ÁLGEBRA LINEAR Professora: Itaciane T.B. Tomasini email: itacianetomasini@hotmail.com

1. ÁLGEBRA LINEAR Professora: ItacianeT.B.Tomasini email:itacianetomasini@hotmail.com Formação: Engenharia Agrícola –UFV, MG. Matemática –UNIUBE, MG. Especialização : Matemática- Faculdade da Região dos Lagos, RJ.

2. Álgebra Linear O desenvolvimento da  Álgebra Linear tem origem nos estudos de Sistemas de Equações Lineares. Atualmente, é uma área da matemática, que estuda vetores, espaços vetoriais, transformações lineares, matrizes e sistemas de equações lineares que são utilizados nas técnicas que são essenciais para os cientistas. Desta forma, embora seja Álgebra Linear um campo abstrato da Matemática, ela tem um grande número de aplicações nas ciências e na Matemática.

3. Plano de Ensino • Objetivos Desenvolver os conceitos fundamentais da Álgebra Linear. Habilitar o estudante para a compreensão e utilização de métodos básicos necessários à resolução de problemas que podem ser modelados matematicamente fornecendo subsídios teóricos matemáticos para a aplicação da Álgebra Linear na Engenharia.

4. Unidade 1 • 1. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES E MATRIZES • 1.1. Sistemas de Equações : Introdução • 1.2. Solução Sistemas de equações Lineares pelo método da eliminação • 1.3. Matrizes: Definição • 1.4. Tipos especiais de matrizes • 1.5. Operações com matrizes • 1.4. Solução Sistemas de equações Lineares pelo método: Método de Gauss

5. Unidade 2 • 2. DETERMINANTES E MATRIZ INVERSA • 2.1. Introdução: Conceitos preliminares. Propriedades • 2.2 métodos de cálculos do determinante: Desenvolvimento de Laplace, Regra de Cramer e Método da triangulação • 2.3. Matriz Inversa: Definição e propriedades

6. Unidade 3 • 3. ESPAÇOS VETORIAIS • 3.1. Vetores no plano e no espaço: representação geométrica, comprimento, vetor unitário • 3.2. Operações com vetores no plano e no espaço • 3.3. Definição e propriedades de espaço vetorial • 3.4. Subespaços Vetoriais: Definição • 3.5. Combinação Linear: Definição • 3.5.Dependência e Independência Linear • 3.6. Base e Dimensão de Espaço vetorial

7. Unidade 4 • 4.TRANSFORMAÇÕES LINEARES • 4.1. Transformações Lineares: Definição • 4.2. Transformação do Plano no Plano

8. BIBLIOGRAFIA • BOLDRINI, José Luiz. ET AL. Álgebra Linear. 3ed. São Paulo: Harper How do Brasil, 1980. • DAVID, c. Geometria Analítica. 2ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1977. • KOLMAN, B. Álgebra Linear. Rio de Janeiro: Livros técnicos e científicos, 1987. • LIPSCHULTZ, s. Álgebra Linear: teoria e problemas. 3ed. (coleção Schaum). São Paulo: Makron Books, 1994. • LEITHOLD, Louis. O cálculo com Geometria Analítica. Vol.1. 3ed. São Paulo: HarbraItda.

9. Distribuição das notas: Nesta disciplina o aluno terá que atingir 60% de 100 pontos distribuídos em duas provas valendo 35 pontos cada uma e atividades diversas (pesquisas e apresentações, lista de exercícios, participação, etc.) no valor de 30 pontos.

10. 1- SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Muitos problemas que ocorrem em engenharia e nas ciências físicas, assim como nas ciências naturais e sociais, envolvem equações lineares. Uma equação linear é uma equação do tipo a1x1+ a2x2 + a3x3 +...anxn= b. que expressa b em termos das variáveis (incógnitas) x1, x2, x3,...xne das constantes a1, a2, a3,..an. Em muitas aplicações, dados os valores de b e das constantes a1, a2, a3,..an. é preciso determinar os valores das incógnitas x1, x2, x3,...xn que satisfazem a equação.

