MULTIDISCIPLINARNOST MATEMATI ČKOG MODELIRANJA

1. MULTIDISCIPLINARNOST MATEMATIČKOG MODELIRANJA BIOTEHNIČKE ZNANOSTI MATEMATIČKE ZNANOSTI RAČUNARSKE ZNANOSTI

2. M X Y Y=M(X) Srž matematičkog modela M je određivanje matematičko-statističkih relacija kojima se povezuje skup izlaznih veličina Y, one su zavisne veličine, o skupu nezavisnih ulaznih veličina X. Shematski prikaz matematičkog modela M kojim se ulaznim veličinama X pridružuje skup izlaznih veličina Y.

3. Ulazne veličine X Izlazne veličine Y kauzalnost Procesni prostor P Slika: Shematski prikaz prvog koraka modeliranja kojim se procesni prostor P temeljem svrhovitosti sustava i kauzalnosti veličina razdvaja u skupove ulaznih X i izlaznih veličina Y.

4. Metodologija i struktura matematičkog modela može biti vrlo različita i najčešće je određena prirodom istraživanog kemijsko inženjerskog sustava, njegove svrhovitosti i cilja matematičkog modeliranja. Na primjer, navedimo samo neke vrste matematičkih modela s obzirom na njihovu matematičku strukturu: • - jednadžba regresijskog pravca, • - multivarijantni linearni regresijski modeli (MIMO) • - autoregresijski linearni modeli (MISO) • - regresijski polinomi, • - regresijski modeli glavnih komponenata (PLS,PCR), • - obične diferencijalne jednadžbe, • parcijalne diferencijalne jednadžbe, • - neuronske mreže, • - modeli neizrazite logike, • - stohastički modeli, itd.

5. Modeli se mogu razlikovati prema svojoj svrhovitoj namjeni, na primjer za istraživanje: - biokemijskog mehanizma i kinetike - fenomena prijenosa tvari i energije - uvećanja od laboratorijskog do industrijskog mjerila - upravljanje procesa - optimiranje procesa, itd. Zajednička svrha matematičkih modela je da omogućuju eksperimentiranje s modelom u svrhu istraživanja. Drugim riječima, model mora vjerno reproducirati vladanje realnog procesa u područje njegove primjene. Osnovni metodološki postupak istraživanja primjenom modela naziva se simuliranje procesa ili sustava. Simulacija modelom je podržana računalnim programima („software“) kojima se omoguće učinkovito računanje vrijednosti izlaznih veličina, prikladan grafički prikaz i statistička analiza rezultata simulacije.

6. M simulacija Xp Yp Xk Yk Shematski prikaz simulacije procesa kojom se istražuje prostor skupa ulaznih veličina X veličina od početne Xp za t=0 do konačne vrijednosti Xk za t=tk i posljedice ovih promjena u skupu izlaznih veličina Y od početne Yp za t=0 do konačne Yk za t=tk.

7. M X Y δY δX M-1 Matematički modeli imaju središnju ulogu u upravljanju procesa povratnom vezom ili spregom („feedback control“). Smisao upravljanja procesa je odrediti promjene ulaznih manipulativnih (podesivih) veličina kojima se može kompenzirati pore­mećaj izlaznih veličina kao posljedica utjecaja poremećaja okoline na proces Da bi se odredile potrebne promjene ulaznih veličina za zadane poremećaje izlaznih veličina potrebno je koristiti inverzni matematički model M-1, tako da se dobije

8. Određivanje inverznog matematičkog M-1 modela nije uvijek moguće provesti na eksplicitan način na osnovu modela procesa M, na primjeru općem slučaju jenemoguće invertirati model dan u prostoru stanja s sustavom običnih ili parcijalnih diferencijalnih jednadžbi. Za tu svrhu se najčešće koriste aproksimativni linearni modeli čiji parametri su određeni za pojedina lokalna područja prostora ulaznih veličina. Također su u tu svrhu često primjenjuju i modeli s neuronskim mrežama te modeli s neizrazitom logikom.

9. Upravljanje procesa matematičkim modelima (MPC, Model Predictive Control)

13. Modeling techniques applied in biochemical engineering Steady state single input-single output regression x y y=f(b,x) Unsteady state discrete single input single output ARMA Unsteady state continuous single input single output

14. Multivariate PLR models x1 y1 x2 y=f(b,x1,x2··xm) y2 xm yn Steady state linear multivariate model multiple input – single output Partial linear regression (PLR) multiple input single output Si+3 Konveksni skup {X,Y} Si Si+2 Si+1 y x

15. Modeliranje u prostoru stanja Matematički modeli biokemijsko inženjerskih procesa (sustava) najčešće se izvode iz slijedećih fundamentalnih prirodnih zakona sačuvanja sljedećih ekstenzivnih veličina: masa tvari, energija i količina gibanja. Ovi prirodni zakoni se primjenjuju kao vremenski promjenljivih bilanci u obliku promjena pripadnih intenzivnih veličina koncentracije, temperature i brzine gibanja izraženih u obliku sustava običnih (ODJ) ili parcijalnih diferencijalnih jednadžbi (PDJ). Modeli koji su opisani ODJ izvode se apstrakcijom kojom se prostorna raspodjela fizikalnih i biokemijskih veličina zanemari, i promjena stanja proces se promatra kao da se zbiva u materijalnoj točci. Oni se nazivaju koncentriranim modelima („lumped models“) i najčešće se koriste u procesima u kojima postoji intenzivno miješanje kojim se homogenizira raspodjela koncentracija i temperature u procesnom prostoru. Tipičan primjer je idealan protočan kemijski reaktor (PKR).

16. ulazni tok izlazni tok ulazni tok izlazni tok M Procesni prostor modeliranje T(t) c(t) izlazni tok ulazni tok ulazni tok izlazni tok Shematski prikaz apstraktnog procesa kojim se realni procesni prostor modelom usredotočenih veličina, na primjeru kojem se prostorne raspodjele temperature i koncentracije tvari koncentrirane u materijalnoj točci opisane samo vremenski zavisnim veličinama T(t) i c(t).

17. Najvažnije, a ujedno i najkritičnije su prva i zadnja faza kada se odlučuje o izboru skupova ulaznih i izlaznih veličina uključenih u model, i zadnja faza kada se mora rigoroznim testovima ispitati validacija modela. Opća značajka matematičkog modeliranja je iteracijska priroda pojedinih faza na osnovu rezultata validacije cjelokupnog modela. Sve faze tijekom razvoja matematičkog modela se preispituju u odnosu na svrhovitost modela koja se validira. Mogućnosti izbora matematičkog modela su vrlo velike, i najčešće se u prvoj fazi modeliranja pretpostavlja klasa mogućih modela koji se onda međusobno uspoređuju dok se ne postigne najprikladniji izbor. Moguće klase modela, koje se najčešće slikovito opisuju i rangiraju prema karakteru informacija integriranih u model, od modela „crne kutije“ („black box“) preko „sivih modela“ („gray box“) do modela „bijele kutije“ („white box“) modela.

18. razina fundamentalnih znanja o sustavu kompleksnost sustava „white box models“ ODJ PDJ DAE „grey box models“ ARMA, ARMAX,PLS fuzzy logic „black box models“ ANN Grafički prikaz odnosa razine fundamentalnih znanja o modeliranom sustavu i njegovoj kompleksnosti i metodologije modeliranja od modela „bijele“ do modela „crne“ kutije.

19. Boolean networks Space of modeling methods Process calculi Petri Nets continuous ↔ discrete stochsim BaN ODE mechanistic ↔ symbolic qualitative ↔ quantitative

20. Klasifikacija analitičkih („white box“) modela

23. Dimenzija, parametri i složenost matematičkog modela Kako konceptualno odrediti “optimalni” model ?

24. Validacija matematičkog modela Grafički prikaz ulazno izlaznih podataka {X,Y} podijeljenih u dva skupa za modeliranje SM i validaciju modela SV.

25. Grafički prikaz ulazno izlaznih podataka {X,Y}podijeljenih u tri disjunktna skupa za modeliranje SM, optimiranje parametara modela SO i validaciju modela SV.

26. Neki statistički kriteriji validacije modela Linearni Pearsonov koeficijent korelacije

27. Populacijski Pearsonov koeficijent korelacije Koeficijent korelacije određen na osnovu n uzoraka ulazno izlaznih podataka Za usporedbu različitih modela koji se razlikuju prema broju parametara u modelu potrebno je korigirati koeficijent korelacija s obzirom na broj parametara („adjusted Pearson correlation“).

28. Koeficijent determinacije modela Koeficijent determinacije se služi kao mjera točnosti predikcije modela Ukupna disperzija eksperimentalnih podataka Ukupna disperzija podataka predikcije modela “Lack of fit” : SStot - SSreg ANOVA analiza “lack of fit” za model Replikacije eksperimenta i “analytical error”

29. Ukupna disperzija razlika između eksperimentalnih podataka i predikcija modela (modelom neobjašnjena disperzija) Koeficijent determinacije Za linearne modele koeficijent determinacije jednak je kvadratu Pearsonov-og koeficijenta korelacije Za usporedbu dvaju modela s različitim brojem parametara koristi se prilagođeni koeficijent determinacije gdje je n broj uzoraka a p je broj parametara u modelu

30. Fisherov omjer (test) Statistički se testira omjer varijanci modela i eksperimentalnih podataka Raspodjela gustoće vjerojatnost Fisherove slučajne veličine definirana je stupnjevima slobode varijanci u brojniku i nazivniku. Posebno je važno pri testiranju modela odrediti značajnost omjera varijanci analitičke greške iz pokusa ponavljanja i varijance pogreške modela

31. „Cross validation” Postupak procjene prediktivnosti modela kada nije na raspolaganju nezavisan set podataka za validaciju. Validacija se provodi eliminiranjem jednog po jednog uzorka iz skupa za modeliranje i uzastopno se ponavljanja određivanje parametara modela i analiza pogreške predikcije. Rezultati analize trebaju ukazati da li je model robustan na izostanak pojedinih uzorka i da li postoji dominant uzorak koji bitno utječe na model.

32. izlazni fluksf f ulazni fluksf f z normala na površinu S normala na površinu S n V n f izlazni fluksf f f izlazni fluksf ulazni fluksf y f S f f izlazni fluksf ulazni fluksf x Modeli osnovnih bilanci Osnovne bilance su: bilance tvari, energije i količine gibanja Bilance se postavljaju za dio trodimenzionalnog prostora (x,y,z) omeđenog površinom S i obujma V. Površina je orijentirana tako da je u svakoj točci na površini definiran jedinična normala n.

33. U promatrani dio prostora iz okoline se prenose tvari, energija i količina gibanja ulaznim tokovima (fluksovima fA) i iz promatranog prostora u okolinu se izlaznim tokovima (fluksovima f) prenose tvari, eneregija i količina gibanja. izlazni fluksf f ulazni fluksf f z normala na površinu S normala na površinu S n V n f izlazni fluksf f f izlazni fluksf ulazni fluksf y f S f f izlazni fluksf ulazni fluksf x Oznakom A je označena veličina stanja (količina tvari, energija i količina gibanja) čija bilanca je određena ulaznim i izlaznim tokovima i promjenama zbog kemijske ili biokemijske transformacije.

