Pravděpodobnost nezávislých jevů

1. 9. května 2013 VY_32_INOVACE_110220_Pravdepodobnost_nezavislych_jevu_DUM Pravděpodobnost nezávislých jevů obr. 1 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Daniel Hanzlík Obchodní akademie a Střední odborná škola logistická, Opava, příspěvková organizace. Materiál byl vytvořen v rámci projektu OP VK 1.5 – EU peníze středním školám, registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0809.

2. Pravděpodobnost nezávislých jevů • Dva náhodné jevy považujeme za nezávislé, jestliže se navzájem neovlivňují, tj. nezávisí-li výsledek jednoho na výsledku druhého. • Přitom se budeme zajímat o pravděpodobnost jejich průniku, tj. o pravděpodobnost, že nastanou oba. obr. 1

3. Klasická definice pravděpodobnosti I v tomto výukovém materiálu si připomeňme znovu klasickou definici pravděpodobnosti, pomocí níž budeme řešit matematické úlohy i ve výukovém materiálu o nezávislých jevech. Pravděpodobnost jevu v náhodném pokusu s konečnou množinou všech výsledků, které jsou stejně možné, je rovna podílu počtu výsledků příznivých jevu a počtu všech možných výsledků pokusu: • Pravděpodobnost libovolného jevu je nezáporné číslo nejvýše rovno jedné: obr. 1

4. Pravděpodobnost nezávislých jevů Jevy jsou nezávislé, je-li pravděpodobnost jejich průniku rovna součinu jejich pravděpodobností: Z předpokladu nezávislosti jevů platí: Jsou-li dva jevy nezávislé, jsou nezávislé i jevy k nim opačné. obr. 2

5. Pravděpodobnost nezávislých jevů – praktická část Následující čtyři matematické úlohy se blíže zabývají problematikou pravděpodobnosti nezávislých jevů. Příklady jsou zasazeny do reálné situace z běžného života – např. při házení kostkou, při výběru barevné kuličky z osudí nebo při střelbě na terč. V jedné úloze si povšimneme, že se nejedná o dva nezávislé jevy, a proto při výpočtu pravděpodobnosti průniku těchto jevů použijeme vzorec z klasické definice pravděpodobnosti. obr. 2

6. Nabídka úloh a jejich řešení Úloha 1 Řešení úlohy 1 Úloha 2 Úloha 3 Shrnutí Řešení úlohy 2 Řešení úlohy 3 Úloha 4 Řešení úlohy 4

7. zpět do nabídky úloh Úloha 1 Určete pravděpodobnost, že ve dvou hodech kostkou padne v prvním hodu šestka a ve druhém nepadne. obr. 3

8. zpět do nabídky úloh Řešení úlohy 1 Označíme jev „padnutí šestky v prvním hodu“, a jev , „nepadnutí šestky v 1. hodu“ . Oba jevy jsou nezávislé, protože výsledek 2. hodu není ovlivněn výsledkem prvního hodu (jedná se o zcela nový hod, kostka si „nepamatuje“, které číslo padlo v 1. hodu). Počet všech možných výsledků je 6 (čísla 1, …, 6), tj. . Počet výsledků příznivých jevu je 1 (pouze šestka), tj. . Počet výsledků příznivých jevu je 5 (1, 2, 3, 4, 5), tj. . Odtud plyne pro pravděpodobnost obou jevů: Pravděpodobnost průniku obou nezávislých jevů odpovídá součinu pravděpodobností: Pravděpodobnost, že ve dvou hodech kostkou padne v 1. hodu šestka a ve 2. hodu nepadne, je asi . obr. 3

9. zpět do nabídky úloh Úloha 2 Z osudí, ve kterém jsou tři kuličky modré a dvě červené, vytáhneme postupně, tj. nikoli najednou, dvě kuličky. Určete pravděpodobnost, že v prvním tahu to bude modrá kulička a ve druhém tahu taky, jestliže: a) kuličku vytaženou v 1. tahu před 2. tahem vrátíme, b) kuličku vytaženou v 1. tahu do osudí nevrátíme. obr. 4

