ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ ΓΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΟΥ MATLAB

1. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ΄΄ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ΄΄ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ ΓΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΟΥ MATLAB ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΙΦΙΓΕΝΕΙΑ Ν. ΑΘΑΝΑΣΙΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ:Ν. ΚΑΡΑΜΠΕΤΑΚΗΣ ΕΠΙΚ.ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α.Π.Θ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ, ΣΕΠΤΕΜΒΡΗΣ 2004

2. ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ • ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ • ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER (DFT) • ΓΡΗΓΟΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER(FFT) • ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ ΚΑΙ FFT ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ • ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΔΥΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΩΝΠΙΝΑΚΩΝ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΙ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣΤΟ MATLAB • Η ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΑΧ+ΒΥ=C • ΓΕΝΙΚEΥΜΕΝΟΣ MOORE-PENROSEΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΕΝΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΟΥ ΠΙΝΑΚΑ ΔΥΟΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

3. 1. ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ • Σε αριθμητικά προβλήματα απαιτούνται υπολογιστικοί αλγόριθμοι οι οποίοι ναείναι: • αξιόπιστοι (reliable), • αποδοτικοί, • να χρειάζονται λιγότερη μνήμηυπολογιστή, • να οδηγούν σε ένα σύντομο πρόγραμμα. ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ διαφορετικά O(ln(n)) O(n) O(n2).

4. 2. Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ Η βασική ιδέα όλωντων μεθόδωνπαρεμβολής συνοψίζεται στα επόμενα τρία βήματα: • Επιλέγεται ΄επαρκής΄ αριθμός σημείων παρεμβολής (interpolation points) • Το παρεμβαλλόμενο αντικείμενο υπολογίζεται σ’ αυτά τα σημεία • Το παρεμβαλλόμενο αντικείμενο προκύπτει από γνωστές μεθόδους παρεμβολής Ο πλέον αποδοτικός αλγόριθμος για προβλήματα παρεμβολής είναι ο γρήγορος μετασχηματισμός Fourier FFT (Fast Fourier Transform).

5. ΘΕΩΡΗΜΑ Ι: Ένα πολυώνυμο p(x) βαθμού n μπορεί να αναπαρασταθεί ως σύνολο {(x0,p(x0)),(x1,p(x1)),…,(xn-1,p(xn-1))(1). Αντιστρόφως, δοθέντος ενός συνόλου n ζευγών σημείου {(x0,y0),(x1,y1),…,(xn-1,yn-1)} (2) υπάρχει μόνο έναπολυώνυμο βαθμού n που ικανοποιεί yi=p(xi), 0i<n, το οποίο λέμε ότιπαρεμβάλλεται (interpolates) στις n τιμές.Κι αυτό γιατί το σύστημα

6. έχει μοναδική λύση, καθώς η ορίζουσατου πίνακα Vandermode είναιδιάφορη του μηδενός, Το πολυώνυμο p(x) υπολογίζεται με τον τύπο του Lagrange σε χρόνοΟ(n2). Είναι δυνατόν,όμως να εκτελεστεί σε χρόνο Ο(nlogn) με την χρήσητου FFT.

7. 3. ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER (DFT) Μερικές εφαρμογές του DFT είναι: • ο υπολογισμός της συνάρτησης μεταφοράς γενικευμένων n-διάστατων συστημάτων, • η λύση των Διοφαντικών εξισώσεων, η οποία έχει εφαρμογές σε προβλήματα της θεωρίας ελέγχου • Ο DFT είναι ιδιαίτερα χρήσιμος σε ψηφιακούς υπολογισμούς καθώς και στην υλοποίηση ψηφιακών κυκλωμάτων • όλες οι βασικές αναπαραστάσεις των σημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου με εκθετικά σήματα, συμπεριλαμβανομένων των σειρών Fourier, του μετασχηματισμού Fourier, του μετασχηματισμού Laplace και του μετασχηματισμού Z, μπορούν να υπολογιστούν με τη χρήση του DFT.

8. Θεωρούμε την πεπερασμένη ακολουθία (3) Η ακολουθία Χ(k) καλείται μετασχηματισμός FourierDFT, Ν σημείων της x(n). Οι μιγαδικοί αριθμοί λέγονται σημεία Fourier Οι συντελεστές Χ(k) συνδέονται με την x(n) ως εξής: (4) H (3) αποτελεί τον εμπρός μετασχηματισμό Fourier της x(n), ενώ (4) τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier της Χ(k). Διαφορετικά ο DFT είναι μια απεικόνιση από μια ακολουθία x(n) σε μια άλλη ακολουθία X(k), δηλαδή

9. 4. Ο ΓΡΗΓΟΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER (FFT) Έχει πολλές εφαρμογές: • στην ψηφιακή επεξεργασία σήματος, • στη λύση διαφορικών εξισώσεων και • σε αλγορίθμους για γρήγορο πολλαπλασιασμό μεγάλων ακεραίων. Η κύρια στρατηγική που ακολουθείται σ’ έναν αλγόριθμο FFT είναι η ανάλυση του μετασχηματισμού DFT Ν-σημείων σε διαδοχικάμικρότερους μετασχηματισμούς DFT.

