UVOD U TEORIJU REDOVA I SIMULACIJU

1. UVOD U TEORIJU REDOVA I SIMULACIJU Predavanje br. 7 7-10. nedelja Prof. dr Dragan Domazet 24.4.2009. do 44. slajda 15.5.2009 Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

2. Sadržaj • Uvod • Sistemi čekanja, osnovni procesi čekanja i strategije čekanja • Osnovni proces čekanja • Strategije za umanjenje efekata dugih redova čekanja • Analitički modeli čekanja • Eksponencijalna distribucija • Revidiran Litlov zakon • Procesi rađanja u smrti • M/M/1 model • M/M/c model • M/M/c/K model • M/M/c/∞/N model • Teorija čekanja i projektovanje procesa • Uvod u simulaciju • Modeli simulacije • Simulacija diskretnih događaja • Simulacija procesa sa jednim serverom pomoću Excel-a Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

3. Sadržaj • Uvod • Sistemi čekanja, osnovni procesi čekanja i strategije čekanja • Osnovni proces čekanja • Strategije za umanjenje efekata dugih redova čekanja • Analitički modeli čekanja • Eksponencijalna distribucija • Revidiran Litlov zakon • Procesi rađanja u smrti • M/M/1 model • M/M/c model • M/M/c/K model • M/M/c/∞/N model • Teorija čekanja i projektovanje procesa • Uvod u simulaciju • Modeli simulacije • Simulacija diskretnih događaja • Simulacija procesa sa jednim serverom pomoću Excel-a Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

4. Uvod • Modeli procesa podrazumevaju da su vremena početka aktivnosti i njihova trajanja konstante • U stvarnosti to nije tako – element promenljivosti uvek postoji • Primer: zadržavanje na kasama u supermarketu • Kod veće promenljivosti, deterministički modeli nisu dovoljni • Varijabilnost procesa je najvažnija karakteristika procesa koja se treba utvrditi Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

5. Stohastički modeli • Modeli sa ugrađenim elementima varijalbilnosti i slučajnošću • Šta se prati? • Vreme čekanja • Dužina reda čekanja • Nivo usluge • Vreme čekanja nije ulazni parametar, već zavisi od vremena trajanja aktivnosti i tražnjom te aktivnosti • Cilj: eliminacija nepotrebnog vremena čekanja Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

6. Modeli redova čekanja • Analitički model redova čekanja • Matematička teorija čekanja (queuing theory) • Kada je moguće primena, dobri su za određivanje performansi • Nedostatak: uslovi ograničavaju strukturu procesa i predstavljanje promenljivosti u modelu • Simulacioni modeli redova čekanja • Eksperimentalni po prirodi i bazirani na primeni računara • Fleksibilni za primenu, ali zahtevaju više vremena i računar, statističku analizu ulaznih i izlaznih podataka Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

7. Zašto je promenljivost parametara procesa važna? • Problem planiranja kapaciteta: • Sa operacionog stanovišta, najveći problem promenljivosti je u neuravnoteženoj upotrebi resursa tokom vremena. • Red čekanja • raste kada tražnja za uslugom prevazilazi kapacitet provajdera usluge • pada kada kapacitet prevazilazi tražnju • Teškoće sa oscilacijama tražnje • Redovi ljudi, dokumenata, proizvoda, informacija • Industrija usluga: redovi ljudi - nezadovoljstvo Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

8. Zašto je promenljivost parametara procesa važna? • Sa ekonomskog stanovišta, problem je uravnotežiti kapacitet i troškove vezane za duge redove čekanja • Mali kapacitet (štednja) – dugi red (trošak, odlazak i gubitak kupaca), i suprotno • Troškovi čekanja (dugih redova): • Socijalni troškovi (pr. bolnica) • Gubitak kupaca – odlaze nezadovoljni čekanjem • Troškovi popusta, zbog kasnije isporuke • Trošak gubitka dobre volje i loše reputacije • Trošak nerada zaposlenih kad čekaju prethodnu aktivnost da završi Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

9. Koji je optimalni kapacitet? Trošak Ukupni trošak • Odrediti zakašnjenje u određivanju kapaciteta • Zakašnjenje treba preslikati u novac, radi upoređenja sa troškom obezbeđivanja kapaciteta Trošak usluge Trošak čekanja Kapacitet procesa (broj usluga u jedinici vremena) Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

