Számítógéppel támogatott problémamegoldás

1. Számítógéppel támogatott problémamegoldás Mire használhatjuk gépünket a tanítás folyamán (és mire nem)?

2. Alkalmazások: • Internet – böngészés • (Speciálisan e-mail – kapcsolattartás) • Multimédia (prof. felhasználói szoftverek) • Amatőr programok (célfeladatok)

3. A repertoár átalakulása (?) • Hagyományos eljárások, eszközök megszűnése (gyökvonás, logaritmus, szögfüggvények) • Új lehetőségek a PC-k megjelenésével: • magasabbfokú vagy transzcendens egyenletek • függvények vizsgálata • (numerikus) analízis • valószínűségszámítás, statisztika • általában szimulációk stb.

4. Amatőr programok • Amatőr és profi programok összehasonlítása • Iskolában: PC felhasználói ismeretek • A programozás középiskolai tanítása ? • Érvek: • algoritmikus gondolkodásmód fejlesztése • kevés (?) előismeret • egyszerű célfeladatok megoldása • (pl. matematika) műveltségi keret tágítása

5. Tárgyalt problémák - aritmetika • Születésnap-paradoxon • Prímek száma (Euklidesz IX.20.) • Hézagtétel • Prímalgoritmus keresése • Prímszám-polinom • Diofantikus egyenlet számjegyekre

6. Sejtés és bizonyítás 8. Független vezér- és bástyaelhelyezések 9. Sierpinski-feladat Kitűzött feladatok: 10. Számjegyek négyzetösszegének ciklusa 11. Bolgár szoliter

7. 1. Születésnap-paradoxon • Feladat: Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy 35 ember születésnapja az év 35 különböző napjára esik (366 nappal számoljunk)!

8. Születésnap-paradoxon (2) • Megoldás: Annak valószínűsége, hogy N ember mindegyike N különböző napon született, közelítőleg: • OGYKMB.EXE

9. Születésnap-paradoxon (3) • A számítógép szerepe: nagyszámú, algoritmizált műveletsor gyors elvégzése • Alulcsordulás (és túlcsordulás) jelensége • A gépi számábrázolás problémái • A problémák elvi jellege

10. 2. Prímek száma • Már Euklidesz megmutatta, hogy a prímek száma végtelen (Elemek, IX. könyv 20. tétel). • Gyakori helytelen gondolatmenet a következő: • „Indirekt tegyük fel, hogy véges sok prím van:p1, p2, p3, … , pn. Az Sn = p1p2p3 … pn + 1 szám a korábbi p1, p2, p3, … , pn tényezők egyikével sem osztható, tehát Sn újabb prím. Ellentmondást kaptunk, ebből következik, hogy végtelen sok prímszám van.”

11. Prímek száma (2) • Megoldás: • A hibát ott követik el a tanulók, hogy bár Sn nem osztható a p1, p2, p3, … , pn prímekkel, de ebből még nem következik, hogy prím lenne. Elképzelhető az is, hogy Sn két (vagy több) olyan prímszám szorzata, amelyek pn-nél nagyobbak. • A feladat ilyen tulajdonságú Sn keresése.

12. Prímek száma (3) • OGYSZELM.EXE • Mire használtuk a gépet? • Mire nem használhattuk a gépet?

13. 3. Hézagtétel • Feladat: Adjunk meg olyan természetes számot, amely után 8, illetve 15 szomszédos összetett szám következik! (KöMaL F.243.) • Módosítás: Keressük meg a fenti tulajdonságú legkisebb természetes számokat!

14. Hézagtétel – észrevételek (1) • A feladat állítása szerint vannak olyan „szomszédos” prímek, amelyek távolsága 9, illetve 16. • Ha találunk 8 szomszédos összetett számot, akkor találunk 9-et is (bővítés); elég a páros prímtávolságokat vizsgálni.

15. Hézagtétel – megoldások (2) • A 9! + 1 szám megfelelő: a 23456789 + 2, 23456789 + 3, … , 23456789 + 9 számok egyike sem lehet prím. • Ügyesebb megoldás: 2357 + 2, 2357 + 3, … , 2357 + 9.(212-től 219-ig; sőt még jó a 220 is.) • Kérdés: vajon ez a legkisebb sorozat? • OGYSZELM.EXE

16. 4. Prímalgoritmus keresése • Írjuk fel a táblára: 43, 45, 47, 49, 51, 53, … • karikázzuk be a 43-at, töröljük le a következő számot, 45-öt; • karikázzuk be a következő számot, a 47-et, s töröljük le a következő két számot (49, 51); • karikázzuk be a következő 53-at, s töröljük le a következő három számot (55, 57, 59); • folytassuk az eljárást (mindig eggyel több számot törlünk le).