11. Por exemplo, uma solução para a equação linear 2x - y + 3z = 9 • é dada por x =1, y = 2 e z = 3 (verifique), • mas x = 5 , y = 4 e z =1 também é uma solução (verifique). • De uma maneira geral, um sistema linear de m equações com n incógnitas, ou simplesmente um sistema linear, é uma coleção de m equações lineares, cada uma delas envolvendo n incógnitas. Denotamos tal sistema linear da seguinte forma:

13. onde aij e bj são números reais dados. O objetivo é determinar os valores das incógnitas x1 , x2, ..., xnque satisfaçam todas as equações de . • Em aij os índices i e j são utilizados da seguinte maneira: o índice i indica qual equação estamos considerando e o índice j está associado à incógnita que estamos considerando, ou seja, i indica a i - ésima equação e j indica a j -ésima incógnita (xj ).

14. Exemplo 1: • Considere o sistema linear: • X – 3Y = -3 • 2X + Y = 8 • Qual a solução desse sistema? RESOLVA • Para resolvermos esse sistema podemos utilizar o método de eliminação. • Após resolvê-lo percebemos que ele tem uma única solução e pode ser representado geometricamente pelo gráfico abaixo. A intersecção nas retas ocorre nos ponto (3, 2) que representa a solução do sistema.

15. (3,2)

16. Exemplo 2: • Um nutricionista está planejando uma refeição contendo os alimentos A, B e C. Cada grama do alimento A contém 2 unidades de proteína, 3 unidades de gordura e 4 unidades de carboidratos. Cada grama do alimento B contém 3 unidades de proteína, 2 unidades de gordura e 1 unidade de carboidrato. Cada grama do alimento C contém 3 unidades de proteína, 3 unidades de gordura e 2 unidades de carboidrato. Se a refeição precisa conter exatamente 25 unidades de proteína, 24 unidades de gordura e 21 unidades de carboidrato, quantas gramas de cada tipo de alimento devem ser usados? • RESOLVA NO CADERNO • REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO SISTEMA:

18. Cada equação representa um plano e a solução do sistema é a intersecção destes três planos num único plano. • Outros Exemplos: • Resolva o seguinte sistema de equações lineares: • x +2y -3z =-4 x + 2y =10 • 2x +y -3z = 4 2x – 2y = -4 3x + 5y = 20

19. Com os exemplos feitos até agora, podemos perceber que o método de eliminação consiste na aplicação repetida de algumas operações: • i. troca de ordem das equações; • ii. multiplicação de uma das equações por uma constante diferente de zero; • iii. adição de uma equação a um múltiplo de outra equação.

20. É importante observarmos que o método de eliminação fornece outro sistema que possui exatamente a mesma solução do sistema original. Descrevemos o método de forma bastante geral, sem a preocupação de explicitarmos a forma de escolher a incógnita a ser eliminada em cada passo do processo de solução. Mais adiante, faremos uma descrição sistemática deste método. Porém, antes disso, introduziremos, na próxima seção a noção de matriz. Isto simplificará muito a nossa notação e fornecerá ferramentas que permitem resolver muitos problemas importantes.

21. Exercícios propostos • 1) Resolva cada sistema linear abaixo usando o método de eliminação: • 3x + 5y =1 b) x + y + z = 1 2x + z =-4 2x + 5y -2z = 3 5x + y – z =o c) x + 3y = -4 2x + 5y = -8 x + 3y = -5

22. 2) Uma refinaria produz combustível com baixo e com alto teor de enxofre. Cada tonelada de combustível com baixo teor de enxofre necessita de 5 minutos no setor de mistura e de 4 minutos no setor de refinaria, por outro lado, cada tonelada de combustível com alto teor de enxofre necessita de 4 minutos no setor de mistura e de 2 minutos no setor de refinaria. Se o setor de mistura fica disponível por 3 horas e o setor de refinaria por 2 horas, quantas toneladas e cada tipo de combustível devem ser produzidos de modo que esses dois setores não fiquem ociosos?