10. (N/2)2(N/2)2 N2/2 N N (N/4)2(N/4)2 (N/4)2 (N/4)2 N2/4 Η υπολογιστική πολυπλοκότητα του αλγορίθμου FFT απαιτεί ΝlogΝ προσθέσεις

11. 5. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΟΥ DFT ME ΤΟΝ FFT

12. 6. n-ΔΙΑΣΤΑΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ DFT Έστω οι πεπερασμένες σειρές και όπου με i=1,…,n Οι σειρές και για να αποτελούν ένα DFT ζεύγος ,αρκεί να ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις και όπου

13. 7. n-ΔΙΑΣΤΑΤΟΙ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Ο πολυωνυμικός πίνακας με πραγματικούς συντελεστές και με n μεταβλητές z1,….zn λέγεται nD πολυωνυμικός πίνακας και γράφεται ωςεξής: (5) Ένας πολυωνυμικός πίνακας μιας μεταβλητής s, γράφεται ως εξής: Ένας πολυωνυμικός πίνακας δύο μεταβλητών s,w γράφεται ως εξής:

14. 8. n-ΔΙΑΣΤΑΤΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ (INTERPOLATION) Έστω ένας n-διάστατος πολυωνυμικός πίνακας Α() όπως στην (5). Θέλουμε να υπολογίσουμε τον πολυωνυμικό πίνακα f(A( )). Η μέθοδος παρεμβολής για τον υπολογισμό του f(A()) βασίζεται στα παρακάτω βήματα: ΒΗΜΑ 1: Υπολογίζουμε τον πολυωνυμικό πίνακα σε κατάλληλα επιλεγμένα σημεία. ΒΗΜΑ 2: Στην συνέχεια εφαρμόζουμε την συνάρτηση f στο σύνολο των σταθερών πινάκων Α() που παίρνουμε από το βήμα 1. ΒΗΜΑ 3: Υπολογίζουμε τους συντελεστές του πολυωνυμικού πίνακα f(A( )) χρησιμοποιώντας μια από τις γνωστές μεθόδους παρεμβολής (interpolation) όπως α) την άμεση προσέγγιση με τη χρήση του πίνακα Vandermode, β) την παρεμβολή του Newton, γ) την παρεμβολή του Lagrange.

15. 9. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΤΗΝ ΜΕΘΟΔΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ (INTERPOLATION) Έστω ο πολυωνυμικός πίνακας μιας μεταβλητής, της z Θέλουμε να υπολογίσουμε τον f(A( )) ,όπου α΄ τρόπος, μέθοδος παρεμβολής του Lagrange ΒΗΜΑ 1: Παρατηρούμε ότι ο βαθμός του f(A( )) είναι 2. Έτσι, χρειαζόμαστε R=(2+1)=3 σημεία. Στην συνέχεια,αντικαθιστούμε στονπολυωνυμικό πίνακα Α(z) 3 σημεία. Επιλέγουμε να είναι τα Προκύπτουν έτσι οι σταθεροί πίνακες: ΒΗΜΑ 2:

16. ΒΗΜΑ 3: Υπολογίζουμε τους συντελεστές του πολυωνυμικού πίνακα f(A( )) χρησιμοποιώντας τη μέθοδο παρεμβολής Lagrange όπου Στην περίπτωση μας είναι οπότε

17. β΄ τρόπος, μέθοδος παρεμβολής και FFT ΒΗΜΑ 1: Θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε τους πολυωνυμικούς πίνακες Ο βαθμός του πίνακα Α(z) ως προς την μεταβλητή z είναι 1, =1. O βαθμός του πίνακα Β(z) ως προς την μεταβλητή z είναι 1, =1. O μέγιστος βαθμός του πίνακα (γινομένου) C(z) θα είναι: ΒΗΜΑ 2: Για να υπολογίσουμε τους συντελεστές του πίνακα C(z) χρειαζόμαστε R σημεία, όπου Έστω με

18. κι έτσι βρίσκουμε τα σημεία δηλαδή είναι z=1, z=-i, z=-1,z=i. ΒΗΜΑ 3: Αντικαθιστούμε τα σημεία αυτά στους πίνακες Α(z) και B(z) κιέχουμε Στη συνέχεια υπολογίζουμε το γινόμενο των πινάκων Α(z) και B(z).