17. Prímalgoritmus keresése (2) • Melyik az így kapott első 30 szám? • Fogalmazzunk meg egy sejtést!

18. Prímalgoritmus elemzése (3) • Megoldás: • A kapott számok a következők:43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, … , 971. • Sejtés: ezek mind prímek (sőt a továbbiak is: 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, …)

19. Prímalgoritmus – zárt alak (4) • Az n. bekarikázott szám zárt alakban: • an= 43 + 2·2 + 3·2 + 4·2 + … + n·2 = 43 + 2·(2 + 3 + 4 + … + n) =n2 + n + 41. • A képlet már n = 0-tól prímeket ad. • P(n) = n2 + n + 41 ún. prímszám-polinom.

20. Prímalgoritmus – kérdések (5) • Igaz-e, hogy az n2 + n + 41 képlet n = 0, 1, 2, … értékekre mindig prímet ad? • Ha nem, adjunk meg ellenpéldát adó n értéket! • Adjunk meg n 0-tól vagy n 40-től különböző nellenpéldákat! • Melyik a legkisebb n ellenpélda? • Hányszor kapunk prímszámot a0  n  99 esetekben?

21. Prímalgoritmus – válaszok (6) • OGYSZELM.EXE • Válaszok: • 4. A 0  n  99intervallumbanP(n) = n2 + n + 41 86 esetben prímszám.

22. 5. Diofantikus egyenlet • Feladat: Határozzuk meg azokat a természetes számokat, amelyek eggyel nagyobbak a számjegyeik kétszeres szorzatánál!

23. Egyenlet megoldása (1) • Megoldási lépések: • Kétjegyű ab természetes számokra:10a + b = 2ab + 1, innen(2a – 1)(b – 5) = 4.2a – 1 páratlan, tehát egyetlen megoldás van: ab = 19 • Háromjegyű abcszámokra bonyolultabb az egyenlet: 100a + 10b + c = 2abc + 1.

24. Egyenlet megoldása (2) • Érdemes programot írni, amely a feltételtn jegyű számokra vizsgálja meg. • OGYSZJ.EXE • Problémák: • A program megírása n jegyű számokra; • szükséges tudni, legfeljebb mekkora lehet n értéke. (!)(Egyáltalán van-e felső korlát n-re?)

25. Egyenlet megoldása (3) • Becslés: an10n + an-110n-1 + … + a1101 + a0 = 2anan-1…a1a0 + 1. • Bal oldalon az első tag kivételével a többit elhagyjuk; a jobb oldalon an kivételével a többi számjegy helyére 9-est írunk. • an10n 2an9n + 1, innen közelítőleg:

26. Egyenlet megoldása (4) • Ez csak n 6 esetén teljesül (vagyisn legfeljebb hétjegyű lehet). • Mire használtuk a gépet? • egzisztencia és konstrukció • előtérben a matematikai gondolkodásmód • Mire nem tudtuk használni a gépet?

27. 6. Független figuraelhelyezések • Független bástyaelhelyezések • Független vezérelhelyezések • Független bástyaelhelyezések főátló-korlátozással (n = 5 eset) • OGYKMB.EXE Sejtés a 3. feladatra?

28. Figuraelhelyezések (2) • Futási eredmények a 3. feladatra: • n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 • E(n) = 0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854 • Sejtés: • E(n) = (n – 1)(E(n – 1) + E(n – 2)) • Bizonyítás: • A, B, C, D, E és a, b, c, d, e párosítással:

29. Figuraelhelyezések (3) • 1. a – B és b – A:E(n – 2)

30. Figuraelhelyezések (4) • 2. a–B és b – nem A: E(n – 1)

31. Figuraelhelyezések (5) • Tehát: ha a – B, akkor E(n – 1) + E(n – 2) számú elhelyezés van. • Az a – C, a – D , … szimmetria miatt összesen:E(n) = (n – 1)(E(n – 1) + E(n – 2)). • A rekurzió megoldása:

32. 9. Sierpinski-feladat • Feladat: Milyen n pozitív egész számokra osztható n-nel a K = 2n + 1 kifejezés? • OGYSZELM.EXE • Eredmény: ha n < 100, n = 1, 3, 9, 27. • Sejtés: n = 3k.

33. Sierpinski-feladat (1) • Bizonyítás: k-ra vonatkozó teljes indukcióval. A sejtés tehát igaz: han = 3k, akkor az oszthatóság teljesül. • De: mi a helyzet egyéb n-ekre?

34. Sierpinski-feladat (2) • Észrevétel: az 1, 3, 9 számokra teljesül az n 2n + 1 indukciós lépés is. • Újabb sejtés: ha n-nel osztható a 2n + 1 kifejezés (2n + 1 = kn), akkor 2n + 1-gyel is osztható 2kn + 1. • A sejtés teljes indukcióval bizonyítható; így a 9 osztja 29 + 1 összefüggésből513 osztja 2513 + 1 is teljesül.

35. Sierpinski-feladat (3) • Mi a helyzet egyéb n-ekre? • OGYSZELM.EXE