23. Matrizes Descrevemos o método de eliminação para resolver sistemas lineares. Examinando este método com mais cuidado, podemos observar que apenas os números em frente das incógnitas x1 , x2 , ... , xn estão sendo modificados ao efetuarmos as operações necessárias. Dessa forma, podemos pensar em uma maneira de representar um sistema linear sem ter que ficar repetindo as incógnitas. Nesta seção, vamos definir um objeto que vai nos permitir escrever um sistema linear de uma forma mais compacta. Esse objeto é uma matriz. Chamamos de matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Por exemplo, ao recolhermos os dados referentes às notas de três alunos em uma etapa escolar, podemos dispô-los na seguinte tabela:

24. AULA 2

25. Ao abstrairmos os significados das linhas e colunas, resulta na matriz: 8 7 9 6 8 5 7 6 8

26. Outros exemplos de matrizes: 1

27. Os elementos de uma matriz podem ser números (reais ou complexos), funções, ou ainda outras matrizes. Representaremos uma matriz de m linhas e n colunas por:

28. = a ij • * “m” linhas e “n” colunas denotada por Amxn • * a ij é o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna.

29. Usaremos sempre letras maiúsculas para denotar matrizes, e quando quisermos especificar a ordem de uma matriz A (isto é, o número de linhas e colunas), escrevemos Amxn.

30. A matriz a seguir é uma matriz de ordem 2×3 com elementos naturais Nesse exemplo, o elemento a12 é 2, o número na primeira linha e segunda coluna do quadro.

31. Qual é o elemento a11, a22, a23? * Duas matrizes A e B são iguais, se elas têm o mesmo número de linhas e colunas, e todos os seus elementos correspondentes são iguais (a ij =b ij)

32. Tipos especiais de matrizes Algumas matrizes recebem nomes especiais devido a quantidade de linhas ou colunas, ou ainda pela natureza de seus elementos. • Matriz quadrada * m=n * diagonal principal *Ordem

33. Matriz Nula * aij = 0, para todo e j. • Matriz Coluna *n=1

34. Matriz Linha *m=1 • Matriz Diagonal * m=n onde aij =o, para i≠j, isto é que os elementos que não estão na diagonal são nulos.

35. Matriz Identidade Quadrada *É aquela em que aii = 1 e aij =0, para i≠j • Matriz Triangular Superior * m=n e aij =o , para i > j

36. Matriz Triangular Inferior * m=n e aij =o , para i <j • Matriz Simétrica * m=n e aij= aji

37. Matriz transposta • Dada uma matriz A do tipo m x n, chama-se transposta de A e indica-se por At a matriz que se obtém trocando-se ordenadamente as linhas pelas colunas de A. A operação de obtenção de uma matriz transposta de A é denominada transposição da matriz. Observe o exemplo:

38. Note que A é do tipo 3 x 2 e At é do tipo 2 x 3 e que, a matriz transposta , a primeira linha corresponde à primeira coluna da matriz original e a segunda linha à segunda coluna, também da matriz original. • Igualdade de matrizes • Duas matrizes, A e B, serão iguais se forem do mesmo tipo e se os elementos correspondentes forem iguais. Assim, se A=(aij) e B=(bij) são matrizes do tipo m x n, então:

39. Exemplo: determine x e y para que as matrizes A e B sejam iguais

40. Adição de matrizes • Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz soma (A+B) a matriz obtida adicionando-se os elementos correspondentes de A e B. • Exemplo: • *Dada as matrizes A e B determine A+B.

41. Propriedades da adiçãoSendo A, B, C e O(matriz nula) matrizes de mesmo tipo e p, q ∈ R, valem as propriedades: • - Comutativa: A+B = B+A- Associativa: A+(B+C) = (A+B)+C- Elemento neutro: A+O = O+A = A

42. Matriz oposta • Chama-se matriz oposta de A a matriz –A, cuja soma com A resulta na matriz nula. Exemplo:Dada a matriz: • A oposta de A será:

43. Multiplicação por um Número Real • Multiplicar um número por uma matriz A é obter a matriz KA, cujos elementos são os elementos de A multiplicados todos por K.

44. AULA 3

45. Multiplicação de matrizes- Multiplicação de duasmatrizes é bemdefinidaapenas se o número de colunasdamatrizdaesquerda é o mesmonúmero de linhasdamatrizdadireita.

47. Se A é uma matriz m por n e B é uma matriz n por p, então seu produtoAB é a matriz m por p (m linhas e p colunas). Exemplo 1:

49. Exemplo 2

50. Problemas onde podemos aplicar multiplicação de matrizes: • Em um projeto de pesquisa sobre dieta participam adultos e crianças de ambos os sexos. A distribuição dos participantes no projeto é dada pela matriz