Tema:

1. UPC Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas TÓPICOS DE MATEMATICA 1 (E.P.E.) MA112 (EPE) Tema: ESPACIO VECTORIAL Rn

2. Competencias: 1. Define el espacio Rn y sus propiedades 2. Explica el concepto de combinación lineal de vectores de Rn. 3. Define base de un E.V., conjunto LI y LD. 4. Explica el concepto de coordenadas de un vector respecto a una base B de Rn.

3. ESPACIO VECTORIAL Rn INTRODUCCIÓN Se dá este nombre por que el conjunto de vectores de Rn ( en particular R2 o R3 )junto con las operaciones de adición y multiplicación por un escalar satisfacenuna serie de axiomas. Así todo conjunto de entes matemáticos que cumplan estos axiomas se dice que es un espacio vectorial , esto permite extender muchas propiedades a una gran variedad de elementos matemáticos.

4. AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL Sean x,y,z vectores de Rn ;,  escalares. Rn es un espacio vectorial, ya que satisface los sigientes axiomas 1. x+y está en Rn. 2. .x está en Rn. • 3 . x + y = y + x • 4 . (x + y) +z = x+ (y + z)

5. 5.Existe un vector 0 de Rn tal que : • 0 + x= x+ 0= x • 6 . Para todo x de Rn existe un elemento –x en Rn tal que: x +(-x)= 0 • 7. 1. x= x • 8 .  (. x)= (  ).x • 9 . ( +  ).x=.x+ . x • 10 . (x + y)= .x +.y

6. V V VECTORES Definición 1: (Definición Geométrica de un vector) Definamos el vector como un segmento de recta dirigido. Sean P y Q dos puntos del espacio. El segmento de recta dirigido PQ, es el segmento de recta que va del punto inicial P al punto final Q. Q P

7. B z B R = A+B R = A+B y x A OPERACIONES CON VECTORES Adición de vectores Método del triángulo Método del paralelogramo. A

8. VECTOR n - DIMENSIONAL Definición: A los n números reales ordenados le llamaremos n-upla o vector n-dimensional.

9. u (a , a , ... , a ) 1 2 n v (b , b , ... , b ) IGUALDAD { n 1 2 a = b a = b a = b 1 1 2 u v 2 n n

10. (a , a , ... , a ) (b , b , ... , b ) 1 2 n n 1 2 (a + b , a + b , ... , a + b ) 1 2 1 2 n n (a , a , ... , a ) ( a , a , ... , a ) C C C C 1 2 n n 2 1 c SUMA + PRODUCTO POR UN ESCALAR

11. u.v a b + a b + ... + a b 1 1 n n 2 2 PRODUCTO ESCALAR u (a ,a ,... ,a ) 1 2 n v (b , b ,..., b ) 1 2 n

12. PRODUCTO ESCALAR

13. 1. El producto escalar de dos vectores es un número real. 2. El producto escalar es positivo si y negativo si OBSERVACIONES:

14. 3. Si tienen la misma dirección y sentido y a . b = a b 4.Si los vectores son perpendiculares el producto escalar es cero y viceversa. 5.a . a = a 2

15. Dado el vector a = (a1,a2,a3) de R3 se define a la norma o módulo de a : Módulo de un vector en R3 p(a1,a2,a3) z a3 a2 y a1 x

16. Vectores unitarios: Son aquellos cuya norma es igual a la unidad. Nota: En R3 existen tres vectores que nos permiten representar cualquier otro vector como una combinación lineal de ellos. Se les llaman vectores canónicos y se representan por

17. z k j y i x VECTORES UNITARIOS I, J , K Los vectores i, j y k son unitarios y están dirigidos en la dirección de los ejes x, y y z respectivamente.

18. Definición Paralelismo de vectores Dos vectores son paralelos entre sí si todas sus componentes son proporcionales. Ejemplo: Dado:

19. Dados los vectores V , V ,..., V de R y sean a , a ,..,a escalares . La expresión n 1 2 a V + a V +... + a V n n 1 1 2 2 COMBINACION LINEAL n n 2 1 Se llama combinación linealdeV , V ,.. , V 2 1 n

20. EJEMPLOS: 1. Expresar el vector u =(- 3;4) como combinación lineal de los vectores a=(1;2) y b=(3;1). Solución: Se quiere que u = ma +n b es decir (-3;4) = m(1;2) +n (3;1) de donde: m=3 , n =-2 luego: (-3;4) = 3(1;2) - 2 (3;1)

21. y 3 a u u = 3 a - 2 b a b x -2 b NOTA: La combinación lineal de dos vectores a y b siempre va a estar en el plano formado por ellos y en consecuencia cualquier vector del plano puede obtenerse (generarse) como la combinación lineal de dos vectores no paralelos.