10. pokračování Řešení úlohy 2 a) Označme jev ,„vytažení modré kuličky v prvním tahu“,a jev „vytažení modré kuličky v druhém tahu“. Jevy jsou nezávislé (vrátíme-li kuličku taženou v 1. tahu zpátky, není tím výsledek 2. tahu ovlivněn). Počet všech možných výsledků je 5 (celkem 5 kuliček), tj. . Počet výsledků příznivých jevu je 3 (3 modré kuličky), tj. . Počet výsledků příznivých jevu je 3 (3 modré kuličky), tj. . Pro pravděpodobnost obou jevů platí: Určíme pravděpodobnost průniku obou jevů, tj. pravděpodobnost, že v prvním i ve druhém tahu bude vytažena modrá kulička. Pro nezávislé jevy platí: Pravděpodobnost, že v 1. tahu vytáhneme modrou kuličku a ve 2. tahu taky, když kuličku vytaženou v 1. tahu před 2. tahem vrátíme, je 0,36 (36 %). obr. 4

11. zpět do nabídky úloh Řešení úlohy 2 b) Označme jev ,„vytažení modré kuličky v 1. tahu“, a jev „vytažení modré kuličky ve 2. tahu“ . Na rozdíl od předchozího případu nejsou jevy a nezávislé vzhledem k tomu, že kuličku vytaženou v 1. tahu do osudí nevrátíme, a tím je výsledek 2. tahu ovlivněn. Vytváříme tak uspořádané dvojice z pěti prvků (všech kuliček), přičemž prvky v nich jsou různé (díky tomu, že kuličku vytaženou v 1. tahu do osudí nevrátíme). Počet všech možných případů odpovídá počtu variací 2. třídy z pěti prvků bez opakování. Platí: Početvýsledků příznivých průniku jevů a odpovídá pouze výběru těch uspořádaných dvojic, které v sobě obsahují 3 modré kuličky. Jedná se o trojice: . Pro pravděpodobnost průniku jevů a platí: Pravděpodobnost, že v 1. tahu vytáhneme modrou kuličku a ve 2. tahu taky, jestliže kuličku vytaženou v 1. tahu do osudí vrátíme, je 0,3 (30%). obr. 4

12. zpět do nabídky úloh Úloha 3 Střelci A, B střílejí nezávisle na sobě do terče. Střelec A má pravděpodobnost zásahu 0,7, střelec B zasahuje cíl s pravděpodobností 0,6. Určete pravděpodobnost, že při jednom výstřelu každého z nich: a) zasáhli cíl oba, b) žádný nezasáhl cíl, c) aspoň jeden zasáhl cíl, d) střelec A nezasáhl cíl. obr. 5

13. pokračování Řešení úlohy 3 Označme jev ,„střelec A zasáhne cíl“, tj. . Označme jev ,„střelec A nezasáhne cíl“, tj. . Označme jev ,„střelec B zasáhne cíl“, tj. . Označme jev ,„střelec B nezasáhne cíl “, tj. . a) Pravděpodobnost jevu, že zasáhnou cíl oba střelci, odpovídá pravděpodobnosti průniku dvou nezávislých jevů a , neboť střelec B neovlivňuje výsledek střelce A: Pravděpodobnost jevu, že zasáhnou cíl oba střelci, je 0,42 (42 %). b) Pravděpodobnost jevu , že žádný střelec nezasáhl cíl, odpovídá pravděpodobnosti průniku dvou nezávislých jevů a : (12 %) Pravděpodobnost jevu, že žádný střelec nezasáhl cíl, je 0,12 (12 %). obr. 5

14. zpět do nabídky úloh Řešení úlohy 3 c) Pravděpodobnost jevu , že aspoň jeden střelec zasáhne cíl(tj. pouze střelec A nebo pouze střelec B nebo oba současně), odpovídá opačnému jevu k předchozímu průniku dvou nezávislých jevů: Pravděpodobnost jevu, že aspoň jeden střelec zasáhne cíl, je 0,88 (88 %). d) Pravděpodobnost jevu , že střelec A nezasáhne cíl, je dána součtem dvou dvojic vzájemně nezávislých jevů (tj. střelec A nezasáhne cíl a současně střelec B zasáhne cíl nebo střelec A nezasáhne cíl a střelec B taky nezasáhne cíl): Pravděpodobnost jevu, že střelec A nezasáhne cíl, je 0,3 (30 %). obr. 5

15. zpět do nabídky úloh Úloha 4 Student k maturitní zkoušce ovládá učivo z jazyka českého na 87 %, z jazyka anglického na 83 %, z matematiky na 93 % a z ekonomických předmětů na 97%. Jaká je pravděpodobnost, že student a) prospěje ve všech předmětech, b) neprospěje ani z jednoho předmětu, c) neprospěje z jazyka českého a z ostatních předmětů prospěje. obr. 6

16. pokračování Řešení úlohy 4 Označme jev , „student ovládá učivo z CJL“, tzn. . Označme jev ,„student ovládá učivo z ANJ“, tzn. . Označme jev ,„student ovládá učivo z MAT“, tzn. Označme jev ,„student ovládá učivo z EKP“, tzn. . Pravděpodobnosti jevů opačných k jevům , , , jsou: a) Pro určení pravděpodobnosti jevu, že student prospěje ve všech předmětech, využijeme vzorce pro pravděpodobnost průniku čtyř nezávislých jevů . Výsledek jednoho jevu neovlivňuje výsledek libovolného dalšího jevu. Pravděpodobnost, že student prospěje ve všech čtyřech předmětech, je asi (65,14 %). obr. 6

17. zpět do nabídky úloh Řešení úlohy 4 b) Při určení pravděpodobnosti, že student neprospěje ani z jednoho předmětu, použijeme vzorec pro pravděpodobnost průniku 4 nezávislých jevů (jedná se o opačné jevy k původním čtyřem jevům). Pravděpodobnost, že student neprospěje ani z jednoho předmětu, je asi (jedná se o téměř nemožný jev). c) Pravděpodobnost, že student neprospěje z jazyka českého a z ostatních předmětů prospěje, je dána průnikem čtyř nezávislých jevů . Pravděpodobnost, že student neprospěje z jazyka českého a z ostatních předmětů prospěje, je asi 0,097 3 (9,73 %). obr. 6

18. Shrnutí Čtyři matematické úlohy z různých oblastí popisují problematiku pravděpodobnosti nezávislých jevů. Při výpočtu aplikujeme vzorec pro pravděpodobnost průniku těchto jevů. Tento výukový materiál je současně zakončením série materiálů, která pojednávala o základech teorie pravděpodobnosti v rámci středoškolského učiva. obr. 2

19. CITACE ZDROJŮ Použitá literatura: 1) HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy, střední odborná učiliště a nástavbové studium. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s. r. o., 2000, s. 214, 218. ISBN 80-7196-165-5. 2) CALDA, Emil. Matematika pro netechnické obory SOŠ a SOU, 3. díl. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r. o., 2000, s. 207, 218 – 219, 222 – 224. ISBN 80-7196-109-4.

20. CITACE ZDROJŮ Použité obrázky: 1) KJELL, André. File:Hexahedron.gif - WikimediaCommons [online]. 6 January 2005 [cit. 2013-05-09]. Dostupné pod licencí CreativeCommons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hexahedron.gif 2) KARWATH, André. File:Tetraeder animationwith cube.gif - WikimediaCommons [online]. 17 February 2005 [cit. 2013-05-09]. Dostupné pod licencí CreativeCommons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tetraeder_animation_with_cube.gif 3) File:Dado castanho com o número 6 visível.jpg - Wikimedia Commons [online]. 8 December 2008 [cit. 2013-05-09]. Dostupné pod licencí CreativeCommonsz: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Dado_castanho_com_o_n%C3%BAmero_6_vis%C3%ADvel.jpg 4) IAMS, Michael. File:USMC-120601-M-QN491-036.jpg - WikimediaCommons [online]. 2 December 2010 [cit. 2013-05-09]. Dostupné pod licencí CreativeCommons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:USMC-120601-M-QN491-036.jpg

21. CITACE ZDROJŮ Použité obrázky: 5) File:Air-rifle-shooting.jpg - Wikimedia Commons [online]. 24 May 2005 [cit. 2013-05-09]. Dostupnépod licencí CreativeCommonsz: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Air-rifle-shooting.jpg 6) File:Testtakingstudent.jpg - WikimediaCommons [online]. 9 May 2006 [cit. 2013-05-09]. Dostupné pod licencí CreativeCommons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Testtakingstudent.jpg Všechny úpravy psaného textu byly prováděny v programu MS PowerPoint.

22. Konec prezentace.Děkuji Vám za pozornost. Mgr. Daniel Hanzlík