Cours Corporate finance Eléments de théorie du portefeuille Le Medaf

1. Cours Corporate financeEléments de théorie du portefeuilleLe Medaf

2. Plan • Notions de rentabilité • Définition • Modélisation • Eléments de théorie du portefeuille • Portefeuille • Diversification • Le Medaf • Le modèle de marché • La relation du Medaf • Le bêta • Application : calcul du taux d’actualisation

3. Rentabilité d’un actif (1) • Définition de la rentabilité • Notations : • Calcul • Exercice : montrer la rentabilité correspond au TRI de la séquence de flux d’investissement.

4. Rentabilité d’un actif (2) • Deux éléments dans la rentabilité • Le rendement (yield en anglais) : dividende, intérêts, loyers, etc. • La variation en capital (capital gain or loss en anglais) : plus-value ou moins-value à la revente

5. Rentabilité d’un actif (3) • Statistiques importantes (1) • La moyenne des rentabilités • Espérance / anticipation de rentabilité pour le futur • Mesure de performance • La dispersion des rentabilités (autour de la moyenne) • La variance ou l’écart-type des rentabilités • Mesure sur risque (mesure globale)

6. Rentabilité d’un actif (4) • Statistiques importantes (2) • Les quantiles de rentabilités • Probabilité d’observer une rentabilité en dessous d’un seuil donné • Mesure du risque (mesure locale)

7. Rentabilité d’un actif (5) • Distribution historique des rentabilités – Histogramme • Distribution paramétrique des rentabilités - Densité • Exemple : la loi normale • Deux paramètres : la moyenne et la variance (les deux premiers moments de la distribution)

8. Modèle de Markowitz • Qu’est-ce que c’est ? • Modèle mathématique financier de construction de portefeuilles de titres financiers (ou autres) reposant sur l’optimisation du portefeuille en termes de rentabilité et risque • Portefeuilles optimaux • Portefeuille de rentabilité maximum pour un niveau de risque donné • Portefeuille de risque minimum pour un niveau de rentabilité donné

9. Diversification du risque (1) • Cas : portefeuille à deux actifs • Actif 1: µ1 = 10% et σ1 = 20% • Actif 2 : µ2 = 15% et σ2 = 30% • Portefeuille : combinaison d’actifs • x1 et x2 : poids de chaque actif dans le portefeuille • Objectif : trouver le portefeuille qui minimise le risque pour un niveau de rentabilité donné

10. Diversification du risque (2) • Portefeuille efficient • Portefeuille qui, pour une rentabilité anticipée donnée (par exemple 12%), minimise le risque. • Portefeuille qui, pour un niveau de risque donné (par exemple 20%), maximise la rentabilité anticipée. • Portefeuille optimal au sens moyenne-variance • Frontière efficiente • Ensemble des portefeuilles efficients • Exercice : utiliser l’outil de modélisation sur www.longin.fr

11. Diversification du risque (3) • Cas : n actifs risqués • Caractérisation de la frontière efficiente • Le portefeuille retenu par l’investisseur dépend de son aversion au risque. • Cas : 1 actif sans risque et n actifs risqués • Caractérisation de la frontière efficiente • Théorème de séparation : les portefeuilles optimaux sont définis comme une combinaison de l’actif sans risque et du portefeuille tangent (portefeuille de marché). • Le portefeuille retenu par l’investisseur dépend de son aversion au risque. • Exercice : utiliser l’outil de modélisation sur www.longin.fr

12. Diversification du risque (4) • Cas : 1 actif sans risque et n actifs risqués • Actif sans risque : µ0 = 5% et σ0 = 0% • Portefeuille de marché M : µM = 10% et σM = 25% • Portefeuille efficient P : µP et σP • Combinaison linéaire de l’actif sans risque (x) et du portefeuille de marché (1-x) : µP = x·µ0 +(1-x)·µM et σP = (1-x)·σM • En remplaçant x par sa valeur il vient : • Il s’agit de l’équation de la frontière efficiente. • Interprétation économique : plus le risque est élevé, plus la rentabilité exigée est élevée.

13. Risque d’un actif • Quel est le risque associé à un actif ? • Portefeuille existant : µP et σP • Projet ou actif risqué : µi et σi • Comment prendre en compte le risque de cet actif au niveau du taux d’actualisation ? • Risque total de l’actif ? σi • Contribution de l’actif au risque du portefeuille ?

