tiara

1. Pertemuanke-9Diferensialfungsisederhana Tiara wulandari, se, M.AK Stiepembangunantanjungpinang

2. KuosienDiferensidanDerivatif Kuosiendiferensi(∆y/∆x) mencerminkantingkatperubahan rata-rata variabelterikat y terhadapvariabelbebas x. (∆y/∆x) dapat juga kitakenalsebagailerengdarikurva y = f(x)

3. Contoh:

4. Kaidah-kaidahdiferensial • Diferensiasikonstanta Diferensiasi konstanta (k = konstanta) Jika : y = k maka : dy/dx =  0 contoh :   y = 4 turunan :   dy/dx =0 • Diferensiasi fungsi pangkat Jika : y = xn     maka :  dy/dx  =  nxn-1 contoh :   y = x5 turunan :  dy/dx  =  n. xn-1 dy/dx  =  5 . x 5-1 dy/dx =  5x4

5. Diferensiasiperkaliankonstantadenganfungsi Jika : y = k.udi mana: u = h(x) , k = konstanta maka :              dy/dx  =  k. du/dx contoh :   y = 2x5 turunan :   dy/dx  =  k. du/dx                                                   dy/dx  =  2(5x4) dy/dx  =  10x4 nXn-1

6. Diferensiasi pembagiankonstantadenganfungsi jika y = di mana: v = h(x) , k = konstanta maka :      = - Contoh: Y = = - = -

7. DiferensiasiPenjumlahandanPenguranganfungsi Penjumlahan fungsi Jika :  y = u + v    dimana :  u = g(x) , v = h(x) maka : dy/dx  =  u′+ v′ contoh :     y = 2x5 + x2 u = 2 x5maka :   u′ = 2.5x5-1   =  10x4 v = x2          maka :   v′ = 2x2-1   =  2x turunan :  dy/dx  =  u′+ v′        dy/dx  =  10x4 + 2x Pengurangan fungsi Jika :  y = u - v   dimana :  u = g(x) , v = h(x) maka : dy/dx  =  u′ - v′ contoh :     y = 2x5 - x2 u = 2 x5maka : u′ = 2.5x5-1   =  10x4 v = x2       maka : v′ = 2x2-1   =  2x turunan :  dy/dx  =  u′ - v′                    dy/dx  =  10x4 - 2x

8. Diferensiasi perkalianfungsi Jikay = uv, dimana u = g(x) dan v = h(x) maka : = u + v Contoh : y = (4x2) (x3) Turunan : = u + v = (4x2) (3x2) + (x3) (8x) = 12x4 + 8x4 = 20x4

9. Diferensiasi pembagianfungsi Jikay = u/v. dimana u = g(x) dan v = h(x) maka : = contoh : y = Turunan : = = = = = -4x-2

10. Diferensiasi fungsiberpangkat Jikay=un, dimana u=g(x) dan n adalahkonstanta, makady/dx =nun-1 .(du/dx) y = (4x3 + 5)2 Misal : u = 4x3 + 5 du/dx = 12x2 = nun-1 = 2( 4x3 + 5)(12x2) = 96x5 + 120x2

11. Diferensiasi folinomial Jika y = C.xnmaka = C.n.xn-1 Contoh: y = 5x4 Maka: = 20x3 • Diferensiasifungsilogaritmik Jika y = alog x maka = Contoh: y = 5log 2 maka =

12. Aplikasidifferensialdalamekonomi

13. JenisElastisitasPermintaan/penawaran Jika: • |Ehd/s| < 1, Permintaan di titiktersebuttidakelastis (inelastis)terhadapharga • |Ehd/s| = 1, Permintaan di titiktersebutuniterterhadapharga • |Ehd/s| > 1, Permintaandi titiktersebutelastisterhadapharga • |Ehd/s| = 0, Permintaandi titiktersebuttidakelastissempurnaterhadapharga • |Ehd/s| =

14. ElastisitasPermintaan(Price Elasticity Of Demand) Elastisitaspermintaanialahsuatukoefisien yang menjelaskanbesarnyaperubahanjumlahbarang yang dimintaakibatadanyaperubahanharga. JikafungsipermintaandinyatakandenganQd = f(P), makaelastisitaspermintaannya : dimanataklain adalahQ’datau f’(P)