10. Sadržaj • Uvod • Sistemi čekanja, osnovni procesi čekanja i strategije čekanja • Osnovni proces čekanja • Strategije za umanjenje efekata dugih redova čekanja • Analitički modeli čekanja • Eksponencijalna distribucija • Revidiran Litlov zakon • Procesi rađanja u smrti • M/M/1 model • M/M/c model • M/M/c/K model • M/M/c/∞/N model • Teorija čekanja i projektovanje procesa • Uvod u simulaciju • Modeli simulacije • Simulacija diskretnih događaja • Simulacija procesa sa jednim serverom pomoću Excel-a Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

11. Sistemi čekanja • Sistemi čekanja (queuing systems) su svuda oko nas • U bankama, samouslugama, pošti, restoranu... • Mehanizam usluge čini: • Server: koji pruža uslugu • Red čekanja kupaca ili poslova koji čeka na uslugu • Proces čekanja: opisuje operacije sistema čekanja • Poslovni proces: mreža procesa čekanja ili elementarnih sistema čekanja • Komercijalni, transportni, unutrašnji i socijalni uslužni sistemi. Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

12. Komercijalni uslužni sistemi • Komercijalni uslužni sistemi: • Poslovna organizacija uslužuje spoljne kupce • Kupac sa zaposlenim, ili sa mašinom • Obično kupac dobija usluga na određenoj lokaciji • Kod zubara, u banci, kasa u samousluzi, • Može i server da ode kod kupca • Vodoinstalater, električar,.... Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

13. Sistemi transportnih usluga • Vozila su ili klijenti ili serveri • Klijenti: plaćanje putarine, raskrsnice, punjenje broda, avioni čekaju na dozvolu poletanja, .... • Serveri: taxi vozila, vatrogasna vozila, autobusi, liftovi, vozovi, avioni,.... Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

14. Uslužni sistem unutrašnjeg poslovanja • Korisnik usluge je iz same organizacije koja pruža usluga (“unutrašnji kupac”) • Merni pultovi, kranovi, radnik održavanja, odeljenja za pružanje unutrašnjih usluga (korisnicima računara, popravka uređaja, alatna mašina u proizvodnji, računarski server... Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

15. Socijalnu uslužni sistemi • Primeri: • Sudski procesi: sudija je server, a slučajevi su klijenti • Soba za hitne slučajeve u bolnicama: • Kućni lekar • Liste čekanja za transplantaciju ljudskih organa Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

16. Sadržaj • Uvod • Sistemi čekanja, osnovni procesi čekanja i strategije čekanja • Osnovni proces čekanja • Strategije za umanjenje efekata dugih redova čekanja • Analitički modeli čekanja • Eksponencijalna distribucija • Revidiran Litlov zakon • Procesi rađanja u smrti • M/M/1 model • M/M/c model • M/M/c/K model • M/M/c/∞/N model • Teorija čekanja i projektovanje procesa • Uvod u simulaciju • Modeli simulacije • Simulacija diskretnih događaja • Simulacija procesa sa jednim serverom pomoću Excel-a Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

17. Osnovni proces čekanja • Prikazuje kako kupci dolaze i kako su usluženi u sistemu čekanja • Opisuje operacije sistema čekanja • Glavni elementi osnovnog procesa: • Populacija tražioca usluge - formira jedan ili više redova • Proces pristizanja- brzina dolaženja kupaca • Konfiguracija reda - • Disciplina čekanja – pravila izbora sledećeg posla ili kupca • Mehanizam usluge – mreža stanica za usluživanje • Zahtevaju jedan ili više resursa (servera) za izvršenje aktivnosti Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

18. Osnovni procesi čekanja i sistem čekanja Poslovi ili kupci bez budućih potreba za procesom • Poslovni proces se može predstaviti kao mreža osnovnih procesa čekanja (ili sistema čekanja) Sistem čekanja Proces pristizanja Disciplina čekanja • Mehanizam usluge • Serveri • Proces usluživanja • Red • Konfiguracija reda Populacija tražioca usluge Odustali Napustili red Poslovi ili kupci sa potencijalnim budućim potrebama za procesom Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

