E S T U D I O D E F U N C I O N E S : G R Á F I C A S

1. ESTUDIO DEFUNCIONES:GRÁFICAS Por Mª Ángeles Pajuelo

2. INFORMACIÓN Para ver este tema página a página, basta con hacer clic con el ratón en cualquier parte de la pantalla. Si quisiéramos ver solamente alguno de los apartados que se especifican en la siguiente hoja (Índice), hacer clic en el botón rojo correspondiente. Una vez finalizado dicho apartado,aparecerá un botón amarillo de retroceso. Pulsando dicho botón,volveremos al índice, para así irnos de nuevo a otro apartado.

3. DOMiNIO SIMETRÍA PERIODICIDAD PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO: MÁXIMOS Y MÍNIMOS CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD: PUNTO DE INFLEXIÓN ASÍNTOTAS GRÁFICOS ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN

4. DOMINIO Llamamos dominio de definición de una función, al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente x para que dicha función tenga sentido.

5. y=senx.................D=R Ejemplos de dominio y=x3+2x2-x-1...........D=R

6. Simetrías - Una función y=f(x) es simétrica respecto al eje de ordenadas, si es par, es decir, si f(x)=f(-x)- Una función y=f(x) es simétrica respecto al origen de coordenadas, si es impar, es decir, si f(x)=-f(-x)- Menos interés tiene la simetría respecto al eje de abscisas, pues las correspondencias que presentan esta simetría no son funciones (por abuso del lenguaje, a veces, se les sigue llamando funciones.). Esta simetría se presenta cuando f(x)=-f(x).

7. Ejemplos de simetrías 1) y=x2+3 es par pues f(x)=f(-x), y por tanto es simétrica respecto al eje de ordenadas 2) y=cos(x) es par pues f(x)=f(-x), y por tanto es simétrica respecto al eje de ordenadas 3) y=x3-x es impar pues f(x)=-f(-x), y por tanto es simétrica respecto al origen de coordenadas 4) y2=x(no es una función) presenta simetría respecto al eje de abscisas 5) y=x2+x no presenta ninguna de las simetrías estudiadas, ya que f(-x)=(-x)2+(-x)=x2_x

8. Periodicidad Una función y=f(x) decimos que es periódica y de periodo p, cuando se verifica que : f(x)=f(x+p). Si p es periodo, también lo es np, siendo n cual- quier nº entero, ya que: f(x)=f(x+p)=f[(x+p)+p]=f(x+2p)=f[(x+2p)+p]=..... ....=f(x+np) De todos los periodos que pueda tener una función, al menor de todos los positivos se le llama periodo principal. La gráfica de una función periódica, se repite en cada periodo.

9. Ejemplos de periodicidad1) y=senx es periódica de periodo 2 senx = sen(x+2 )2) y=tgx es periódica de periodo tgx=tg(x+ )3) y=x - E(x) es periódica de periodo 1.

10. Puntos de corte con los ejesPara hallar los puntos de corte con el eje de abcisas, se resuelve el sistema formado por la ecuación de la función y la recta y=0 (eje de abcisas).Para hallar los puntos de corte con el eje de ordenadas, se resuelve el sistema formado por la ecuación de la función y la recta x=0 (eje de ordenadas)

11. Crecimiento-Una función f(x) diremos que es creciente en un intervalo (a,b), cuando tomados dos puntos c y d de ese intervalo, sic<d f(c) f(d)-Una función f(x) diremos que es estrictamente creciente en un intervalo (a,b), cuando tomados dos puntos cualesquiera c y d de ese intervalo,sic<d  f(c)<f(d)-Una función f(x) diremos que es creciente (o estrictamente creciente) en un punto, cuando existe un entorno de dicho punto donde la función es creciente (o estrictamente creciente).

