Optika

1. Optika Minule: mechanické vlny, příkladem je zvuk Dnes: světlo…také vlny (na konci semestru zjistíme, že elektromagnetické) Když jsou obojí vlny, tak proč doma slyšíme za roh, ale nevidíme? Vlnové délky: Zvuk…řádově metry Přesněji: pro komorní a je Světlo…řádově mikrometry (přesněji, viditelná oblast asi 0,4-0,7 m) Rozměry v bytě: řádově metry -srovnatelné s vlnovou délkou zvuku -podstatně (milionkrát) větší než vlnová délka světla  výrazně jiné chovánízvuku a světla

2. Dvojí popis vln Geometrická optika: Pokud je vlnová délka podstatně menší než rozměry prostředí, v němž se pohybuje Fermatův princip Vlnová optika: Pokud jsou srovnatelné Huygensův princip Toto platí pro vlny jakéhokoliv typu: zvuk, světlo, vlny na vodě, kvantové vlny,… ale většinou budeme mluvit o světle. Probereme oba popisy

3. Geometrická optika Světlo se šíří po přímkách…proto nejde v bytě za roh Přesněji: šíří se po drahách, po kterých mu to zabere nejméně času. …Fermatův princip Těmto drahám říkáme paprsky. Z Fermatova principu plyne: ● Odraz od rovinného zrcadla ● Lom na rovinném rozhraní ● Optická mohutnost zakřivených zrcadel a rozhraní ● Fungování optických přístrojů Tomu všemu se teď budeme postupně věnovat.

4. Odraz od rovinného zrcadla V kterém bodě zrcadla se má odrazit světlo pro minimální dobu cesty? Nejlépe vidět geometricky: Dráha z bodu A do bodu B přes bod na zrcadle je stejná jako do symetrického bodu C Doba je minimální pro bod odrazu na úsečce AC, tj. bod Q Odtud plyne, že ● oba paprsky leží v jedné rovině kolmé k zrcadlu ● úhel odrazu je roven úhlu dopadu

5. Prostředí 1 Prostředí 2 Lom na rovinném rozhraní dvou prostředí Jelikož rozhodující je doba cesty, potřebujeme znát pro každé prostředí jedinou charakteristiku: jak rychle se v něm světlo pohybuje. Tu vyjádříme pomocí indexu lomu: rychlostsvětla v prostředí = c/n, kde c je rychlost světla ve vakuu a n je index lomu Hodnoty indexu lomu: Dvě prostředí  dvě hodnoty indexu lomu

6. A 1 h1 n1 h2tg2 n2 h1tg1 h2 B 2 l Paprsek z bodu A do bodu B přes rozhraní mezi prostředími s indexy lomu n1 a n2: Hledáme takové hodnoty úhlů 1, 2, aby byla minimální hodnota výrazu Pro zjednodušení pravé strany vynásobíme c: Podmínka svazující oba úhly:

7. Lagrangeův multiplikátor : Funkce ct s dodatečnou podmínkou l=konst. má minimum v bodě, v němž je stacionární funkce ct -  l pro vhodnou hodnotu . To znamená, že ct -  l se nemění při malé změně úhlů: Aby d( ct -  l)=0, musí platit -Snellův zákon lomu (plus hodnota Lagrangeova multiplikátoru)

8. Optická mohutnost Rovinná zrcadla a rozhraní: mezi každými dvěma body prochází vždy jen jeden paprsek. Zakřivená zrcadla a rozhraní: mezi dvěma body může procházet více paprsků. Užití: optický obraz předmětu Jak moc se paprsky soustřeďují do jednoho místa určuje optická mohutnost. Jednotka optické mohutnosti = dioptrie = 1/m  optická mohutnost je 1/délka. Tou délkou je ohnisková vzdálenost f, kterou budeme podrobněji studovat dále. Zjistíme, že optická mohutnost může být kladná, záporná i nulová. Nulová je pro rovinná zrcadla a rozhraní, takže pro ně je f nekonečná.