19. ΒΗΜΑ 4: Έπειτα με αντίστροφο μετασχηματισμό FourierFFT, βρίσκουμε τους συντελεστές του πίνακα C(z) από τη σχέση: Για παράδειγμα, συνεπώς προκύπτουν οι σταθεροί πίνακες άρα ο πίνακας του γινομένουC(z)=Α(z)*B(z) είναι

20. ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΥΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΩΝ ΠΙΝΑΚΩΝ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Έστω ένας πολυωνυμικός πίνακας Α(s,w) R[s,w]kxl,δύομεταβλητών όπου Έστω επίσης ένας πολυωνυμικός πίνακας Β(s,w) R[s,w]nxm, δύο μεταβλητών s και w. όπου

21. Ο πίνακας C(s,w) είναι ο πίνακας του γινομένουτων Α(s,w) και Β(s,w). O βαθμός του πίνακα C(s,w) ως προς την μεταβλητή s έστω ότι είναι και ως προς την w, Οπότε το γινόμενο των πολυωνυμικών πινάκων Α(s,w) και Β(s,w) είναι ο πίνακας C(s,w), ο οποίος γράφεται ως εξής: (1) όπου είναι οι συντελεστές του πίνακα τους οποίους θέλουμε να υπολογίσουμε. ΒΗΜΑ 1: Ο πολυωνυμικός πίνακας C(s,w) μπορεί να υπολογιστεί με τημέθοδο παρεμβολής (interpolation) χρησιμοποιώντας R ζεύγη σημείων,

22. Έστω με και Έτσι, θέτουμε , και τα αντικαθιστούμε στην (1). Τότε ο πίνακας C(s,w) παίρνει την εξής μορφή: ΒΗΜΑ 2: Από τη σχέση αυτή συμπεραίνουμε ότι πρόκειται για ζεύγος μετασχηματισμού Fourier. Χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier, υπολογίζουμε τους συντελεστές του πίνακα C(s,w). Δηλαδή,

23. ΕΦΑΡΜΟΓΗ Oμέγιστοςβαθμός ως προς την μεταβλητή s και w του πίνακα (γινομένου)C(s,w) θα είναι : ΒΗΜΑ 1: Για να υπολογίσουμε τους συντελεστές του πίνακα C(s,w) χρειαζόμαστε R ζεύγησημείων, όπου Έστω , και ,

24. και παίρνουμε τα ζεύγη σημείωνή ισοδύναμα Αντικαθιστώντας τα παραπάνω σημεία στους πίνακες Α(s,w) και Β(s,w), έχουμε συνεπώς

25. ΒΗΜΑ 2: Βρίσκουμε τους συντελεστές του πίνακα C(s,w) με αντίστροφο Fourier, οπότε οι συντελεστές του πίνακα είναι: Συνεπώς παίρνουμε τον πολυωνυμικό πίνακα

26. 2.ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΥΟΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΩΝ ΠΙΝΑΚΩΝ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΣΤΟ MATLAB ΒΗΜΑ 1:Εισάγουμε τα δεδομένα %Δίνουμε τις διαστάσεις των πολυωνυμικών πινάκων Α(s,w) και %B(s,w) k=input(‘δώσε το πλήθος των γραμμών του A(s,w)=’) l=input(‘δώσε το πλήθος των στηλών του Α(s,w)=’) n=input(‘δώσε το πλήθος των γραμμών του B(s,w)=’) m=input(‘δώσε το πλήθος των στηλών του Β(s,w)=’) %Πρέπει να είναι συμβατές στον πολ/σμό if l~=n disp(‘ERROR’) n=input(‘ΔΩΣΕΑΛΛΟ n=l=’) end

27. %Δίνουμε τους βαθμούς των Α(s,w) και B(s,w) ως προς τις %μεταβλητές s,w dsa=input(‘δώσε τον βαθμό του Α(s,w) ως άλλος την s=’) dwa=input(‘δώσε τον βαθμό του Α(s,w) ως άλλος την w=’) dsb=input(‘δώσε τον βαθμό του B(s,w) ως άλλος την s =’) dwb=input(‘δώσε τον βαθμό του B(s,w) ως άλλος την w=’) %Δίνουμε τους συντελεστές των Α(s,w) και B(s,w) for i1=1:dsa+1 for j=1:dwa+1 a(1:k,1:l,i1,j)=input(‘Δώσε τους συντελεστές του Α(s,w), Aij=’) end end for i1=1:dsb+1 for j=1:dwb+1 b(1:n,1:m,i1,j)=input(‘Δώσε τους συντελεστές του B(s,w), Bij=’) end end t1=clock;