14. Le modèle de marché (1) • Sources de risque • Le risque sur chaque actif a deux origines : • Le risque systématique lié au marché : conjoncture affectant tous les actifs • Le risque spécifique lié au titre considéré : événements propres à l’actif (action, obligation, projet, etc.) • Modélisation • Rentabilité = Rentabilité anticipée + Erreur • Par définition, l’erreur (le résidu) correspond à l’écart entre la réalisation de la rentabilité et son anticipation. • Cet écart est dû à un mouvement général du marché (risque systématique) et à un mouvement propre à chaque actif (risque spécifique).

15. Le modèle de marché (2) • Modélisation (suite) • Notations

16. Le modèle de marché (3) • Raisonnons sur un portefeuille P contenant n titres • Composition du portefeuille : x1, x2, x3, … xn • Modélisation du portefeuille P • Notation

17. Le modèle de marché (4) • Diversification des n risques spécifiques • Les aléas S1, S2, S3, …, Sn sont des variables aléatoires centrées et indépendantes. • Pour un portefeuille diversifié (i.e. tous les poids xi sont petits), le risque spécifique du portefeuille disparaît. • Application de la loi des grands nombres • Approximation pour la rentabilité d’un portefeuille diversifié

18. Le modèle de marché (5) • Analyse du risque d’un portefeuille diversifié • Interprétation : • Approximation pour le risque d’un portefeuille diversifié

19. Le modèle de marché (6) • Contribution d’un actif i au risque du portefeuille P • Décomposition du risque de l’actif i • Le risque spécifique de l’actif i n’apparaît pas dans le risque d’un portefeuille diversifié. • Seul le bêta de l’actif i apparaît dans le risque d’un portefeuille diversifié. • La contribution d’un actif i au risque du portefeuille P est mesurée par le bêta.

20. Le modèle de marché (7) • Détermination de la prime de risque de l’actif i • Décomposition de la prime de risque sur l’actif i • La prime de risque pi doit être proportionnelle au bêta de l’actif i qui est le seul risque non diversifiable. • Démonstration :

21. Le Medaf (1) • Terminologie • Medaf : modèle d’évaluation des actifs financiers • CAPM : capital asset pricing model • Rentabilité anticipée de l’actif i • Relation du Medaf ou CAPM • La rentabilité anticipée d’un actif est égale à la somme du taux sans risque et du bêta de l’actif fois la prime de risque du marché.

22. Le Medaf (2) • Trois éléments à estimer • Le taux sans risque • La prime de risque du marché • Le bêta de l’actif • Utilité du Medaf • Gestion d’actifs • Construction de portefeuilles efficients • Décisions d’investissement • Calcul du coût du capital

23. Calcul du coût du capital en pratique • Les entreprises utilisent le Medaf pour calculer le coût du capital.

24. Le beta (1) • Définition • Interprétation • Le beta mesure l’élasticité de l’actif par rapport au portefeuille de marché. • Si un actif a un beta de 1, alors en moyenne il varie dans les mêmes proportions que le marché. • Un actif avec un beta inférieur à 1 (0,8 par exemple) varie moins que le marché. • Un actif avec un beta supérieur à 1 (1,5 par exemple) amplifie les variations du marché. • Le beta est donc aussi une mesure du risque d’un actif.

25. Le bêta (2) • Estimation du beta • Estimation de la régression linéaire de la rentabilité du titre i sur la rentabilité du marché M • Le bêta : • Coefficient de la régression linéaire associé à la rentabilité du portefeuille de marché M (variable explicative) • Pente de la droite de la régression

26. Limites du Medaf • Qu’est-ce que le portefeuille de marché ? • En théorie, le portefeuille de marché contient tous les actifs : actions, obligations, matières premières, immobilier, objets d’art, capital humain, etc. • Difficulté d’observer le portefeuille de marché et donc à estimer sa rentabilité • Qu’est-ce qu’un actif ? • Historique de rentabilités pour un actif de marché • Quid d’un nouveau projet d’entreprise ? • Difficulté de simuler de TRI sous différentes conditions de marché pour calculer le bêta

27. Application à l’investissement • Le taux d’actualisation doit tenir compte du risque. • Prime de risque • La prime de risque du projet dépend du projet mais aussi du portefeuille existant. • Recherche d’actifs peu corrélés voir négativement corrélés avec le portefeuille existant • Super diversificateurs