La misura e la statistica (1)

1. La misura e la statistica (1)

2. La misura e la statistica (1) Ricapitoliamo la situazione dal ‘700 in poi Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

3. La misura e la statistica (1) Gauss verso la fine del 1700 scopre un fatto nuovo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

4. La misura e la statistica (1) La posizione angolare di una stella non viene mai riprodotta esattamente Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

5. La misura e la statistica (1) • Nasce una nuova visione della misura • I dati sperimentali non sono certi, ma approssimati • Più tardi ci si accorgerà che ciò accade anche per le previsioni teoriche • Sia per imprecisioni di calcolo • Sia per imprecisioni di metodo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

6. La misura e la statistica (1) • Più tardi ci si accorgerà che ciò accade anche per colpa del metodo • Scarsa conoscenza dello strumento • Ed impossibilità di andare oltre a certi limiti • Più tardi ci si accorgerà che ciò accade anche per colpa della Natura • Impossibilità fisica di misurare certe zone della Natura (energia-tempo, momento-posizione, etc.) • Impossibilità pratica di prevedere fenomeni iterati Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

7. La misura e la statistica (1) • Ciò che riusciamo a dominare (entro certi limiti) sono L’imprecisione casuale • ERRORI CASUALI L’imprecisione strumentale • ERRORI SISTEMATICI L’imprecisione teorica • ERRORI DI FORMALISMO E DI CALCOLO NUMERICO Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

8. La misura e la statistica (1) • Con Gauss il caso entra nella Scienza • ... è la fine dell’epoca della Dea Ragione? Oggi senza la statistica non esiste metodo sperimentale Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

9. La probabilità e le sue leggi Gli inizi

10. La probabilità e le sue leggi • La definizione astratta di probabilità è praticamente inutile • Petizione di principio Rapporto fra i casi favorevoli ad un evento ed i casi possibili, quando questi siano equiprobabili • È la probabilità a priori Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

11. La probabilità e le sue leggi • La difficoltà concettuale è solo apparente • Si tratta di una sistemazione di fatti empirici • Il dado ed i suoi rimbalzi • I fenomeni complessi ed iterati La statistica è al confine fra Empiria (= Natura) ed Astrazione Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

12. La probabilità e le sue leggi • Definizione Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

13. La probabilità e le sue leggi • In generale, per un evento ripetuto volte, definiremo • Frequenza assoluta: numero di casi favorevoli • Frequenza relativa: di solito semplicemente frequenza Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

14. La probabilità e le sue leggi LEGGE DEI GRANDI NUMERI Per la frequenza tende alla probabilità (a priori) Attenzione: in senso statistico o stocastico Non è la solita tendenza al limite Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

15. La probabilità e le sue leggi • Tendenza al limite stocastica • Diverse sequenze danno diversi percorsi • Non si può stabilire un “N talmente grande che...” • Sono sempre possibili scostamenti molto grandi • ...solo che divengono sempre più rari Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

16. La probabilità e le sue leggi • Facciamo l’esempio del solito dado • Uscita di una faccia Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

17. La probabilità e le sue leggi Legge della somma • Due eventi mutuamente esclusivi A e B • Uscita del 2 o del 4 • Si considera evento favorevole il verificarsi del primo o del secondo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

18. La probabilità e le sue leggi • I casi favorevoli si sommano Quindi si sommano le probabilità • Per un or (  +) di eventi mutuamente esclusivi Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

19. La probabilità e le sue leggi Legge del prodotto • Due eventi indipendenti A e B • Uscita del 2su un dado e del 4sull’altro • Si considera evento favorevole il verificarsi del primo e del secondo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

20. La probabilità e le sue leggi • I casi favorevoli e possibili si combinano, e quindi si moltiplicano Quindi si moltiplicano le probabilità • Per un and ( ) di eventi indipendenti Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

21. La probabilità e le sue leggi • Se A a B non sono indipendenti definiremo le probabilità condizionali • Probabilità che avvenga A dopo che si è verificato B, etc. • Evidentemente... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

22. La probabilità e le sue leggi • La formula di Bayes: • Partiamo da una serie di eventi mutuamente esclusivi • La scelta di un cassetto in cui siano contenuti diversi miscugli di palle bianche e nere • Un evento E può accadere solo se è accaduto un evento B • Estrazione di una palla bianca o nera Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

23. La probabilità e le sue leggi • Probabilità che avendo estratto una palla nera il cassetto da cui è stata estratta sia il secondo • Praticamente mai usata in fisica, e difatti... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

24. La probabilità e le sue leggi ATTENZIONE Siamo sicuri che siano rispettate teoricamente le ipotesi? • La scelta dei cassetti è veramente equiprobabile? Siamo sicuri che siano rispettate in pratica le ipotesi? • La scelta dei cassetti è stata fatta effettivamente in modo equiprobabile? • Non ci sono bias? Non ci sono errori sistematici? • Questioni molto sottili e molto difficili da controllare... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

25. La probabilità e le sue leggi • Se A e B non sono mutuamente esclusivi otteniamo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

26. La probabilità e le sue leggi • Se la probabilità di un evento è p, la probabilità che esso avvenga k volte in n tentativi vale Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

27. La probabilità e le sue leggi • Il calcolo delle probabilità è essenzialmente un gioco di calcolo combinatorio • Il calcolo può divenire anche molto complicato • Esempio: il terno al Lotto Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

28. La probabilità e le sue leggi Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

29. La probabilità e le sue leggi • Quindi se io gioco tutti i terni ad 1€ per terno spendo 11748 € • Uno esce • Per la vincita mi pagano 5000 € • Ed i rimanenti 6748 €? ...... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

30. La probabilità e le sue leggi • Attenzione alle leggende metropolitane • I numeri che ritardano • ...e che quindi scientificamente debbono uscire • (Se no che figura ci farebbero?) In realtà l’evento raro è già accaduto Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

31. La probabilità e le sue leggi • Importante il calcolo dei fattoriali • Formula di Stirling Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

32. Elementi di statistica

33. Elementi di statistica • La statistica è un’estensione del calcolo delle probabilità • Si parte dai concetti fondamentali • Si estende la definizione di probabilità • Si introducono delle nuove variabili Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

34. Estensione del concetto di probabilità

35. Estensione del concetto di probabilità • La probabilità viene fatta passare • da un numero razionale ... • ... ad un numero reale • La probabilità può essere infinitesima • Anche se poi si darà significato sempre all probabilità finita • Tramite integrazioni Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

36. Estensione del concetto di probabilità • Si suppongono valide tutte le leggi delle probabilità già stabilite • Non si puòpiù definire la probabilità come rapporto fra casi favorevoli e casi possibili Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

37. Le variate

38. Le variate • Una variata è una variabile... • ... reale • ... discreta o continua • ... associata ad una probabilità Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

39. Le variate • Una variata discreta • Assume i valori ... • ... con probabilità Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

40. Le variate • Esempio classico: il dado • Variata: un numero da 1 a 6 • Probabilità associata: 1/6 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

41. Le variate • Si definisce • Valore atteso • Speranza matematica • Valore medio Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

42. Le variate • La variata discreta può essere definita da una tabella • Esempio: • I numeri riportati sulle facce di un dado • Attenzione: i numeri potrebbero essere diversi • Anche le probabilità se il dado fosse truccato... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

43. Le variate Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

44. Le variate • Ed ecco una rappresentazione grafica • Distribuzione • Spettro Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

45. Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

46. Le variate • Se si conoscono solo valori proporzionali alle probabilità occorrerà normalizzarli Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

47. Le variate • Una variata continua • Assume valori reali in un dominio D con probabilità infinitesima • La è la funzione di distribuzione (spettro) • Funzione densità Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

48. Le variate • Il dominio D sarà per noi, praticamente sempre, uno dei seguenti insiemi • Tutto l’asse reale • Il semiasse reale positivo • Un intervallo (e di solito chiuso) • Indicheremo in ogni caso l’estremo inferiore con low e quello superiore con high • Ecco degli esempi Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

49. Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

50. Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy