Jeux sous forme extensive

1. Jeux sous forme extensive

2. Objectif • Modéliser des interactions où la structure temporelle et l’information dont disposent les joueurs paraissent importants. • Structure temporelle: caractère séquentiel des décisions • Information: Ce que le joueur sait lorsqu’il doit décider

3. Illustration guerre (-25,75) FT entre paix DT (50,150) n’entre pas (0,300)

4. Le caractère séquentiel des décisions est-il important ? • Pas autant qu’on pourrait le croire • On peut représenter l’interaction sous-jacente à cet exemple dans un jeu sous forme normale • On doit pour se faire réinterpréter quelque peu la notion de stratégie • Une stratégie devient un plan d’actions contingents à l’atteinte d’un nœud de décision (ex: la stratégie « guerre » de FT n’a de prise sur le réel que si DT décide d’entrer)

5. Menace à l’entrée sous forme normale FT paix guerre Entre DT n’entre pas

6. Un autre exemple séquentiel (Kreps) • Deux fabricants de jouets A et B envisagent de lancer un jeu différent avant noël. • Si A lance son jeu, il doit dépenser (coûts fixes) 40 000 euros en conception, commercialisation, et production. Le coût correspondant pour B est de 60 000 euros. • Le marché du jouet est incertain. Avec probabilité 2/5, il sera bon (ventes totales de 20 000 unités). Avec probabilité 3/5, il sera mauvais (ventes de 6000 unités).

7. Un autre exemple séquentiel (Kreps) • Si les 2 firmes lancent le jouet, le prix d’équilibre est de 10 euros. Si une seule des deux firmes lance le jeu, le prix d’équilibre est de 12 euros • Coût marginal de 5 euros pour firme A et 3 euros pour firme B (en + des coûts fixes) • La firme B a un avantage: Elle a fait une étude de marché qui lui permet de connaître avant de lancer son jeu l’état du marché (bon ou mauvais).

8. Forme extensive (0,120) (10,10) in in B B (100,0) (0,0) good out out good 0,4 0,4 in out nature nature A bad bad in 0,6 0,6 in (0,-6) (-25,-39) (0,0) B (2,0) B out out

9. L’aspect séquentiel: fondamental ? B out,out in,in in, out out,in in A out

10. L’aspect séquentiel: fondamental ? B out,out in,in in, out out,in in A out

11. L’aspect séquentiel: fondamental ? B out,out in,in in, out out,in in A out

12. L’aspect séquentiel: fondamental ? B out,out in,in in, out out,in in A out

13. L’aspect séquentiel: fondamental ? B out,out in,in in, out out,in in A out =0,4x10+0,6x(-25)

14. L’aspect séquentiel: fondamental ? B out,out in,in in, out out,in in A out

15. L’aspect séquentiel: fondamental ? B out,out in,in in, out out,in in A out

16. L’aspect séquentiel: fondamental ? B out,out in,in in, out out,in in A out

17. L’aspect séquentiel: fondamental ? B out,out in,in in, out out,in in A out

18. L’aspect séquentiel: fondamental ? B out,out in,in in, out out,in in A out

19. L’aspect séquentiel: fondamental ? B out,out in,in in, out out,in in A out

20. L’aspect séquentiel: fondamental ? B out,out in,in in, out out,in in A out

21. L’aspect séquentiel: fondamental ? B out,out in,in in, out out,in in A out

22. Un autre exemple: Information imparfaite • Sylvester aime se battre contre des mauviettes, mais ne sais pas distinguer une mauviette d’un homme viril avant d’engager le combat(en moyenne 2/3 des hommes sont mes mauviettes, 1/3 sont virils) • Sylvester est devant un café et envisage de taper sur la première personne qu’il pense être une mauviette. • Tartarin est dans le café et sait qu’il va passer sur le chemin de Sylvester; Tartarin n’aime pas se battre (qu’il soit ou non une mauviette) • Sylvester peut observer la consommation de Tartarin • Il sait que les mauviettes préfèrent le lait grenadine alors que les hommes virils préfèrent la bière

23. Forme extensive combat combat (1,-1) (-1,1) Sylvester (2,0) (3,0) paix paix bière fort (1/3) faible (2/3) bière Tartarin Tartarin Nature lait lait combat (0,-1) combat (0,1) (2,0) Sylvester (3,0) paix paix