34. promjena akumulacije A ulazno/izlazni tokovi A (bio) kemijska pretvorba A Integralni (odnosi se na cjelokupni promatrani volumen) opći oblik bilance je Primijenimo Green-ov teorem kojim se površinski integral zamjenjuje volumnim „nabla“ operator

35. Primjenom Green-ovog teorema dobije se opći diferencijalni oblik bilance stanja A gdje je vektor položaja točaka unutar promatranog volumena a vrijeme je t Značajke bilance: • parcijalna diferencijalna jednadžba • raspodijeljene veličine stanja A u promatranom prostoru • nestacionarna bilanca • nelinearna (najčešća nelinearnost je kinetika brzine (bio)/kemijske transformacije • potrebno je zadati početne uvjete stanja A po obujmu V • potrebno je zadati rubne uvjete na površini S • rješavanje je numeričkim postupkom primjenom računala

36. početni uvjet određuje stanje u promatranom sustavu u trenutku t = 0 Rubni uvjeti imaju tri osnovna oblika: 1) kontinuitet veličine stanja A na plohi S između promatranog sustava i okoline (von Neumanov rubni uvjet) Stanje A u promatranom sustavu na površini S jednako je stanju AS u okolini na graničnoj plohi S

37. 2) kontinuitet gradijenta na graničnoj plohi (Dirichletov rubni uvjet) 3) kontinuitet fluksa (Danckwerts-ov rubni uvjet)

38. Pojedinačne bilance Bilanca kapljevine ili plina ρ je gustoća kapljevine, ρ= ρ(T), ili plina ρ= ρ(T,p) Bilanca tvari za A za primjer (bio)kemijskog reaktora Laplace-ov operator

39. Bilanca količine gibanja (Navier-Stokes-ova jednadžba protjecanja plina i kapljevine)

40. Biološki proces razgradnje A ulazni tok A izlazni tok A A + X X + P Primjeri modela biološke razgradnje otpadne tvari A je otpadna tvar (“polutant”) X je biomasa (mješovita mikrobna zajednica) “mixed culture” P je produkt biološke razgradnje

41. Model s usredotočenim veličinama stanja xul A + X X+ P x O2 Stehiometrijska bilanca Algebarska stehiometrijska bilanca

42. Kinetika procesa Pretpostavke: Michaelis-Menten + Monod Veličine stanja: A, O2 , X, h (razina) Parametri modela Fizikalni: protok q, površina presjeka S, ulazna koncentracija Au,topivost kisika O2* , Volumni koeficijent prijenosa kisika kla Biološki: vmax, KA, KO2

43. Bilanca kapljevine Bilanca polutanta Bilanca biomase Bilanca otopljenog kisika Bilanca produkta

44. Početni uvjeti Simulacija dinamike procesa: Berkeley Madonna software (vježbe) Diskusija: monitoring procesa, upravljanje procesa

45. obrađena voda otpadna voda VN V1 V2 Vi Sul Sizl aeracija O2 Model s raspodijeljenim veličinama stanja Bazen za biološku obradu otpadne (komunalne) vode Model cijevnog reaktora

46. BioWin Simulator jedno-stupnjevitog procesa Influent: ulazni tok sirove (neobrađene) vode Primarni clarifier: primarni taložnik Primary sludge: primarni (ulazni) mulj Aero basin: bioreaktor s aktivnim muljem Ideal clarifier: taložnik-separator aktivnog mulja WAS: (wasted active sludge) otpadni aktivni mulj Effluent: obrađena (izlazna) voda

47. Kontinuirane nestacionarne bilance Bilanca za polutant S Bilanca za biomasu X Bilanca za kisik

48. Početni uvjeti Ulazni rubni uvjeti Iz povratnog toka Izlazni rubni uvjeti

49. Model s diskretnom raspodjelom stanja Biološka razgradnja i+1 i i-1 i-ti odjeljak Vi O2 Ulazni tokovi u odjeljak i Izlazni tokovi u odjeljak i

50. Diskretne bilance kao sustav običnih diferencijalnih jednadžbi ODE Bilanca polutanta u i-tom odjeljku Bilanca biomase u i-tom odjeljku Bilanca kisika u i-tom odjeljku Početni uvjeti Računalni software: