GRADIEN, DIVERGENSI DAN CURL

1. Orang-orang yang berimandanberhijrahsertaberjihaddijalanAllohdenganhartadanjiwamereka, lebihbesarderajadnyadisisiAlloh, danmerekaitulahorang-orang yang mendapatkemenangan. [TQS. AT TAUBAH(9):20]

2. GRADIEN,DIVERGENSI DAN CURL OLEH NURUL SAILA PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS PANCA MARGA 26 DAN 27 DESEMBER 2011

3. “Gradien” Definisi: • Operator DiferensialVektor Del () = /x i+ /y j+ /z k atau = i /x + j /y + k /z Operator  disebutjuga ‘nabla’

4. Gradien Misal(x, y, z) terdefinisidandiferensiabel pd setiaptitik (x, y, z) dlmsuatudaerahtertentudariruang ( medanskalar). Gradien  ditulis:  atau grad , didefinisikan: = (/x i+ /y j+ /z k) = /x i+ /y j+ /z k • .dr=0, shg  adalahsebuahvektorygtegaklurus pd permukaan (x, y, z)= c, dimana c sebuahkonstanta. • Komponen  dlmarahvektorsatuan a adalah .a yaitulajuperubahan  pd (x, y, z) dlmarah a.

5. Contoh: • Jika(x, y, z) = 3x2y – y3z2, carilah grad  () padatitik (1, -2, -1). • Carilah normal satuanterhadappermukaan x2y + 2xz = 4 padatitik (2, -2, 3). • Carilahpersamaanuntukbidangsinggungterhadappermukaan 2xz2-3xy-4x = 7 padatitik (1, -1, 2). • Carilahturunanberarahdari=x2yz+4xz2pada (1, -2, -1) dalamarah 2i-j-2k. • Carilahsudutantarapermukaan-permukaan x2+y2+z2=9 dan z=x2+y2 -3 pd titik (2, -1, 2)

6. “Divergensi” Definisi: Misalkan V(x, y, z)= V1i+ V2 j+ V3 k terdefinisidandiferensiabeldlmsuatudaerahtertentudariruang (V medanvektor). Divergensidari V, ditulis: .V atau div V, didefinisikan: . V = (/x i+ /y j+ /z k) . (V1i+ V2 j+ V3 k) = (V1/x+ V2/y+ V3/z)

7. Contoh: • JikaA=x2z i – 2y3z2 j +xy2z k , makacarilah div A (.A) padatitik (1, -1, 1). • Diketahui = 2x3y2z4. Carilah: • . (div grad ) • 2 2 = 2/x2 + 2/y2 + 2/z2disebut operator Laplacian. • Tentukankonstanta a sehinggavektor V=(x+3y)i+(y-2z)j+(x+az)k adalahsolenoidal [sebuahvektor V adalahsolenoidaljikadivergensinya 0].

8. “Curl” Definisi: Jika V(x, y, z) adalahsuatumedanvektorygdiferensiabelmaka curl ataurotasi V, ditulis: curl V atau rot V, didefinisikan:  x V = (/x i+ /y j+ /z k) x (V1i+ V2 j+ V3 k) =

9. Contoh: • JikaA=x2z i – 2y3z2 j +xy2z k , makacarilah curl A ( x A) padatitik (1, -1, 1). • Jika A=x2y i-2xz j+2yz k, carilah curl curl A. • Jika  adalahsuatumedanskalardan A suatumedanvektor, buktikan: • Curl grad  = 0 • Div curl A = 0

10. Rumus-rumus yang Mengandung Jika A dan B adalahfungsi-fungsivektorygdiferensiabeldan dan  fungsi-fungsiskalardarikedudukan (x, y, z) ygdiferensiabelmaka: • ( + ) =  +  atau grad(+)= grad  + grad  • .(A + B) = .A + .B atau div (A+B)= div A + div B • x(A + B) = x A + x B atau curl (A+B) = curl A + curl B

11. .(A) = (). A + (.A) • x(A) = ()x A + (xA) • .(AxB) = B.(x A) – A.(xB) • x(AxB) = (B.)A – B(.A)-(A.)B+A(.B) • (A.B) = (B.)A + (A.)B+B x(xA)+A x(xB) • .() = 2= 2/x2 + 2/y2 + 2/z2 dimana 2= 2/x2+ 2/y2+ 2/z2disebut operator laplace • x() = 0 curl darigradien  adalah 0 • .( x A)= 0 divergensidari curl A adalah 0. • x( x A)=(.A)-2A

12. TERIMAKASIHTELAH MENGIKUTI PERKULIAHAN INI DENGAN BAIK SELAMAT BELAJAR SEMOGA SUKSES NURUL SAILA