24. Forme normale: S P,P C,C C,P P,C bière, bière lait, bière bière, lait lait, lait

25. Forme normale: S P,P C,C C,P P,C bière, bière lait, bière bière, lait lait, lait

26. Forme normale: S P,P C,C C,P P,C bière, bière lait, bière bière, lait lait, lait

27. Forme normale: S P,P C,C C,P P,C bière, bière lait, bière bière, lait lait, lait

28. Forme normale: S P,P C,C C,P P,C bière, bière lait, bière bière, lait lait, lait

29. Forme normale: S P,P C,C C,P P,C bière, bière lait, bière bière, lait lait, lait

30. Forme normale: S P,P C,C C,P P,C bière, bière lait, bière bière, lait lait, lait

31. Forme normale: S P,P C,C C,P P,C bière, bière lait, bière bière, lait lait, lait

32. Forme normale: S P,P C,C C,P P,C bière, bière lait, bière bière, lait lait, lait

33. Forme normale: S P,P C,C C,P P,C bière, bière lait, bière bière, lait lait, lait

34. Forme normale: S P,P C,C C,P P,C bière, bière lait, bière bière, lait lait, lait

35. Forme normale: S P,P C,C 2/3 C,P P,C 1/3 bière, bière lait, bière bière, lait lait, lait

36. Forme normale: S P,P C,C 2/3 C,P P,C 1/3 bière, bière 1/2 lait, bière bière, lait 1/2 lait, lait

37. Jeux sous forme extensive • G = (N, T,  , i (.), A(.), α(.), I, U(.), ) • N = {1,…,n} ensemble des joueurs (le nème joueur étant interprété comme étant « la nature » (n > 2)) • T= ensemble des nœuds de décision (supposé fini) •  est une relation d’arborescence reliant les nœuds entre eux en terme de « postériorité » : t t’signifie que le nœud t vient après le nœud t’

38. Propriétés de la relation d’arborescence • La relation stricte  est supposée transitive, asymétrique et telle que si t’’  tet t’’  t’, alors t  t’ ou t’  t

39. Propriétés de la relation d’arborescence • La relation stricte  est supposée transitive, asymétrique et telle que si t’’  tet t’’  t’, alors t  t’ ou t’  t • Ceci n’est pas autorisé: t’ t’’ t

40. Propriétés de la relation d’arborescence • La relation stricte  est supposée transitive, asymétrique et telle que si t’’  t et t’’  t’, alors t  t’ ou t’  t • Ceci non plus: t’ t t’’

41. Propriétés de la relation d’arborescence • Proposition: Si  satisfait ces propriétés et si t est un nœud dans Ttel que {t’  T: t t’} n’est pas vide, alors: #{t’  T: t t’ et  t’’ t. q. t t’’  t’} = 1

42. Propriétés de la relation d’arborescence • Proposition: Si  satisfait ces propriétés et si t est un nœud dans T tel que {t’  T: t t’} n’est pas vide, alors #{t’  T:t t’ et  t’’ t. q. t t’’  t’} = 1 • « Un nœud qui n’est pas initial n’a qu’un seul prédécesseur immédiat »

43. Propriétés de la relation d’arborescence • Proposition: Si  satisfait ces propriétés et si t est un nœud dans T tel que {t’  T: t t’} n’est pas vide, alors #{t’  T:t t’ et  t’’ t. q. t t’’  t’} = 1 • « Un nœud qui n’est pas initial n’a qu’un seul prédécesseur immédiat » • Cette proposition nous permet de « remonter le long de l’arbre des branches à la racine »

44. Propriétés de la relation d’arborescence • W T: L’ensemble des nœuds initiaux (sans prédécesseurs) • Z  T: L’ensemble des nœuds finaux (sans successeurs) • X = T\ZL’ensemble des nœuds qui ne sont pas finaux • s(t) = {t’T:t’  tet t  t’’ t’’ tel que t’  t’’} (successeurs immédiats de t) • p(t) = {t’T:t  t’et t’’  t t’’ tel que t’’  t’} (prédécesseurs immédiats de t) (singleton)

45. Jeux sous forme extensive • i: X N, une fonction qui associe à chaque nœud non terminal l’identité du joueur (qui peut être la nature) qui doit jouer à ce nœud • A: X  C, une correspondance qui associe à chaque nœud non terminal un ensemble d’actions pouvant être adoptées à ce nœud • Pour tout t X, α: s(t)  A(t) (fonction biunivoque, qui associe à chaque successeur immédiat de t l’unique action qui y mène uniquement)

46. Jeux sous forme extensive • I: Une partition de T en ensembles d’information • N’importe quels nœuds t et t’ appartenant au même ensemble d’information satisfont les deux propriétés suivantes:

47. Jeux sous forme extensive • I: Une partition de T en ensemble d’information • N’importe quels nœuds t et t’ appartenant au même ensemble d’information satisfont les deux propriétés suivantes: (a) i(t) = i(t’)

48. Jeux sous forme extensive • I: Une partition de T en ensembles d’information. • N’importe quels nœuds t et t’ appartenant au même ensemble d’information satisfont les deux propriétés suivantes: (a) i(t) = i(t’) (b) A(t) = A(t’)

49. Jeux sous forme extensive • U: N\{n}Z fonction de paiement qui associe à chaque joueur (la nature mise à part) et à chaque nœud terminal un paiement numérique • : une fonction qui associe à chaque nœud initial et à chaque nœud où la nature est amenée à jouer une probabilité.

50. Forme extensive et temporalité • Les ensembles d’information ne sont pas nécessairement ordonnés par la relation de « postériorité »