3.5-6 厄米算符本征函数组的性质

正交性的定义：如果两函数和满足 即：，则称与相互正交。这也使得某些运算简单。 [证]: 已知 3.5-6 厄米算符本征函数组的性质一、厄密算符本征函数的性质 1. 厄米算符本征函数的正交性厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。（1）分离本征谱情况

为实数，且为厄米算符，满足 左边右边即，因，所以只有证毕左边 = 右边，即两边相减等于零正交归一的本征函数系。表示为

若本征值连续，则有 （复习： , 或表示为）（2）连续本征谱

这里由于态函数的有限性决定，当时， r r ò ¢ 因此， y y º y y = d l - l = * 3 ( , ) ( r ) ( r ) d r ( ) 0 ¢ ¢ l l 例1 （分离谱）：一维无限深势阱一维谐振子本征函数，，满足正交归一关系例2（连续谱）：一维粒子，本征函数为，

前面我们知道，，即当体系处于 的本征态时，算符所对应的力学量有确定的值。但如果不是处于本征态，而是任意态时，那么如何求态函数？设为代表某力学量的厄密算符,它的正交归一本征函数系为 ,对应的本征值为，则任一函数可按展开 ——态叠加原理的数学表达式。本征函数的这种性质称为完备性 2. 厄米算符本征函数组的完备性 (1)完备性的定义

类比普通矢量 与x无关. 本征函数的这种性质称为完备性。为叠加系数，求出，就实现了对已知可能态的线性展开。或实现了对一未知可能态的求得。若本征值连续，则有例1 （分离谱）：一维无限深势阱能量本征值为 , ，相应的本征函数，就构成一组正交归一完备组，因此一维无限深势阱的任何一个态均可用它们展开，

例2（连续谱）：一维粒子，动量本征值为 ，相应的本征函数为，，按照： , —— 叠加系数或的意义是什么？下面解决该问题（2）叠加系数

（a）的计算公式 先看普通矢量： ——标积是矢量在坐标系中的表示。用左乘两边，然后对空间x积分，即求、的内积 ——跑标变定标因为

即: 若为连续本征谱—— （b）的意义如总归一化即

(1)当是算符的一本征函数时, 即， 。由可知，。其它系数为零, 这时测量力学量的测量值必是，即概率为1=100%。因此可以看成是测量值为的概率。 (2). 当不是的本征函数时, 可按本征函数展开 ,测量力学量的结果是本征值之一, 出现本征值的几率为 ——物理意义（后面要用）。讨论:

对于连续本征值谱，则是所得结果在 范围内的概率。 (3). 态函数可以完全描述微观粒子的状态量子力学关于力学量与算符的关系的一个基本假定: 量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符,它们的本征函数组成完全系, 当体系处于波函数所描写的状态时, 测量力学量F所得的数值必定是算符的本征值之一, 测得的概率是。 (4) 本征值为部分分离、部分连续的情况的全部本征函数、组成完全系，则任意态函数

其中且是在中测量F得到的概率，则是所得结果在范围内的概率。

例：一维谐振子处在基态， 则动量的概率分布函数为，由动量本征函数：

对于任一态 ,将其按某力学量的本征函数集 展开是归一化的由于不是本征态，对进行F值测量时，将得不到确定值。但由于对于任意态可按本征态线性叠加,测量值中有等值，但不可能是这些值以外的其它值。这些值以一定的概率出现，相应的概率为，。 ——即总归一化。二、力学量算符的平均值 1. 平均值的概率表示

因此从概率的角度，F的平均值—— 解： ,.可能值：例:设体系处于，且 ——已归一化，的可能值及平均值？平均值是归一化的 2. 平均值的定义表示

[证明]： ,与 等价。因此得出结论：在非本征态中测量力学量，无确定值，但有各种可能值。这些可能值就是的本征值，而且可能值出现的概率为。该结论对连续谱也适用。

如本征值是连续谱 如未归一化：例：一维谐振子处在基态，势能的平均值

3. 定理: 在任何状态下, 厄密算符的平均值都是实数 [证明] 逆定理:在任何状态下平均值为实数的算符为厄密算符

3.5-6 厄米算符本征函数组的性质