustesse aux erreurs DU commerce éléctronique, mars 2001

  8. Nouvelles interprétations • Besoin de logiciels efficaces et surs • Complexité de calcul, • Robustesse aux erreurs • Sécurité informatique • Qu’estce qu’un logiciel sur? • Vérification de logiciels DU commerce éléctronique, mars 2001

  9. 2. Calcul : complexité et hasard • Calcul en temps polynomial (classe P, 1972) • Calcul en temps polynomial avec le hasard (classe BPP, 1980) • Primalité est BPP • Factorisation n’est pas BPP DU commerce éléctronique, mars 2001

  10. Fondements de la sécurité • Ce qui est interdit est difficile • Fonctions difficiles à calculer • Factorisation • Isomorphisme de graphes • O-connaissance • Sécurité « prouvée » mathématiquement DU commerce éléctronique, mars 2001

  11. Hasard et algorithme Mikado 1 paquet 2 paquets DU commerce éléctronique, mars 2001

  12. Marche aléatoire : espace log nsur un graphe symétrique à n sommets c c d a a e d e b • 00 vers c • 01 vers d • vers e • 11 vers b b Au départ du sommet a, 2 tirages DU commerce éléctronique, mars 2001

  13. Modèles du hasard • Calcul en temps polynomial avec le hasard (classe BPP, 1980) : Machine de Turing probabiliste • Primalité est facile • Factorisation est difficile • Machine quantique • Factorisation est facile (Shor, 1996) • Modèles biologiques (Adleman 1995) DU commerce éléctronique, mars 2001

  14. Isomorphisme de graphes 5 4 4 3 3 5 1 1 2 2 1 2 3 4 5 1 3 2 4 5 Preuve de l’isomorphisme: 13245 Permutation : DU commerce éléctronique, mars 2001

  15. Non-Isomorphisme de graphes 5 4 4 3 3 5 1 1 2 2 Aucune Permutation ne maintient un isomorphisme: 1 2 3 4 5 1 3 2 4 5 ne maintient pas (1,4) Preuve du non-isomorphisme: Enumérer n! Permutations (120) DU commerce éléctronique, mars 2001

  16. Protocole : non-Isomorphisme de graphes A B Bob veut se convaincre qu’Alice sait si G1 et G2 ne sont pas isomorphes avec une preuve courte. G1 et G2 connus de A et B, n=1000 DU commerce éléctronique, mars 2001

  17. Protocole : non-Isomorphisme de graphes j=1 h(Gi)=H A B B tire au sort i=1 ou 2 et choisit Gi (ex: G1) B tire au sort une permutation h : (ex: 24153) B calcule h(Gi)=H et l’envoie à A B demande i à Alice Alice envoie j à Bob : Si (i=j) , G1 non iso à G2 Si i = j , G1 iso à G2 k DU commerce éléctronique, mars 2001

  18. Preuve Interactive A B Bob pose des questions à Alice (qui peut mentir) Bob utilise le hasard. Après un temps court (polynomial), Bob Accepte ou rejette. DU commerce éléctronique, mars 2001

  19. O-connaissance de l’isomorphisme h’’ h’(G1)=H A B i=1 Preuve classique : A transmet h (ex: 13245) Preuve interactive : Alice génère h’ aléatoire, Calcule h’(G1)=H, transmis à Bob: tire i au sort Alice envoie h’’, l’iso. entre H et Gi k DU commerce éléctronique, mars 2001

  20. O-connaissance A B Alice ne compromet pas son secret (h) Alice envoie h’’ mais on ne peut pas déduire facilement h à partir de h’’. DU commerce éléctronique, mars 2001

  21. O-connaissance d’un secret ? A B Secret Bob demande : 6542 B1+B3 > 7 B2-B4 <3 3B1-2B2>9 OUI NON NON Alice répond : DU commerce éléctronique, mars 2001

  22. Applications : sécurité de l’utilisateur A B Alice peut donner des informations qui ne peuvent pas être utilisées à son insu. Bob interagit avec une personne qui peut mentir. DU commerce éléctronique, mars 2001

  23. Utilisateur rationnel ? A B Bob peut-il conclure sur : l’honnêteté d’Alice la rationalité d’Alice ? DU commerce éléctronique, mars 2001

  24. Enchères combinatoires A1 B A2 A3 A4 Ai sont en compétition pour des sous-ensembles de N objets. Ai a-t-il intérêt à bluffer ? DU commerce éléctronique, mars 2001

  25. Modèles statistiques • Economie • Macroéconomie vs. Microéconomie • Physique statistique • Chaleur, climat, … DU commerce éléctronique, mars 2001

  26. Conclusion • Sens et dénotation en Informatique • Calcul et hasard • Applications du hasard en logique : preuves interactives • Applications à la sécurité : O-connaissance • Protection de l’utilisateur DU commerce éléctronique, mars 2001

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