Cours 3-b Méthode des éléments finis 1D

1. Cours 3-bMéthode des éléments finis 1D • Notion de maillages : connectivité • Notion d’élément de référence • Technique d’assemblage • Résolution et post-traitement • Algorithme général NF04 - Automne - UTC

2. 3 éléments finis à deux noeuds 4 noeuds • Un maillage éléments finis est décrit à l’aide de deux tables : • … des coordonnées : • … des connectivités : Cas général : plusieurs éléments • Exemple de maillage : NF04 - Automne - UTC

3. Remarques sur le maillage Remarque 1 : la numérotation des nœuds peut être aléatoire. Un maillage éléments finis est dît non structuré ! Remarque 2 : les éléments peuvent être de longueurs différentes NF04 - Automne - UTC

4. Discrétisation de la forme intégrale La forme intégrale (thermique 1D) s’écrit (voir précédent cours) : Le découpage du domaine en un maillage se traduit par un découpage du signe intégral : Soit : NF04 - Automne - UTC

5. Nécessité de recalculer les fonctions pour chaque élément ! Notion d’élément de référence • Pour pallier à cette hétérogénéité, on définit un élément de référence commun sur lequel effectuer l’intégration. • Chaque intégrale « élémentaire » est définie par des bornes distinctes, d’où : • des fonctions d’approximation N1 et N2 différentes d’un élément à un autre. NF04 - Automne - UTC

6. Notion d’élément de référence • Méthode : changement de variables soit : • Les fonctions d’approximation sur l’élément de référence sont linéaires et définies par : soit : NF04 - Automne - UTC

7. Solution globale : reconstruction élémentaire • La superposition des approximations locales conduit à une approximation GLOBALE de la solution par éléments finis NF04 - Automne - UTC

8. Discrétisation des intégrales élémentaires • Le calcul des matrices et vecteurs « élémentaires » est alors analogue à celui d’un seul élément de longueur Le (voir précédent cours). On retrouve ainsi la démarche suivante : • Approximation par éléments finis : • Calculs élémentaires : • [Ke ] : matrice de rigidité élémentaire • {Fe} : vecteur des sollicitations élémentaire NF04 - Automne - UTC

9. Phase d’assemblage Après calcul de toutes les contributions élémentaires, nous obtenons : • La phase d’assemblage consiste à « assembler » : • toutes les matrices élémentaires en une seule matrice globale [K] • tous les vecteurs élémentaires en un seul vecteur global {F} tels que : Deux techniques d’assemblage possibles ! NF04 - Automne - UTC

10. Assemblage par extension (peu utilisé) • Le principe est simple : augmenter les dimensions des matrices et vecteurs élémentaires aux dimensions de la matrice global et du vecteur global. • Exemple : NF04 - Automne - UTC

11. Assemblage par projection Principe : il consiste à localiser la « zone » de la matrice globale où sera projetée la matrice élémentaire. Constat : cette « zone » possède les mêmes dimensions que la matrice élémentaire. Outil de mise en œuvre : la table des connectivité « conec » Le procédé est identique pour l’assemblage d’un vecteur élémentaire ! N° ligne = numéro de l’élément Contenu des colonnes = liste des nœuds de l’élément = liste des lignes et colonnes de la matrice globale ! NF04 - Automne - UTC

12. Technique d’assemblage par projection Démarche générale : • On boucle sur tous les éléments : • Calcul de [Ke] et {Fe} • Extraction de la connectivité de l’élément (numéros des nœuds) • On isole dans [K] et {F} les lignes et colonnes correspondantes • On y « projette » [Ke] dans [K] • On y « projette » {Fe} dans {F} • Retour de boucle • Introduction des conditions aux limites NF04 - Automne - UTC

13. Applications : maillage à 3 éléments 1 2 3 4 1 2 3 4 • Assemblage de l’élément 1 : • Conec(1,[1 2])=[1 2] N° d’élément Liste des noeuds 1 2 3 4 N° des colonnes 1 2 3 4 • Assemblage de l’élément 2 : • Conec(2,[1 2])=[2 3] 1 2 3 4 1 2 3 4 • Assemblage de l’élément 3 : • Conec(3,[1 2])=[3 4] Remarque : pour simplifier L(1) = L (2) = L (3) = Le NF04 - Automne - UTC

14. Prise en compte des conditions aux limites (1/3) • Traitement de la condition de Dirichlet (1/2) : Méthode du terme unité sur la diagonale N+1 opérations ! Remarque : à l’issue de cette phase, le vecteur des réactions vaut {R }={0 } et n’apparaît donc plus ! NF04 - Automne - UTC

15. avec Grand = 1012 x max(K) Prise en compte des conditions aux limites (2/3) • Traitement de la condition de Dirichlet (2/2) : Méthode du terme diagonal dominant 2 opérations ! Remarque : à l’issue de cette phase, le vecteur des réactions {R } est négligeable et n’apparaît donc plus ! NF04 - Automne - UTC

16. Prise en compte des conditions aux limites (3/3) • Traitement de la condition de Cauchy : Attention au signe ! NF04 - Automne - UTC

17. Cas particulier d’assemblage : liste des nœuds non consécutives • Exemple : conec(e, [1 2]) = [ 1 3] Technique : on « dispatche » en conservant les positions relatives respectives ! NF04 - Automne - UTC

18. Cas particulier d’assemblage : liste des nœuds inversée • Exemple : conec(e, [1 2]) = [ 4 2] Technique : on « dispatche » en inversant les lignes et les colonnes ! NF04 - Automne - UTC

19. Analyse de la validité des résultats • Vérifications de base : programmation, préparation des données • Conditions aux limites de Dirichlet • Condition de Neumann et Cauchy Requiert le calcul du gradient • Calcul des réactions Permet de vérifier : • l’équilibre statique en mécanique • La conservation des flux en thermique : flux entrants=flux sortants • Calcul de convergence : Parvenir à l’indépendance de la solution par rapport au maillage NF04 - Automne - UTC

20. Post-traitement : calcul du gradient • Utile pour : • Calculer un flux thermique : • Calculer un effort de traction mécanique : • Méthode : Question : comment choisir une valeur de flux au nœud « i » ? NF04 - Automne - UTC

21. Calcul du gradient aux noeuds • Constat : une approximation linéaire de la solution : • Assure la continuité de la solution inter-éléments ; • N’assure pas la continuité des dérivées de la solution ! • Solutions envisageables : • Utiliser un élément fini à 3 nœuds d’approximation quadratique ! (hors NF04) • Moyenner la solution aux nœuds ! NF04 - Automne - UTC

22. Réaction liaison Poids Modèle éléments finis Modèle réel Post-traitement : calcul des réactions externes • Utile pour : • Calculer la valeur du flux thermique externe sur une condition de Dirichlet et vérifier l’équilibre des flux entrants et sortants (seulement si f=0). • Calculer un effort de réaction mécanique externe et vérifier l’équilibre global du système • Méthode : • Exemple : colonne sous effet de gravité (sera traité lors du TD3) On doit vérifier : La solution éléments finis le vérifie t’elle ? NF04 - Automne - UTC

23. Calculs de convergence • Objectif : Vérifier qu’il existe une taille de maillage minimale à partir de laquelle, la solution devient indépendante du maillage. NF04 - Automne - UTC

24. Valeur convergée Valeur non convergée ! Cas particulier : solutions élément finis et analytiques confondues ! Température Flux Solutions confondues sur la variable T mais pas sur la variable flux ! NF04 - Automne - UTC