9. c a b Paprsky můžeme určit ze zákonů odrazu a lomu nebo přímo z Fermatova principu: Pokud se světlo mezi dvěma body pohybuje po více než jednom paprsku, musí být doba cesty po každém z nich minimální. Proto se tyto doby musejí rovnat. V dalším budeme vždy předpokládat, že se paprsky od přímého směru, tj. směru optické osy, odklánějí jen málo. (Na obrázcích budou úhly velké pro názornost.) Proto jediné, co potřebujeme vědět: Pro pravoúhlý trojúhelník, v němž je jedna odvěsna výrazně kratší než druhá, jak velký je malý rozdíl mezi přeponou a delší odvěsnou, tj. c-b? Vyjdeme z Pythagorovy věty: Tedy c-b budeme přibližně nahrazovat výrazem nebo Dlouhá odvěsna bude ve směru optické osy a krátká bude kolmá na optickou osu.

10. Kulové zrcadlo: optická osa B r P S Q A V q p Předmět P ve vzdálenosti p, obraz Q ve vzdálenosti q, střed plochy S, poloměr r. Od rovinného zrcadla by se paprsek mezi P a Q odrazil v bodě A. Paprskům odraženým od kulového zrcadla bude cesta trvat déle (AB je malá odvěsna všech uvažovaných pravoúhlých trojúhelníků, ale vzdálenost bodu B od optické osy je na obrázku zveličena): ● přes bod V déle o ● přes bod B déle o Porovnání: Zobrazovací rovnice

11. r F S V Zobrazovací rovnici přepíšeme do tvaru kde f f je už zmíněná ohnisková vzdálenost, tj. vzdálenost od zrcadla k ohnisku F Význam F: kam se zobrazí předmět z nekonečna, nebo odkud se naopak zobrazí předmět do nekonečna: Významné paprsky: ● rovnoběžný s osou se odráží do ohniska F ● procházející ohniskem se odráží na rovnoběžný s osou ● ve středu V se odráží symetricky podle osy

12. h r Q F S V h´ P q p Významné paprsky použijeme pro konstrukci obrazu bodu mimo optickou osu: Proto pokud má předmět nenulovou výšku, má nenulovou výšku i obraz. Zvětšení: Znaménko „-“ protože je převrácený.

13. r S V F q<0 p>0 Pokud p <f, pak ze zobrazovací rovnice vychází q <0. Co to znamená? Obraz je zdánlivý, nepřevrácený, zvětšený, ale zobrazovacírovnice pořád platí. Pro 1/f = 0 (rovinné zrcadlo) dostáváme tedy p = -q a M = 1, jak bychom čekali pro rovinné zrcadlo.

14. Pro vypouklé zrcadlo zobrazovací rovnice platí s f<0. Obraz je vždy zdánlivý a vždy zmenšený. Zato je ale větší úhel pohledu.  užití v dopravě a proti zlodějům v obchodě

15. B r P V A S Q p q n1 n2 Kulová plocha lámavá: Předmět P ve vzdálenosti p, obraz Q ve vzdálenosti q, střed plochy S mezi prostředími 1 a 2, poloměr r. Kvůli křivosti plochy se prodlouží čas oproti cestě do A v prostředí 1 a od A v prostředí 2 ● přes bod V: ● přes bod B: Porovnání:

16. n1 r2 r1 n2 P S2 S1 Q X x p q 2 kulové plochy = čočka. Materiály o indexu lomu n1,n2. Středy S1, S2, poloměry r1,r2 Rozhraní: prostředí 1  prostředí 2 prostředí 2  prostředí 1 X = skutečný obraz, který by byl vytvořený první plochou ve vzdálenosti x. Stane se ale zdánlivým předmětem pro druhou plochou  obrácené znaménko u n/x Sečtení rovnic a vydělení n1: kde n  n2/n1 je relativní index lomu prostředí 2 vůči prostředí 1. Typicky n1=1 (vzduch), n2=n.

17. Tedy zobrazovací rovnice má tvar jako u zrcadla. Tentokrát Různé možnosti: Spojka (f >0, typicky r1 >0,r2<0) vytváří skutečný nebo zdánlivý obraz Rozptylka (f <0, typicky r1 <0,r2>0) vytváří jen zdánlivý obraz Pozoruhodné je, že pro všechny tyto případy platí pořád stejná zobrazovací rovnice a stejný vztah pro zvětšení Významné paprsky se chovají jako u zrcadla.

18. Využití v optických přístrojích: • Oko (fotoaparát, kamera) • Brýle • Lupa • Mikroskop • Teleskop

19. Oko ● skutečný, převrácený obraz na sítnici: ● obraz se vytvoří na vzdálenosti necelé 2cm optická mohutnost oka je více než 50 dioptrií! ● lom hlavně na rohovce, doladění čočkou…obrazová vzdálenost pevná, musí se měnit ohnisková vzdálenost ● fotoaparát, kamera: stejný princip, místo sítnice film nebo chip Oko je schopno zaostřit na předmět ve vzdálenosti mezi tzv. blízkým bodem a tzv. dalekým bodem. Pro zdravé oko je blízký bod ve vzdálenosti asi 25cm a daleký bod je v nekonečnu. Když oko špatně zaostřuje, potřebujeme brýle.

20. Krátkozrakost: daleký bod je v konečné vzdálenosti. Důvod: čočka zůstává zakulacená, tj. zaostřená na blízko  obraz předmětů vzdálenějších než daleký bod vzniká před sítnicí Spraví se rozptylkou (brýle na dálku)

21. Dalekozrakost: blízký bod je dál než 25cm Důvod: čočka zůstává sploštělá, tj. zaostřená na dálku  obraz blízkých předmětů za sítnicí Spraví se spojkou (brýle na čtení)

22. Lupa Zvětší úhel pozorování tím, že umožní umístit předmět blíž, než je blízký bod. V blízkém bodě vzdáleném 25cm vidíme předmět velikosti h pod úhlem h/25cm. Nejpohodlněji se nám pozoruje obraz v dalekém bodě. Pokud je daleký bod v nekonečnu, lupa do něj zobrazí předmět v ohnisku. Pak obraz vidíme pod úhlem h/f Úhlové zvětšení = 25cm/f Příklad: lupa s ohniskovou vzdáleností 5cm  úhlové zvětšení 25/5 = 5krát To je zhruba maximum s jednou čočkou bez výrazného zkreslení. S více čočkami možno až 30krát.

23. 13 Mikroskop: zvětšení ve dvou krocích Nejprve vytvoříme zvětšený obraz objektivem s ohniskovou vzdáleností fo a pak se na něj díváme lupou (okulárem = eyepiece) s ohniskovou vzdáleností fe Příklad: L=23cm, fo=0,4cm, fe=2,5cm. Pod jakým úhlem uvidíme vlas tloušťky t=0,1mm? Tloušťka vlasu v obrazu I1(bez znaménka „-“): Obraz I1 uvidíme pod úhlem

24. Teleskop Princip: Tentokrát objektiv a okulár mají společné ohnisko. Objektiv do něj promítne obraz předmětu v nekonečnu. Okulár ten obraz zobrazí zpátky do nekonečna, ale pod větším úhlem. Různé způsoby provedení tohoto principu: Galileo: objektiv = spojka, okulár = rozptylka (divadelní kukátko) Kepler: objektiv = spojka, okulár = spojka —větší zvětšení, ale převrácený obraz Newton: objektiv = zrcadlo, okulár = spojka Úhlové zvětšení ve všech případech =

25. 5.6 Srovnání požadavků na ohniskové vzdálenosti u mikroskopu a teleskopu: ● fe co nejmenší u obou ● fo co nejmenší u mikroskopu a co největší u teleskopu Příklad: úhlová velikost  Marsu (průměr d = 6,8 tisíc km) ve vzdálenosti L=56 milionů km při pohledu Yerkesovým teleskopem (fo=20m, fe=2,5cm). Yerkesův teleskop je více než 100 let starý, ale stále je to čočkový teleskop s největším průměrem na světě: 1m Úhlová velikost bez teleskopu Úhlové zvětšení

26. Vlnová optika Když je vlnová délka  srovnatelná s rozměry prostředí Nejjednodušší situace, v níž se projeví vlnové vlastnosti: stínítko a v něm 2 štěrbiny rozměru asi vlnové délky vzdálené několik vlnových délek Pro názornost vlny na vodě: Nestane se tohle,… …ale tohle, tj. difrakce = změna směru šíření.

27. Bližší pohled navíc ukáže… …proměnnou intenzitu. Příčinou je interference, viz minulá přednáška. Proto jsme potřebovali aspoň 2 štěrbiny. Konstruktivní interference  maxima Destruktivní interference  minima

28. Toto chování plyne z Huygensova principu: Každý bod, kam dospělo vlnění, se stává zdrojem. Výsledná vlna je součet malých vln od všech těchto zdrojů. Nejprve ukážeme, že z Huygensova principu plyne geometrická optika: Rovinná vlna = bez překážek pokračuje jako rovinná vlna, tj. šíří se v přímém směru, jak víme z geometrické optiky

29. Ale pro stínítko se 2 štěrbinami v cestě… …Huygensův princip dá difrakci (původně rovinná vlna se začne šířit všemi směry) --a následnou interferenci Zda je interference v daném směru konstruktivní (X,Z) nebo destruktivní (Y) nebo něco mezi, určuje fázový posun (viz minule) mezi vlnami z obou štěrbin v daném směru. Vidíme, že fázový posun je důležitý, když skládáme dvě nebo více vln. Fázový posun je dán rozdílem drah světla od obou štěrbin.

30. Zjednodušení pro L,L’>>d:obě dráhy jsou téměř rovnoběžné Tehdy pro rozdíl drah platí: Podmínka pro maximum…celý násobek vlnové délky  Podmínka pro minimum…lichý násobek poloviny  Intenzita osciluje mezi minimem a maximem:

31. Mřížka: pravidelné uspořádání štěrbin Kvalitativně jako dvojštěrbina, ale užší maxima a širší minima Podmínka pro maxima zůstává stejná: Číslo n se nazývá řád maxima. Nultý řád je dán geometrickou optikou. Proto nezávisí na vlnové délce. Poloha maxim jiného řádu na ní závisí.

32. 26 14.5 0 Příklad: drážky na CD také tvoří mřížku Místo průchodu na minulé stránce máme odraz. Maxima prvního řádu v obou duhách. Pro úhel  mezi maximem nultého řádu (bílým geometrickým odrazem uprostřed) a maximem prvního řádu pro danou vlnovou délku  platí: Vzdálenost drážek na CD je 1,6m, takže ● pro fialové světlo (=0,4m) ● pro červené světlo (=0,7m) Někdy naopak známe makroskopické veličiny, jako je , a počítáme mikroskopické veličiny, jako je d nebo .

33. Použití: struktura krystalů Princip: pravidelně uspořádané atomy v krystalu tvoří mřížku, na níž dochází k difrakci světla a následné interferenci. Ovšem vzdálenost mezi atomy je řádu 0,1-1nm, což je asi 1000krát menší než vlnová délka viditelného světla  nutno použít Roentgenovo záření (x-rays). Záření rozptýleno jen do určitých směrů Mikroskopický pohled na sousední roviny atomů: Podmínka pro konstruktivní interferenci: Podobná podmínka je pro barvy na olejové skvrně na vodě.

34. Asi nejdůležitější případ: DNA Photo 51 Rosalind Franklin (1952) Difrakce laseru ukazovátka na vlákně žárovky Šroubovice jsou dvě mřížky nakloněné vůči sobě  difrakční obrazec tvaru X Díky fotografii 51 víme, že DNA je šroubovice.

35. Další použití: holografie Záznam: Interference odraženého a referenčního svazku světla vytvoří na filmu difrakční mřížku Rekonstrukce: Difrakce rekonstrukčního svazku na mřížce vytvoří původní svazek Schematicky: Ve skutečnosti: Není poznat, co to je.

36. Polarizace světla Na konci semestru se dozvíme, že světlo jako elektromagnetická vlna vypadá takto: Většinou je ale nepolarizované…různé směry E i B

37. Jsou různé metody jak vybrat jeden směr, např. polarizační filtr Přesvědčíme se o tom použitím dvou filtrů. Výsledná intenzita pak záleží na vzájemné orientaci obou filtrů:

38. Polarizované světlo ukáže, zda materiál je opticky aktivní, tj. zda se stáčí směr polarizace světla při průchodu materiálem. Optická aktivita některých plastů a skel závisí na mechanickém napětí …používá se v analýzách konstrukcí:

39. Dnes: světlo je elektromagnetická vlna…výrok bez zdůvodnění Příště začneme elektřinu a magnetismus. Až pochopíme, jak fungují, poznáme, že dají vznik vlnám a že těmi je světlo.