12. Decrecimiento-Una función f(x) diremos que es decreciente en un intervalo (a,b), cuando tomados dos puntos c y d de ese intervalo, si c<d  f(c)f(d) -Una función f(x) diremos que es estrictamente decreciente en un intervalo (a,b), cuando tomados dos puntos cualesquiera c y d de ese intervalo,sic<d  f(c)>f(d)-Una función f(x) diremos que es decreciente (o estrictamente decreciente) en un punto, cuando existe un entorno de dicho punto donde la función es decreciente (o estrictamente decreciente).

13. Criterio de crecimiento y decrecimiento Sea y=f(x) -f es estrict. creciente en a  f ‘(a)>0 -f es estrict. decreciente en a  f ‘(a)<0 (demostraremos solo la implicación hacia la izquierda del primer apartado pues las demás se harían de igual forma): demostración: Si f ‘(a)>0

14. Máximos y mínimos relativos. Extremos -f posee en a un máximo relativo  -f posee en a un mínimo relativo  A los máximos y mínimos relativos, se les llama extremos También podemos dar las siguientes definiciones: - f posee en a un máximo relativo, cuando existe un entorno de a tal que a la izquierda de a la función es creciente y a la derecha de a la función es decrecien- te. - f posee en a un mínimo relativo, cuando existe un entorno de a tal que a la izquierda de a la función es decreciente y a la derecha de a la función es crecien- te. Por tanto la C.N. Para que f posea en a un extremo es que f ‘(a)=0 , pues si fuera < o >, sería crec. o decrec.

15. Criterio de la 2ª derivada para máximos y mínimo Sea y=f(x) tal que f ‘(a)=0 - f posee en a un máximo relativo  f ``(a)<0 - f posee en a un mínimo relativo  f ``(a)>0 (Estas demostraciones se dejan para el alumno)

16. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máx y Mín. Veámoslo mediante algún ejemplo: Hallar los intervalos de crec. y decrec, así como los extremos de la función f(x)=x3- 3x2 Resolución: Puntos que anulan a f ‘(x): f ‘(x)=3x2-6x,, 3x2-6x=0,, x=0 y x=2 Estos 2 puntos hallados dividen al dominio de f en:

17. Veamos otro ejemplo de crec. y decrec. Estudiar la monotonía y extremos de la función: Resolución: y ‘ =(-x2-1)/(x2-1)2 Observemos que no existe ningún valor de x que anule a y ‘, por lo que deducimos que no existe máximo ni mínimo. Además, y ‘ es siempre negativa, por lo que la función es siempre decreciente.

18. Concavidad y convexidad: P.I. • Una función decimos que es cóncava en un punto • x0, cuando la gráfica de la función queda por encima • de la recta tangente a la curva en dicho punto. • Una función decimos que es convexa en un punto • x0, cuando la gráfica de la función queda por debajo • de la recta tangente a la curva en dicho punto. • El punto de la gráfica donde la función pasa de cóncava a convexa (o viceversa), se llama punto de inflexión

19. Aquí tenemos un ejemplo :

20. Criterio de concavidad y convexidad Si f posee en x0 un punto de inflexión, entonces f’’(x0)=0 Si f’’(x0)<0, entonces f es convexa en x0 Si f’’(x0)>0, entonces f es cóncava en x0

21. Intervalos de conc. y conv.; P.I. Veamoslo con un ejemplo: Halla los intervalos de concavidad, convexidad y punto de inflexión de la función f(x)=x3-3x Calculemos los puntos que anulan a la 2ª derivada,pues estos puntos serán los posibles puntos de inflexión, y además, dividen al dominio de la función (que en este caso es todo R) en intervalos: f`(x)=3x2-3  f´´(x)=6x  6x=0  x=0 (-,0) x=0 (0,) signo de f´´ - P.I + f es convex (0,0) cóncav

22. Asíntotas Una recta r diremos que es una asíntota de la gráfica de la función y=f(x), cuando la distancia entre un punto de la curva y la recta tiende a cero, a medida que dicho punto recorre una rama infinita, es decir, a medida que dicho punto se ale- je indefinidamente del origen de coordenadas. Para que una función posea una rama infinita, se debe verificar uno de los siguientes casos. Existen tres tipos de asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas.