19. Populacija tražioca usluga • Homogena populacija • Sadrži samo jednu vrstu posla • Heterogena populacija • Sadrži različite vreste poslova • Beskonačna i konačna populacija • Praktično je beskonačna ako je populacija toliko velika da proces pristizanja ne zavisi od veličine reda čekanja (klijenti jedne filijale banke) • Kod konačne populacije, proces pristizanja zavisi od reda čekanja (remont vozila autobuskog preduzeća) Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

20. Proces pristizanja • Proces pristizanja: vremenska i prostorna distribucija zahteva za sistemom čekanja • Tok kretanja pojedinih tipova posla u poslovnom procesu određuje frekvenciju izvršenja aktivnosti i potrebu za resursima • Distribucija vremena između pristizanja poslova ili kupaca • Raspodela verovatnoće vremenskog intervala između sukcesivnih pristizanja • Podaci se dobijaju merenjem i statističkom analizom Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

21. Konfiguracija reda čekanja • Konfiguracija reda čekanja: • Broj redova • Njihove lokacije • Njihovi prostorni zahtevi • Njihov efekat na ponašanje kupaca • Konfiguracije redova čekanja sa • Sa jednom linijom čekanja • Sa više linija čekanja Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

22. Alternativne konfiguracije reda čekanja Serveri Serveri Konfiguracija sa više linija Konfiguracija sa jednom linijom Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

23. Prednosti konfiguracije sa više linija • Usluge mogu da budu razvrstane po linijama • Ekspres kasa u samouslugama (za malo artikla) • Specijalizacija rada je moguća • Kupci imaju veću fleksibilnost • Npr. birate kasu sa lepšom kasiricom! • Manje je odustajanja od ulaska u red • Ima se utisak da red nije tako dugačak Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

24. Prednosti konfiguracije sa jednom linijom • Garantuje se fer čekanje jer je usluživanje striktno po redosledu dolaska u red • Nema nedoumice da li je izabrana najbrža linija čekanja • Ima samo jedan ulaz u red, te je teže da kupac napusti red • Obezbeđena je privatnost, jer se transakcija obavlja bez ikoga iza kupca • Veća efikasnost u smanjenju prosečnog vremena čekanja • Nema prelaženja iz reda u red Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

25. Disciplina čekanja • Disciplina čekanja: • Pravila izbora sledećeg posla/kupca za usluživanje • Najčešća strategija: • FIFO – služenje po redosledu pristizanja ili • FCFS – služi se prvi ko stigne • SPT - Prvo se izvršavaju poslovi koji se najbrže rade • LIFO – prvo se uslužuje poslednji • LPT – prvo se izvršavaju poslovi koji najduže traju • Izbor prema kriterijumima prioriteta • Pri dolasku posla/kupca sa većim prioritetom, tekući posao/kupac se može vratiti u red, da bi ustupio mesto poslu/kupcu sa većim prioritetom. • Primer: soba za urgentne slučajeve Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

26. Mehanizam usluživanja • Mehanizam usluživanja čini jedan ili više mesto za usluživanje sa jednim ili paralelnim kanalom usluživanja, tj. servera • Uslugu može pružati jedno ili više mesta usluživanja • Model čekanja specificira: • tačan broj mesta usluživanja, • broj servera u svakom mestu usluživanja, i • mogući redosled mesta usluživanja kroz koje posao mora da prođe pre napuštanja sistema čekanja Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

27. Mehanizam usluživanja • Vreme usluživanja: • Vreme provedeno u mestu usluživanja, srednje vreme u određenom serveru • Proces usluživanja karakteriše raspodela verovatnoće vremena usluživanja na nekom serveru • Najčešće zavisno od vrste posla i kupca • Pretpostavka je da paralelni serveri imaju istu distribuciju vremena usluživanja Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

28. Sadržaj • Uvod • Sistemi čekanja, osnovni procesi čekanja i strategije čekanja • Osnovni proces čekanja • Strategije za umanjenje efekata dugih redova čekanja • Analitički modeli čekanja • Eksponencijalna distribucija • Revidiran Litlov zakon • Procesi rađanja u smrti • M/M/1 model • M/M/c model • M/M/c/K model • M/M/c/∞/N model • Teorija čekanja i projektovanje procesa • Uvod u simulaciju • Modeli simulacije • Simulacija diskretnih događaja • Simulacija procesa sa jednim serverom pomoću Excel-a Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

29. Strategije za umanjenje efekta dugih redova čekanja • Ponekad, redovi su neizbežni • pr.: jutarnja kupovina karata za skijanje • Kako umanjiti negativne ekonomske efekte dugih redova čekanja? • Uobičajene strategije: • Upotreba kupca kao resurs • Stvoriti komforne uslove čekanja • Usmeriti pažnju kupca na nešto • Dati objašnjenje za čekanje • Pružiti pesimističku prognozu za preostalo vreme čekanja • Biti fer i otvoren u vezi discipline čekanja Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

30. Strategije za umanjenje efekta dugih redova čekanja • Česta praksa: Prikriti postojanje reda od dolazećih kupaca • Smeštaj gostiju u bar, na ulazu u restorane • Kupac kao resurs: • Pacijent popunjava upitnik dok čeka kod lekara • Obezbeđenja komfora u čekaonici • Lepo dekorisana čekaonica sa novinama, TV • Usmeriti pažnju ljudi koji čekaju • Televizori na aerodromima • Dati pesimističku prognozu • Ako se čeka manje od predviđenog, ljudi su zadovoljni • Biti fer i otvoren u disciplini čekanja • Puštanje preko reda iritira ljude Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

31. Sadržaj • Uvod • Sistemi čekanja, osnovni procesi čekanja i strategije čekanja • Osnovni proces čekanja • Strategije za umanjenje efekata dugih redova čekanja • Analitički modeli čekanja • Eksponencijalna distribucija • Revidiran Litlov zakon • Procesi rađanja u smrti • M/M/1 model • M/M/c model • M/M/c/K model • M/M/c/∞/N model • Teorija čekanja i projektovanje procesa • Uvod u simulaciju • Modeli simulacije • Simulacija diskretnih događaja • Simulacija procesa sa jednim serverom pomoću Excel-a Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

32. Analitički modeli čekanja • Teorija čekanja (Queuing theory) = Matematička analiza redova čekanja • Karakteristike rada sistema čekanja karakterišu raspodele: • međuvremena (vremena između dva dolska novih kupaca) i • vremena usluživanja • Stohastički sistemi rade sa raspodelama umesto sa srednjim vrednostima (kod determinističkih sistema) • Matematički izražena kriva distribucije mora biti: • Realistička, tj. da odgovara stvarnim uslovima rada • Dovoljno jednostavna da omogućava matematički model prihvatljiv za rad • Eksponencijalna funkcija raspodele međuvremena i vremena usluživanja Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

33. Specijalizovani modeli čekanja • Sistem klasifikacije model čekanja: • Za modele sa jednom mestom čekanja sa paralelnim i identičnim serverima, sa jednim redom čekanja i sa FIFO disciplinom čekanja • A1/A2/A3/A4/A5 • A1, A2 – raspodele verovatnoće međuvremena i vremena usluživanja • M - Markovian – eksponencijalne raspodele • D – Determinističan – vremena su deterministička i konstantna • G – Opšta = vremena mogu da slede bilo koju raspodelu. • A3 - broj paralelnih servera • A4 - maksimalno dozvoljeni broj preuzimanja istovremenih poslova • A5 – Veličina populacije tražioca usluga • Primer: M/M/c = model čekanja sa c paralelnih servera, a vremena slede eksponencijalnu krivu distribucije • Primer: M/M/c/K = model ograničen brojem kupaca • K – maksimalni broj servera u paralelnom radu. • Primer: M/M/c/∞/N = poziv konačne populacije sa N poslova Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

34. Usvojene pretpostavke za ovo predavanje • Eksponencijalna raspodela međuvremena i vremena usluživanja • Svi modeli imaju jedno mesto usluživanja (single service facility) sa jednim ili više paralelnih servera • FIFO disciplina čekanja (redosled pristizanja = redosled usluživanja) Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