28. ΒΗΜΑ 2 %Ο πίνακας του γινομένου,C(s,w), θα έχει μέγιστο βαθμό dsdsa+dsb dwdwa+dwb %Για να τον υπολογίσουμε χρειαζόμαστε R ζεύγη σημείων R=(ds+1)*(dw+1) %Παίρνω τα ζεύγη σημείων for i1=1:ds+1 W0=exp(2*pi*i/(ds+1)); u0=W0^(-(i1-1)); for j=1:dw+1 W1=exp(2*pi*i/(dw+1)); u1=W1^(-(j-1)); BHMA 3 %Αντικαθιστούμε τα ζεύγη σημείων στον πίνακα Α(s,w) a1(1:k,1:l)=zeros(k,l) for z=1:dsa+1 for x=1:dwa+1 a1(1:k,1:l)=a1(1:k,1:l)+a(1:k,1:l,z,x)*u0^(z-1)*u1^(x-1); end end

29. %Τα αντικαθιστούμε στον πίνακα Β(s,w) b1(1:n,1:m)=zeros(n,m) for z=1:dsb+1 for x=1:dwb+1 b1(1:n,1:m)=b1(1:n,1:m)+b(1:n,1:m,z,x)* u0^(z-1)*u1^(x-1); end end %Υπολογίζουμε το γινόμενο τους c(1:k,1:m,i1,j)=a1(1:k,1:l)*b1(1:n,1:m); end end %Με αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier βρίσκουμε τους συντελεστές %του γινομένου disp(‘apotelesma’) C=round(real(ifft2(c))) %Υπολογίζουμε τον χρόνο εκτέλεσης του προγράμματος t2=etime(clock,t1)

30. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΟ MATLAB δώσε το πλήθος των γραμμών του Α(s,w)=2 δώσε το πλήθος των στηλών του Α(s,w)=2 δώσε το πλήθος των γραμμών του Β(s,w)=2 δώσε το πλήθος των στηλών του Β(s,w)=2 δώσε τον βαθμό του Α(s,w) ως προς την s=1 δώσε τον βαθμό του Α(s,w) ως προς την w=1 δώσε τον βαθμό του Β(s,w) ως προς την s=0 δώσε τον βαθμό του Β(s,w) ως προς την w=1 δώσε τους συντελεστές του Α(s,w),a00=[0 1;1 0] δώσε τους συντελεστές του Α(s,w),a01=[0 0;0 0] δώσε τους συντελεστές του Α(s,w),a10=[0 0;0 1] δώσε τους συντελεστές του Α(s,w),a11=[1 0;0 0] δώσε τους συντελεστές του Β(s,w),b00=[0 0;2 1] δώσε τους συντελεστές του Β(s,w),b01=[1 0;0 0] ds = 1 dw = 2 R = 6

31. apotelesma C(:,:,1,1) = 2 1 0 0 C(:,:,2,1) = 0 0 1 0 C(:,:,1,2) = 0 0 0 0 C(:,:,2,2) = 0 0 2 1 C(:,:,1,3) = 0 0 0 0 C(:,:,2,3) = 0 0 2 1 t2 = 0.0100

32. Άρα σε χρόνο 0,01sec πήραμε τους συντελεστές του γινομένου που είναι: οπότε ο πολυωνυμικός πίνακας C(s,w) είναι:

33. Η ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΛΕΥΡΑ ΤΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ

34. ΛΥΣΗ ΤΩΝ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Α(s,w)X(s,w)+B(s,w)Y(s,w)=C(s,w)(1) όπου , ,

35. ΒΗΜΑ 1: Έστω Ο πολυωνυμικός πίνακας Μ(s,w) μπορεί να υπολογιστεί με τημέθοδο παρεμβολής (interpolation) χρησιμοποιώντας R ζεύγησημείων, όπου με και Τα σημεία που βρίσκουμε τα αντικαθιστούμε στους πίνακες L(s,w) και Q(s,w) οπότε Η εξίσωση έχει λύση αν και μόνο αν ισχύει Η γενική λύση της δίνεται από την σχέση

36. Είναι: οπότε Οι συντελεστέςτου άγνωστου πίνακα Μ(s,w) είναι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier του ,δηλαδή {IDFT( )+IDFT( ) } ή ισοδύναμα { + Κ}

37. Άρα, οι συντελεστές του πίνακα Μ(s,w) είναι:

38. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Θεωρούμε ένα σύστημα εισόδου-εξόδου με συνάρτηση μεταφοράς G(s,w)=a(s,w)/b(s,w) το οποίο συνδέεται μ’ έναν ελεγκτή με συνάρτηση μεταφοράς H(s,w)=-q(s,w)/p(s,w) σύμφωνα με το παρακάτωσχήμα. + G(s,w)= a(s,w)/b(s,w) - + Η(s,w)= -q(s,w)/p(s,w) + Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του κλειστού συστήματος θα είναι ίσο με a(s,w) p(s,w)+b(s,w) q(s,w)= f(s,w) συνεπώς η γνώση των a(s,w), b(s,w) και του επιθυμητού χαρακτηριστικού πολυωνύμου μας οδηγεί, μέσω της λύσεως της Διοφαντικής εξίσωσης, στον επιθυμητό ελεγκτή (controller).

39. ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ Σ’ αυτή την εργασία παρουσιάστηκε η μέθοδος παρεμβολής πολυωνύμων και πολυωνυμικών πινάκων με χρήση του γρήγορου μετασχηματισμού Fourier (FFT). Οι αλγόριθμοι οι οποίοι βασίζονται στον FFT έχουν τα κύρια πλεονεκτήματα της ταχύτηταςκαι της αποδοτικότητας σε σχέση με άλλους γνωστούς αλγορίθμους. Κι αυτό οφείλεται στις ιδιότητες του γρήγορου μετασχηματισμού Fourier, FFT. Η μέθοδος παρεμβολής εφαρμόστηκε για τον υπολογισμό του γινομένου δύο πινάκων, για τον υπολογισμό του γενικευμένου αντίστροφου και για τη λύση των Διοφαντικών εξισώσεων. Οιεφαρμογές αυτές είναι ιδιαίτερα χρήσιμες • σε σύνθετα προβλήματατηςθεωρίας ελέγχου, • στον υπολογισμό της συνάρτησης μεταφοράςπολυμεταβλητών συστημάτων, • στην ευστάθεια (επανατοποθέτησηπόλων) ενός συστήματος και σε πολλά άλλα

40. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙMOORE-PENROSE ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΕΝΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΟΥ ΠΙΝΑΚΑ ΟΡΙΣΜΟΣ 1. Για κάθε πίνακα Α Rpxm υπάρχει μοναδικός πίνακας Α+Rpxm,ο οποίοςονομάζεται γενικευμένος αντίστροφος (Moore-Penrose) και ικανοποιεί τα παρακάτω: i) ΑΑ+Α=Α ii) Α+Α Α+= Α+ iii) (Α Α+)Τ=ΑΑ+ iv) (Α+Α)Τ= Α+Α Στην ειδική περίπτωση που ο Α είναι τετραγωνικόςπίνακαςτότε Α+=Α-1 . Έστω ότι έχω τον πολυωνυμικό πίνακα Α(z1,z2) R[z1,z2]pxm όπου (1) και θέλουμε να υπολογίσουμε τον Α(z1,z2)+R[z1,z2]pxm

41. ΘΕΩΡΗΜΑ 1. Έστω Α(z1,z2) όπως στην (1) και R[z1,z2]pxm (2) όπου είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του Έστω k τέτοιο ώστε να ικανοποιεί , ενώ τότε ογενικευμένος αντίστροφος Moore-Penrose Εάν k=0 είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος τέτοιος ώστε τότε ΒΗΜΑ 1:

42. Τότε και μπορεί να υπολογιστεί μέσω interpolation χρησιμοποιώντας R1 ζεύγη σημείων ως εξής: και όπου Για να υπολογίσουμε τις συντελεστές αρκεί να αντικαταστήσουμε τα σημεία αυτά στην ορίζουσα (5) Από (3),(4),(5) παίρνουμε (6)

43. οπότε βρίσκουμε τις συντελεστές του πολυωνύμου μέσω του αντίστροφουμετασχηματισμού FFT. (7) όπου (8) ΒΗΜΑ 2: και ΒΗΜΑ 3: Η μεγαλύτερη δύναμη των είναι

44. Τον υπολογίζουμε μέσω interpolation χρησιμοποιώντας R2 ζεύγη σημείων όπου (9) Για να υπολογίσουμε τις συντελεστές αρκεί να αντικαταστήσουμε τα σημεία στον Από τις (7), (8), (9) με αντικατάσταση τελικά είναι ΒΗΜΑ 4:

45. Η ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΛΕΥΡΑ ΤΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