Náhodný jav a náhodná veličina

1. Náhodný jav a náhodná veličina Vlastnosti NV Diskrétna a spojitá NV

2. Náhodný jav charakterizuje výsledok náhodného pokusu kvalitatívne – slovne, alebo kvantitatívne – číselne. Pre číselné označenie náhodného javu používame náhodnú veličinu (xi )

3. Náhodná veličina (NV) Je určená výsledkom náhodného pokusu Charakteristickým znakom je jej premenlivosť pri opakovaní pokusu Môže nadobúdať rôzne hodnoty alebo hodnoty z rôznych intervalov • Diskrétna náhodná veličina • Spojitá náhodná veličina

4. Diskrétna NV Môže nadobúdať konkrétnu hodnotu z otvoreného alebo uzatvoreného intervalu Izolované, väčšinou celočíselné hodnoty

5. Príklady na diskrétnu NV • Počet narodených chlapcov zo 100 narodených detí je NV, ktorá nadobúda akúkoľvek náhodnú hodnotu od 0 po 100 • Počet chybných výrobkov v sklade (obmedzený počet, závisí od kapacity skladu) • Počet zákazníkov, ktorý prídu do obchodu za jeden deň (je to vždy obmedzený počet) • Odmeraný smer na stanovisku • Adičná konštanta • a pod.

6. Spojitá náhodná veličina Hodnoty z konečného alebo nekonečného intervalu, ktorých počet je nekonečný.

7. Príklady na spojitú NV • Ak meriame dĺžku s presnosťou ±5 mm, potom chyba, ktorej sa pri meraní dopustíme je spojitá NV a môže nadobúdať akékoľvek hodnoty z intervalu ±5 mm • Doba čakania na autobus na zastávke je spojitá NV, lebo môže nadobudnúť akékoľvek nezáporné hodnoty • Časový interval medzi prichádzajúcimi vlakmi v metre • Dĺžka náhodne vybranej tetivy v kružnici (body A, B)

8. Zákon rozdelenia NV Je pravidlo, podľa ktorého sa priraďuje náhodnej veličine pravdepodobnosť P(xi)

9. Popis zákona rozdelenia pravdepodobnosti NV • matematickým vzorcom • distribučná funkcia F(x) – u spojitej aj diskrétnej NV • grafom • na osi x sú hodnoty náhodnej veličiny xi a na osi y sú jej príslušné pravdepodobnosti P(xi) • pravdepodobnostnou tabuľkou • u diskrétnej náhodnej veličiny

10. Distribučná funkcia • Slúži k popisu diskrétnej aj spojitej NV • Každému reálnemu číslu priraďuje pravdepodobnosť, že náhodná veličina x nadobudne hodnotu menšiu než toto číslo • Distribučná funkcia spojitej NV

11. Vlastnosti distribučnej funkcie • Distribučná funkcia nadobúda hodnoty od 0 do 1 vrátane • Distribučná funkcia je neklesajúca • Distribučná funkcia je spojitá zľava • Každá distribučná funkcia spĺňa podmienky

12. Graf distribučnej funkcie Zodpovedá v popisnej štatistike grafu kumulatívnych relatívnych početností

13. Výpočet kumulatívnej početnosti (pravdepodobnosti)

14. Symbolika • De– triedny interval • r – skutočné početnosti • f (%)– relatívne početnosti • n – počet hodnôt • Sr– kumulatívne početnosti • Sf– kumulatívne relatívne početnosti • Ft– teoretická distribučná funkcia • SFt*100 – kumulatívne pravdepodobnosti

15. Graf distribučnej funkcie diskrétnej NV spojitej NV

16. Pravdepodobnostná tabuľka Popisuje len diskrétnu náhodnú premennú Je najjednoduchšou formou zákona rozdelenia Ku všetkým možným hodnotám diskrétnej veličiny priraďuje zodpovedajúce pravdepodobnosti