22. INDEPENDENCIA LINEAl Antes de dar la definición, veamos los siguientes ejemplos geométricos. 1. Dados los vectores paralelos a y b a Se tiene : a = t b b Como a es una combinación lineal de b es decir a depende de b luego el conjunto { a , b} se dice que es LINEALMENTE DEPENDIENTE.

23. 2. Dados dos vectores no paralelos a y b a b Como ninguno de ellos puede estar en terminos del otro como combinación lineal ,es decir, son independientes cada uno , se dice que el conjunto {a,b} es LINEALMENTE INDEPENDIENTE

24. c 2 b b 3 a a 3.Dados los vectores a , b y c Donde: c = 3 a + 2 b ó a = - 2/3b+1/3c ó b =- 3/2a+1/2c Como cualquiera de los vectores se puede expresar en terminos del los otros como combinación lineal se dice que el conjunto {a,b,c} es LINEALMENTE DEPENDIENTE

25. 4.Dadoel conjunto de vectores {a,b,c} contenido en el plano P z b a c y P x ¿ Es LI o LD el conjunto de vectores{a,b,c} ?

26. z c a y P x b ¿Se podra expresar el vector b en terminos de a y c ? 4. ¿Es LI o LD el conjunto de vectores{a,b,c} ?

27. {v , v ,..., v } a v + a v +...+ a v = 0 2 1 k 2 k k 1 1 2 a = a = ... = a = 0 1 1 2 k 2 a v + a v +...+ a v = 0 1 1 2 2 k k INDEPENDENCIA LINEAL n v , v ,..., v : VECTORES DE R , El conjunto 1 2 k se llama LINEALMENTE INDEPENDIENTEsi dada la ecuación entonces y se llamaLINEALMENTE DEPENDIENTE si en al menos un a ino es cero.

28. {v , v ,..., v } 1 2 k a v + a v +...+ a v u = 2 2 k k 1 1 PROPIEDADES 1. Si es un conjunto L.I. de vectores de Rn, y si u Rn entonces existe un conjunto único de escalares {a1,a 2,...,a k} tales que Es decir el vector u se expresa de forma única

29. 2. Sea V ={v1 , v2 ,..., vk }un conjunto de vectores en Rn, donde k > n. Entonces Ves linealmente dependiente. Nota :Un conjunto S de vectores linealmente independientes de Rn contine a lo sumo n vectores.

30. 3. k=n y det(v1,v2, ...vk ) = 0 { v1,v2, ...vk } es LI 4. 0  V Rn V es LD

31. BASE DE Rn Definición:Un conjunto {v1, v2 ,..., vk} de vectores de Rn se llama base de Rn, si cada elemento de Rn se puede expresar de manera única como combinación lineal de v1, v2 ,..., vk. PROPIEDAD:Todo conjunto de n vectores linealmente independientes de Rn es una base deRn.

32. TEOREMA Un conjunto finito de vectores {V1 ,V2 ,...,Vn } de Rn es una BASE de Rn si: 1.{V1 ,V2 ,..,Vn}es linealmente independiente. 2.{V1 ,V2 ,..,Vn}genera a Rn.

33. PROPIEDAD: Un conjunto de vectores {V1 ,V2 ,...,Vn} de Rn es una BASE si y sólo si det(v1,v2, ...vk ) = 0

34. Definición: El número de elementos de cualquier base de Rnse llama dimensión del espacio vectorial Rn. NOTA: En un espacio Rn su dimensión es n.

35. COORDENADAS DE UN VECTOR EN Rn Sea B = { v , v ,..., v } una BASE de Rn 1 n 2 SEA U Rn donde U = c V + c V +... +c V 1 1 2 2 n n UB = ( c1, c2, ... , cn ) COORDENADAS DE U EN BASE B