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DIVISIBILIDADE No Reino dos Números Primos Carlos Tenreiro Departamento de Matemática

DIVISIBILIDADE No Reino dos Números Primos Carlos Tenreiro Departamento de Matemática Universidade de Coimbra 18 de Março de 2006. Divisores de um número. Divisores de um número são os números que dividem o número exactamente com resto zero:. 3 é divisor de 15. 15 é divisível por 3.

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DIVISIBILIDADE No Reino dos Números Primos Carlos Tenreiro Departamento de Matemática

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  1. DIVISIBILIDADE No Reino dos Números Primos Carlos Tenreiro Departamento de Matemática Universidade de Coimbra 18 de Março de 2006

  2. Divisores de um número • Divisores de um número são os números que dividem o número exactamente com resto zero: 3 é divisor de 15 15 é divisível por 3 15 é múltiplo de 3

  3. Divisores de um número • Quais são os divisores de 3? 1 e 3 • Quais são os divisores de 5? 1 e 5 • Quais são os divisores de 6? 1, 2, 3 e 6 • Quais são os divisores de 28? 1, 2, 4, 7,...

  4. Número primo Um número é primo se só tem dois divisores: a unidade e ele próprio Caso contrário, o número écomposto

  5. Primo ou Indecomponível • 15é composto. Pode decompor-se: • 15 = 3 x 5 • 7é primo. Não se pode decompor: • 7 = 7

  6. Alguns números primos

  7. Alguns números primos

  8. Mais números primos

  9. Primo = Importante = Primeiro • Os números primos são muito importantes. Qualquer número inteiro pode ser escrito como produto de números primos: 220 = 2 x 110 = 2 x 2 x 55 = 2 x 2 x 5 x 11

  10. Decomposição em factores primos 220 2 110 2 55 5 11 11 1 220 = 2 x 2 x 5 x 11

  11. Decomposição em factores primos 220 = 2 x 2 x 5 x 11 Quais são os divisores de 220? 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 220

  12. Divisores de um número • Quais são os divisores de 3? 1 e 3 • Quais são os divisores de 5? 1 e 5 • Quais são os divisores de 6? 1, 2, 3 e 6 • Quais são os divisores de 28? 1, 2, 4, 7,...

  13. Número perfeito Um número é perfeito se só é igual à soma dos seus divisores próprios Divisores de 6 : 1, 2, 3, 6 1 + 2 + 3 = 6

  14. Decomposição em factores primos de 28 28 2 14 2 28 = 2 x 2 x 7 7 7 1 Divisores de 28: 1+2+4+7+14=28 1, 2, 4, 7, 14, 28

  15. Desde quando se conhecem e estudam os números primos?

  16. O osso de Ishango

  17. O osso de Ishango

  18. O osso de Ishango

  19. Babilónios, Egípcios e Gregos A.C. D.C. 20000 6000 2006 Babilónios Egípcios Conheciam o Teorema de Pitágoras Gregos Pitágoras (569 – 475) Platão (427– 347) Aristóteles (384 – 322) Euclides (325 – 265)

  20. Euclides de Alexandria • Mais importante matemático da antiguidade. • Escreveu “Os Elementos”, mais importante obra matemática da antiguidade. (325 A.C. – 265 A.C.)

  21. Os Elementos Uma página de “Os Elementos” numa tradução latina publicada em1482.

  22. Os Elementos O que diz Euclides: Um número é primo se só pode ser medido pela unidade e por ele próprio Caso contrário, o número écomposto

  23. Os Elementos O número 15 pode ser medido pelo 5 mas não pelo 4: 15 = 5 = 4 =

  24. Os Elementos O número 15 pode ser medido pelo 5 e pelo 3 (além do 1 e do 15): 15 = 5 = 3 =

  25. Os Elementos Euclides dizia: 3 e 5 medem 15 Nós dizemos: 3 e 5 dividem 15

  26. Os Elementos Existe um número infinito de números primos, ou seja, há sempre novos números primos.

  27. Há sempre novos primos 2 3 5 ...

  28. Há sempre novos primos 2, 3, 5, 7, 11, 13 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 + 1 = 30031 Como nenhum dos primos anteriores divide 30031 terá de existir um novo primo

  29. Crivo de Eratóstenes

  30. Primos enormes Primo com 39 algarismos obtido em 1876 e que até 1951 foi o maior primo conhecido: 2127-1 = 17014118346046923173168730 3715884105727 Primo com 44 algarismos obtido em 1951 com a ajuda de uma calculadora mecânica: (2148+1)/17 = 209889366574405864861512 64256610222593863921

  31. Primos enormes 909 526 algarismos Primo de Mersenne (1588-1648).

  32. Números de Mersenne Primo Número de Mersenne 2 22 – 1 = 2 x 2 – 1 = 3 5 25 – 1 = 31 11 211 – 1 = 2047 2047 = 89 x 23

  33. Primos de Mersenne Os primeiros primos de Mersenne eram conhecidos desde a antiguidade:

  34. Primos de Mersenne Em 1644 Mersenne afirma que são primos os números gerados a partir de: p =2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67,127, 257 Faltavam: p =61, 89, 107

  35. Primos de Mersenne

  36. Primos de Mersenne e números perfeitos Euclides sabia como obter números perfeitos a partir dos primos de Mersenne:

  37. Primos de Mersenne e números perfeitos Mais alguns números perfeitos:

  38. Queres ficar famoso? “Basta” saber responder a uma destas questões: • Haverá um número infinito de primos • de Mersenne? • Haverá um número infinito de números • compostos de Mersenne? • Haverá números perfeitos ímpares?

  39. Um problema perfeito Mostra que um número perfeito par termina em 6 ou 8.

  40. BOM TRABALHO DIVIRTAM-SE

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