Gradien

1. Gradien Oleh : Zainul Munawwir 080210191025 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS JEMBER 2011/2012

2. Gradien

3. Pengertian Gradien • Gradien adalah bilangan bilangan atau nilai yang menjelaskan besar dan arah kemiringan atau cenderung  suatu garis. Gradien biasanya dilambangkan dengan huruf m, gradien juga merupakan perbandingan sumbu y dengan sumbu x.

4. Perhatikan gambar di bawah ini!

5. Menentukan Gradien Garis Lurus Untuk menentukan gradien suatu garis lurus dapat ditentukan melalui dua titik. Misal titik A(x1, y1) dan B(x2 , y2 ) terletak pada suatu garis a, untuk menentukan gradien garis a terlebih dahulu ditentukan komponen x (perubahan nilai x) dan komponen y (perubahan nilai y) darititik A(x1, y1) dan titik B(x2 , y2 ) .

6. Contoh:

7. Garislmelaluiduatitik A(x1, y1) dan B(x2 , y2 ) , sehinggakomponen y pada garis l adalah dan komponen x pada garis a adalah Dengan demikian gradien garis lurus yang melalui titik A(x1, y1) dan B(x2 , y2 ) adalah • gradien dari persamaan garis y=ax+c adalah: m= a = koefisien dari x

8. Contoh soal: • Tentukan gradien garis yang melalui titik A(-4, 5) dan B(2, - 3) Jawab: komponenx pada garis AB adalah: komponen y pada garis AB adalah: sehingga gradien garis AB adalah:

9. Sifat-sifat gradien garis • Gradien Garis-garis Lurus yang Saling Sejajar memiliki gradien yang sama

10. Hasilkali gradien garis-garis yang saling tegak lurus adalah -1

11. C. Gradien garis yang sejajar sumbu x adalah 0 dan gradien garis yang sejajar sumbu y adalah tak terdefinisi

12. APLIKASI GRADIEN TERHADAP PERSAMAAN GARIS LURUS

13. Menentukan persamaan garis yang melalui titik A (x1,y1) dan bergradien m Misalkan titik A adalah titik dengan koordinat (x1 ,y1 ), sedangkan Q adalah titik dengan koordinat sebarang, misalnya (x, y) dengan AQ tidak sejajar sumbu x. Jika gradien garis yang melalui titik A dan Q dinyatakan dengan m, maka AQ terdiri atas semua titik (x, y) yang memenuhi hubungan sebagai berikut.

14. Menentukan persamaan garis yang melalui titik A (a,b) dan sejajar garis lain untuk menentukan persamaan garis yang sejajar dengan suatu garis yang telah diketahui dan melalui titik tertentu, maka dicari terlebih dahulu gradien garis tersebut. Contoh: • Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,3) dan sejajar dengan garis y=2x-5

15. Jawab: gradien garis y=2x+5 adalah 2 sehingga garis yang sejajar dengan y=2x+5 juga bergradien 2. jadi persamaan yang dicari adalah persamaan garis yang melalui (2,3) dan bergradien 2,sehingga: y-y1=m(x-x1) y-3=2(x-2) y=2x-1

16. Menentukan persamaan garis yang melalui titik A (a,b) dan tegak lurus garis lain hasilkali gradien dari garis-garis yang saling tegak lurus adalah -1. Oleh karena itu untuk menentukan persamaan garis yang tegak lurus dengan suatu garis yang telah diketahui, maka terlebih dahulu harus ditentukan gradien-gradien dari garis-garisnya Contoh: Tentukan persamaan garis k yang melalui titik (-5,3) dan tegak lurus dengan garis l ≡ 4y = 5x -6

17. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut langkah-langkahnya sebagai berikut. a. Menentukan gradien garis l ≡ 4y = 5x -6, yakni dengan mengubah persamaan 4y = 5x -6 menjadi persamaan dalam bentuk y =(5/4)x -6/4 , sehingga diperoleh gradiennya yaitu m=5/4 b. Menentukan persamaan garis k, misalkan gradien garis k adalah mk, karena garis k tegak lurus garis l, maka hasilkali gradien garis k dengan gradien garis l sama dengan -1, yakni ml x mk =-1. Dengan demikian diperoleh mk =-4/5 . Garis k melalui ( -5,3) dengan gradien mk =-4/5, maka persamaan garis k adalah y-3 = -4/5(x+ 5) sehingga diperoleh 4x+5y+5=0

18. Uji Pemahaman • Tentukanpersamaangaris yang melaluititik( - 5 , 4 )dansejajardengangarisdenganpersamaan2y – 5x = 7 • Tentukanpersamaangaris yang melaluititik ( 6, - 3 ) dantegaklurusdengangaris 5y = 3x – 1 • Diketahui garis l dengan persamaan (x -2y)=a(x + y) = 0 sejajar dengan garis g dengan persamaan (5y -x) + 3a(x + y) = 2a. Tentukan nilai a.