35. Sadržaj • Uvod • Sistemi čekanja, osnovni procesi čekanja i strategije čekanja • Osnovni proces čekanja • Strategije za umanjenje efekata dugih redova čekanja • Analitički modeli čekanja • Eksponencijalna raspoedela • Revidiran Litlov zakon • Procesi rađanja u smrti • M/M/1 model • M/M/c model • M/M/c/K model • M/M/c/∞/N model • Teorija čekanja i projektovanje procesa • Uvod u simulaciju • Modeli simulacije • Simulacija diskretnih događaja • Simulacija procesa sa jednim serverom pomoću Excel-a Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

36. Eksponencijalna raspodela • Ima centralnu ulogu u teoriji čekanja: • Mnogi stvarni sistemi imaju procese pristizanja i usluživanja koji se ponašaju po eksponencijalnoj raspodeli • Eksponencijalna raspodela ima matematička svojstva koja je čine da je laka za korišćenje Ovde se pretpostavlja znanje osnovnih elemenata matematičke statistike Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

37. fT(f) α E(T) = 1/ α Sredina t Kriva eksponencijalne raspodele • T – slučajna promenljiva • Međuvreme ili vreme usluživanja αe -αt za t >=0 0 za t < 0 • Kumulativna funkcija distribucije: fT(f) = Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

38. fT(f) α E(T) = 1/ α Sredina t Kumulativna funkcija raspodele • Srednja vrednost • Varijacija • Standardna devijacija Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

39. fT(f) α E(T) = 1/ α Sredina t Svojstvo 1: Funkcija raspodele stalno opada • Posledica: Eksponencijalna raspodela međuvremena ili vremena usluživanja najčešće ima male vrednosti • Ima 63,2% verovatnoće da će vremena biti manja ili jednaka srednjoj vrednosti E(T) • Kriva raspodele pokazuje da se javljaju velika vremena • Obuhvata duga vremena usluživanja ili međučekanja • Dobra za međuvremena • Nije uvek za vremena usluživanja • Vreme mašinske obrade je uvek isto • Dobra samo ako je potreban rad usluživanja različit od kupca do kupca Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

40. Svojstvo 2: Nedostatak memorije • Verovatnoća vremena do dolaska sledećeg kupca biće uvek ista • Nije važno koliko je vremena proteklo od posete sledećeg kupca • Matematički izraženo: P(T>t+δ│ T > δ) = P(T >t) = e-αt Za sve pozitivne vrednosti za t i δ • Važno svojstvo za praćenje modela čekanja • Posledica za vreme pristizanja: nezavisno od prethodnog kupca • Tačno za spoljne kupce iz velike populacije • Ne odgovara za unutrašnje procese gde poslovi dolaze po planu • Posledica za vreme usluživanja: vreme do završetka usluživanja je nezavisno od već utrošenog vremena usluživanja • Tačno za slučaj kada se vremena usluživanja međusobno dosta razlikuju • Nije dobro za slučaj kada su vremena usluživanja jednaka Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

41. Svojstvo 2: Nedostatak memorije • Još jedna implikacija: • Pretpostavimo da je T slučajna promenljiva (vreme) koja sledi eksponencijalnu raspodelu i da predstavlja međuvreme (vreme između dva događaja) • Vreme između dva dolaska kupaca • Bez obzira koje je vreme proteklo od poslednjeg događaja, verovatnoća javljanja novog događaja u vremenskom inkrementu δ je αδ • Važi za pozitivno t i male pozitivne vrednosti za δ Srednja brzina javljanja novih događaja Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

42. Svojstvo 3: Minimum nezavisnih eksponencijalnih slučajnih promenljivih je eksponencijalno raspoređeno • Pretpostavimo: • T1, T2, ....Tn – n nezavisnih slučajnih promenljivih sa parametrima α1, α2,... αn • Tmin = min(T1, T2, ....Tn ) • Sledi: • Interpretacija: • T1, T2, ....Tn - preostala vremena usluživanja na n paralelnih servera • Tmin – vreme preostalo do završetka prvog posla • Sistem čekanja sa više paralelnih servera ponaša se isto kao sistem sa jednim serverom i vremenom usluživanja Tmin Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

43. Svojstvo 3: Minimum nezavisnih eksponencijalnih slučajnih promenljivih je eksponencijalno raspoređeno • Ako su vremena Ti ista na svim serverima: T1=T2=...=Tn Imaju isti eksponent: μ = α1 = α2 = ......= αn Tmin = enμ • Kod međuvremena: • Ako su vremena Tn različita, tj, αi • Vreme među dva dolaska je Tmin ima • Primer: • vreme puštanja rampe je eksponencijalna slučajna promenljiva sa α1=0.5 • Vreme dolaska vozila na rampu je eksponencijalna slučajna promenljiva sa α2=1.0 • Posle spajanja, tok saobraćaja ima vreme između vozila sa eksponentom α = α1+α2 =1.5 Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

44. Poasonova raspodela • Primer: Prost sistem čekanja u banci • T – vreme između dolaska novih klijenata • λ – eksponent vremena T • Koliko klijenta će doći u intervalu t? • X(t) – Zbir klijenata koji je došao do vremena t (t≥0) • Ako se počne brojanje dolazaka klijenata od 0 vremena, onda X(t) je Poasanova distribucija sa sredinom: λt. • Verovatnoća dolazaka klijenata je: za n = 0,1, 2,... Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

45. Poasonov proces • Stohastički proces: • Skup slučajnih promenljivih koje se javljaju tokom vremena • Ako su • vremena dolazaka klijenata nezavisna • raspodeljeni istom krivom raspodele i • jesu eksponencijalne raspodele • Onda je to • Poasonov proces sa (X(t):t≥0) • Za svako t, X(t) ima Poasonovu raspodelu sa eksponentom λt (srednje vreme dolazaka u intervalima t) • Srednji broj dolazaka po jedinici vremena , tl srednja brzina dolazaka je λ. • Vreme između dva dolaska je 1/ λ. Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

46. Primer • Data su međuvremena (vremena između dva dolaska): 5 min • Proces dolaženja je Poasonov proces • Jedan dolazak se ostvaruje na svakih 5 min • Kumulativan broj dolazaka predstavlja Poasonov proces sa brzinom dolaska λ=1/5 poslova u minuti, ili 12 poslova na sat Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

47. Svojstva Poasonovih procesa • Spajanje ili razdvajanje Poasonovog procesa stvara nove Poasonove procese • Primer: • N različitih tipova/grupa klijenata • Svaka grupa dolazi po svojstvenom i nezavisnom Poasonovom procesu, sa brzinama dolazaka λ1, λ2,...., λn • Zbirni proces dolazaka, bez obraćanj apažnje na tip klijenata, je Poasonov proces sa srednjom brzinom dolazaka: λ=λ1+ λ2+....+ λn Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

48. Primer razdvajanja Poasonovog procesa • Banka ima n filijala u istom gradu • Proces dolaženja sadrži klaster filijala je Poasonov proces sa srednjom brzinom λ • Ako svaki klijent ima verovatnoću pi da izabere filijalu i (i=1,2,...n) i svaki klijent mora da izabere po jednu filijalu, onda je: • Proces dolaženja u filijalu j je Poason sa brizinom dolaženja: λj = pjλ • Sada je jedan Poasonov proces podeljen na n Poasonova procesa, jedan za svaku filijalu Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

49. Sadržaj • Uvod • Sistemi čekanja, osnovni procesi čekanja i strategije čekanja • Osnovni proces čekanja • Strategije za umanjenje efekata dugih redova čekanja • Analitički modeli čekanja • Eksponencijalna distribucija • Revidiran Litlov zakon • Procesi rađanja i smrti • M/M/1 model • M/M/c model • M/M/c/K model • M/M/c/∞/N model • Teorija čekanja i projektovanje procesa • Uvod u simulaciju • Modeli simulacije • Simulacija diskretnih događaja • Simulacija procesa sa jednim serverom pomoću Excel-a Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7

50. Terminologija • Kod modeliranja sistema čekanja, izazov je da se obuhvati varijabilnost u sistemu • opisati različite situacije ili stanja kroz koja prolazi sistem • Stanje sistema = Broj kupaca ili poslova u sistemu • Dužina reda = broj kupaca/poslova u redu • Čekaju da budu usluženi/obrađeni • Broj kupaca u sistemu čekanja • Omogućava modeliranje srednje brzine pristizanja kupaca/poslova i srednje brzine usluživanja/obrade Projektovanje proizvodnih sistema primenom računara - Predavanje br. 7