Fundamentos da Didáctica da Matemática 2006/2007 Professor Doutor João Pedro da Ponte

1. Fundamentos da Didáctica da Matemática 2006/2007 Professor Doutor João Pedro da Ponte A Experiência Matemática Davis, P.J., & Hersh, R. Trabalho realizado por: Cláudia Gardete nº 26009 Evangelina Romano nº 34251 Sandra Cadima nº 34242

2. Dogmas A Natureza da Matemática Formalismo: Platonismo: Construtivismo • Não há qualquer objecto matemático. • A Matemática é um conjunto de axiomas, definições e teoremas. • Sucessão de fórmulas. • Matemática genuína é só a que pode ser obtida por construção finita. • Os objectos matemáticos são reais. • A existência desses objectos é um facto objectivo e independente do nosso conhecimento. • São imutáveis – não foram criados, não se alterarão ou desaparecerão.

3. Mito de Euclides Crença de que os livros de Euclides contêm verdades sobre o Universo que são claras e indubitáveis Até fins do século XIX • Não tinha discussão • Era inatacável • Todos acreditavam nele “Até hoje parece que todas as pessoas cultas acreditam no mito de Euclides.” (Davis & Hersh, 1995, p. 305)

4. Matemática per si Geometria (até séc. XIX) Descoberta de geometrias não euclidianas Desenvolvimento da análise Perda de qualquer certeza no conhecimento humano Perda da certeza na geometria Mudança dos fundamentos para a aritmética Teoria dos conjuntos Russel (Paradoxos) Lógica intuitiva mais arriscada que a Matemática Clássica

5. Discrepância A crise dos Fundamentos Fim do século XIX A realidade da Matemática Ideal tradicional da Matemática Mito de Euclides Prática real da actividade matemática num determinado período

6. Platonismo Geometria Escolasticismo Racionalismo • Razão como característica inata da mente humana. • A Matemática e a Religião são os melhores exemplos do conhecimento. • Ajudou à evolução da Ciência. Materialismo Todo o conhecimento provém da observação excepto o matemático. Empirismo

7. Surgem 3 escolas: 1884 – Frege 1910 – Russell & Whitehead Fracassou Logicismo “Principia Mathematica” Desprezado Construtivismo 1908 – Brouwer Intuicionismo Derrotado por Gödel Formalismo 1910 - Hilbert A Matemática consiste apenas em axiomas, definições e teoremas

8. Construtivismo Formalismo Logicismo • Guerrearam entre si durante trinta ou quarenta anos. • Nenhuma podia fazer muito pelos fundamentos. • Não existem conclusões quando terminam.

9. Logicismo • A Matemática Clássica era parte da Lógica. • Iniciou-se com Frege e Russell. Reformulação da teoria de conjuntos que evitasse o paradoxo de Russell e assim salvar o seu projecto de estabelecer a Matemática tendo a Lógica como fundamento. • Estrutura demasiado complexa. • Afasta-se da Lógica ao excluir os paradoxos da teoria de conjuntos.

10. Construtivismo L. C. J. Brower – 1908 Intuicionismo - forma mais conhecida do Construtivismo. • É a intuição que determina a coerência e a aceitabilidade das ideias e não a experiência, nem a lógica. • Os números naturais são-nos dados a conhecer por uma intuição fundamental que é o ponto de partida para toda a Matemática.

11. Formalismo • Iniciou-se com Hilbert (1910). Objectivos de Hilbert: • Encontrar uma técnica matemática por meio da qual se demonstrasse que a Matemática estava livre de contradições. • Defender a Matemática da crítica de Brouwer. • O formalismo contemporâneo descende do formalismo de Hilbert • Acreditava na realidade matemática finita • Inventou a metamatemática • Matemática como a ciência da demonstração rigorosa.

12. Domínio do formalismo deveu-se à sua ligação com o positivismo lógico. • A Matemática é vista não como uma ciência mas como uma linguagem para as outras ciências. • Recentemente tem crescido uma reacção contra o formalismo. • A investigação direcciona-se para o concreto e para a aplicação. • Menos rigidez na exposição formal. • A Filosofia formalista está em vias de perder o seu estatuto privilegiado.

13. Lakatos e a teoria da falibilidade Mostra a desadequação do formalismo e cria a imagem de uma matemática viva e em desenvolvimento. Não cumpre o programa de reconstruir a filosofia da matemática como uma epistemologia da falibilidade. • O Logicismo e o Formalismo são inaceitáveis. • É possível uma Filosofia Popperiana da Matemática. Proofs and refutations Esquema não adequado para explicar o desenvolvimento de todos os ramos da matemática.

14. Matemática Real Metamatemática Versus Demonstrações: Lógica de primeira ordem • Estabelecidas através do consenso de pessoas “qualificadas”. • Como actividade faz parte da Matemática. • O seu conteúdo retrata uma estrutura de demonstrações que é realmente infalível «em principio». • Verificáveis dentro do contexto. • Se é aceite os resultados são considerados verdadeiros. • Gerações até serem detectados erros.

15. “Quais são os dados, as «afirmações básicas», do assunto em estudo que constituem falsificadores potenciais das teorias propostas pela Matemática Informal?” (in Davis & Hersh, 1995, p. 326) É a questão fundamental que tem que ser respondida se queremos ir mais além na construção de uma epistemologia da falibilidade ou não dogmática da Matemática. Lakatos não arriscou e escreveu: «A resposta, muito provavelmente não será monolítica. Estudos histórico-críticos cuidadosos conduzirão a uma solução sofisticada e complexa.» (in Davis & Hersh, 1995, p. 328)

16. A Matemática é uma coisa só Platonistas Formalistas Construtivistas • Perspectivas diferentes de um todo. • Cada uma das quais é errada por si só. • Compatíveis no seu todo, quando encaradas sem preconceito. Mais recentemente e na linha de Lakatos, proposto por matemáticos, filósofos e historiadores, surge o quasi-empiricismo.

17. Questões para debate: • Qual a importância da Filosofia da Matemática nas nossas práticas ? • Qual a influência da evolução dos Fundamentos da Matemática ao nível do currículo actual? • Existem muitos modos diferentes de olharmos para a Matemática. No início do século XXI como a encaramos? Qual a que melhor se ajusta à nossa ideia de Matemática? • Quais os prós e contras da evolução dos Fundamentos para as práticas? Ter-se-á perdido algo com as incessantes mudanças?