15. Contoh: FungsipermintaanakansuatubarangditunjukkanolehpersamaanQd = 25 – 3P2. Tentukanelastisitaspermintaanpadatingkathargapasar P = 5 Jawab : Qd = 25 – 3P2 makaQ’d= = - 6P = . = -6P . = -6(5) . = 3 (elastis) Qd = 20 – 3P3dan P = 2 Qd = 32 – 5P2 dan P = 4

16. ElastisitasPenawaran(Price Elasticity Of Supply) Elastisitaspenawaranialahsuatukoefisien yang menjelaskanbesarnyaperubahanjumlahbarang yang ditawarkanakibatadanyaperubahanharga. Jikafungsipenawarandinyatakandengan Qs = f(P), makaelastisitaspenawarannya : Dimana tak lain adalahQ’satauf’(P)

17. Contoh: Fungsipenawaranakansuatubarangditunjukkanolehpersamaan Qs = – 200 + 7P2. Tentukanelastisitaspenawarannyapadatingkathargapasar P = 10 Jawab: Qs = -200 + 7P2maka Q’s = = 14P = . = 14P . = 14(10) . = 2,8 (elastis) Qs = – 300 + 9P2dan P = 8 Qs = – 150 + 5P3dan P = 6

18. Elastisitasproduksi Elastisitas produksiadalahsuatukoefisien yang menjelaskanbesarnyaperubahanjumlahkeluaran (output) yang dihasilkanakibatadanyaperubahanjumlahmasukan(input) yang digunakan. Jadi, merupakanrasioantarapersentaseperubahanjumlahkeluaranterhadappersentaseperubahanjumlahmasukan. JikaPmelambangkanjumlahproduk yang dihasilkansedangkanXmelambangkanjumlah factor produksiyangdigunakan, danfungsiproduksidinyatakandenganP = f(X), makaefisiensiproduksinya: = . Dimana adalahprodukmarjinaldari X [P’ atau f(x)]

19. Contoh: Fungsiproduksisuatubarangditunjukanolehpersamaan P = 6X2–X3. Hitunglahelastisitasproduksinyapadatingkatpenggunaan factor produksisebanyak 3 unit, 7unit dan 11 unit. Jawab: P = 6X2– X3 maka P’ = = 12x - 3x2 = . =(12x – 2x2). =(36 –27). = 1

20. Biayamarjinal Biayamarjinalialahbiayatambahan yang dikeluarkanuntukmenghasilkansatu unit tambahanproduk. Jikafungsibiaya total dinyatakandengan C = f(Q), dimana C adalahbiaya total dan Q melambangkanjumlahproduk, makabiayamarjinalnya: MC = C’ =

21. Contoh: Biaya total : C = f(Q) = Q3– 3Q2 + 4Q + 4 Jawab: BiayaMarjinal: MC = C’ = = 3Q2 – 6Q + 4

22. PenerimaanMarjinal Penerimaanmarjinaladalahpenerimaantambahan yang diperolehberkenaanbertambahnyasatu unit keluaran yang diproduksiatauterjual. Jikafungsipenerimaan total dinyatakandengan R = f(Q) dimana R melambangkanpenerimaan total dan Q adalahjumlahkeluaran, makapenerimaanmarjinalnya: MR = R’ =

23. Contoh: Diketahuifungsipermintaanakansuatubarangditunjukkanoleh P = 16 – 2Q2. Maka Penerimaan Total : TR = P. Q = f(Q) = 16 Q – 2 Q2 PenerimaanMarjinal : MR = R’ = 16 – 4Q

24. Analisiskeuntunganmaksimum Tingkat produksi yang memberikankeuntunganmaksimumataumenimbulkankerugianmaksimumdapatdisidikdenganpendekatandiferensial. Nilaiekstrimataunilai optimum dapatditentukandengancaramenetapkanderivarifpertamanyasamadengan nol. Bila Bila

25. Contoh: Bila R = -2Q2 + 1000Q, dan C = Q3– 59Q2 + 1315Q + 2000. Tentukantingkatproduksi yang memberikankeuntunganmaksimum. Jawab:

26. Agar keuntunganmaksimum: -3Q2 + 114Q – 315 = 0 Makadidapatkan Q1 = 3 dan Q2 = 35 (denganrumusabc) ’’ = -6Q + 114 Q1= 3, = -6Q + 114 = -6.3 + 114 = 96 Q2 = 35, = -6Q + 114 = -6.35 + 114 = -96 Karenasyaratke 2 untuk Q = 35 hasilnya < 0, makatingkatproduksi yang menghasilkankeuntungan yang maksimumadalah Q = 35 unit.