17. Pravdepodobnosť diskrétnej NV Súčet pravdepodobností je rovný 1 Pravdepodobnosť je určená vzťahom Pravdepodobnosť diskrétnej náhodnej veličiny v intervale je daná vzťahom

18. Hustota pravdepodobnosti (x) • zobrazuje sa frekvenčnou krivkou • popisuje rozdelenie spojitej NV • má podobné vlastnosti ako pravdepodobnosť pri diskrétnej veličine

19. Vlastnosti hustoty pravdepodobnosti • Je nezáporná • Spĺňa vzťah • Pravdepodobnosť, že NV nadobudne hodnoty z intervalu <x1,x2>

20. Distribučná funkcia a hustota pravdepodobnosti

21. Charakteristiky náhodných veličín Číselné hodnoty, ktoré popisujú rozdelenie náhodných veličín Popisujú hlavné vlastnosti NV • Charakteristiky polohy • Charakteristiky premenlivosti • Charakteristiky šikmosti • Charakteristiky špicatosti • Momentové charakteristiky

22. Charakteristiky polohy • Stredná hodnota • Medián • Modus • Harmonický priemer • Geometrický priemer • Aritmetický priemer • Kvadratický priemer, ...

23. Stredná hodnota Popisuje polohu náhodnej veličiny, teda stred celého rozdelenia Stredná hodnota diskrétnej náhodnej veličiny Stredná hodnota spojitej náhodnej veličiny

24. Vlastnosti strednej hodnoty • Súčin konštanty a NV • Súčet dvoch náhodných veličín x a y • Súčin dvoch nezávislých náhodných veličín

25. je hodnota, ktorá delí súbor náhodnej veličiny na dve rovnako pravdepodobné polovice Medián

26. Modus • pri diskrétnej NV je to hodnota s najväčšou početnosťou

27. je to zvláštny prípad strednej hodnoty Všeobecný aritmetický priemer (vážený aritmetický priemer) Aritmetický priemer

28. je to zvláštny prípad strednej hodnoty recipročných hodnôt Príklad: priemerná rýchlosť Harmonický priemer

29. Geometrický priemer • Príklad: finančný prírastok

30. Kvadratický priemer • Príklad: priemerná hodnoty výroby elektrickej energie

31. Momentové charakteristiky • Počiatočný moment k-teho rádu • Centrálny moment k- teho rádu

32. Momenty diskrétnej náhodnej veličiny

33. Momenty spojitej náhodnej veličiny

34. Charakteristiky premelivosti • Variancia • Stredná kvadratická odchýlka • Priemerná odchýlka • Pravdepodobná odchýlka

35. Variancia (rozptyl, disperzia) je mierou variability náhodnej premennej je definovaná ako druhý centrálny moment

36. Vlastnosti variancie • Variancia konštanty • Variancia súčinu konštanty a náhodnej veličiny • Variancia súčtu alebo rozdielu dvoch nezávislých NV

37. Stredná kvadratická odchýlka • Základná charakteristika premenlivosti • Smerodajná odchýlka, štandardná odchýlka

38. Priemerná lineárna odchýlka od strednej hodnoty • Prvý absolútny centrálny moment • V prípade skutočnej chyby v základnom súbore hovoríme o priemernej lineárnej chybe

39. Pravdepodobná odchýlka od strednej hodnoty • medián absolútnych odchýliek od strednej hodnoty • V prípade skutočnej chyby v základnom súbore hovoríme o pravdepodobnej chybe

40. Normovaná náhodná veličina • Štandardizovaná veličina • Stredná hodnota normovanej veličiny • Variancia normovanej veličiny

41. Charakteristiky šikmosti • Tretí normovaný moment • Koeficient šikmosti • Symetrické rozdelenie

42. Charakteristiky špicatosti • Štvrtý normovaný moment • Koeficient špicatosti • Pre normálne rozdelenie je rovný 0 • Pre E>0 je rozdelenie špicatejšie ako normálne • Pre E<0 je rozdelenie menej špicaté ako normálne