23. Asíntota vertical: • Existe, cuando se verifica que • límxaf(x)= • y la asíntota es x=a • Asíntota horizontal: • Existe, cuando se verifica que • límxf(x)=b • y la asíntota es y=b • Asíntota oblicua: • Si existe, será de la forma y=mx+b, donde • m=límx n=límx{f(x)-mx}

24. Veamos unos ejemplos de asíntotas: Calcula las asíntotas de la función: y= • límx0f(x)=x=0 es una asíntota vertical • límxf(x)= no existe asíntota horizontal • Si hay asíntota oblicua será de la forma y=mx+n • m=límx y=x A.O. n=límx

25. Calcula las asíntotas de la función f(x)= • límx1f(x)= y límx-1f(x)= • En este caso, existen dos asíntotas verticales: • x=1 y x=-1 • límxf(x)=0  y=0 es una asíntota horizontal • No existe asíntota oblicua ya que límx{f(x)/x}=0

26. Veamos unos ejemplos de gráficas ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN. GRÁFICAS Haremos primeramente un estudio de la función, y en la diapositiva siguiente veremos su gráfica. Observemos como el estudio realizado, coincide con la gráfica

27. Estudia y representa gráficamente la función y = x4- 3x2- 1 • Dominio: R • Simetría: f(-x)=(-x)4-3(-x)2-1=x4-3x2-1=f(x)f es par • luego la función es simétrica respecto a OY • Corte con los ejes: x=0y=-1 • y=0x4-3x2-1=0 • Los puntos de corte con los ejes son. • (0,-1) y (1,8173,0) • Periodicidad: no es periódica por ser polinómica

28. Intervalos de crec y decr. Máximos y mínimos: • f´(x)=4x3-6x; 4x3-6x=0x(4x2-6)=0x=0 , sig f´ - m + M - m + f es • Intervalos de concavidad, convexidad. Puntos de inflexión: • f´´(x)=12x2-6; 12x2-6=0x=2 /2 y x=-2 /2 Sig f´´ + PI. - P.I. + f es cóncav convx cóncav • Asíntotas : no tiene por ser f polinómica

29. Pasemos a la representación gráfica de

30. Otro ejemplo Aquí tienes la gráfica de la función derivada de una cierta función f. Di todo lo que puedas de la función f

31. Supongamos que f´corta al eje de abscisas en los puntos -1,2 y 1,2. Supongamos además que el máximo y el mínimo lo alcanza f´en -0,7 y 0,7. Como f´es negativo en (-, -1,2) y en (0, 1.2), resulta que en esos dos intervalos, f es decreciente. Como f´es positiva en (-1.2, 0) y en (1.2, ), resulta que en esos dos intervalos, f es creciente. Como en -1.2 y en 1.2, f pasa de ser decreciente a creciente resulta que en esos dos puntos f alcanza un mínimo Como en 0, f´(0)=0, y f pasa de ser creciente a decreciente, en 0 f posee un Máximo. Además, f´´(-0.7)=0 y f´´(0.7)=0 , y en 0.7 y en -0.7 hay un cambio de concavidad, resulta que f posee en esos puntos un punto de inflexión.

32. Estudia y representa gráficamente la función: • Dominio: R-{1} • Simetrías: f(-x)=(-x)2/(-x-1)=x2/(-x-1) ; -f(-x)=x2/(x+1) • La función no es par ni impar y por tanto no presenta • simetrías respecto a OY ni respecto a (0,0) • Periodicidad: f no es periódica, pues no existe p tal que • f(x)=f(x+p) • Corte con los ejes: (0,0) • Crec. y decrec. Máximos y mínimos: • f´(x)= ; f´(x)=0x2-2x=0x=0 y x=2

33. (-,0) x=0 (0,1) (1,2) x=2 (2,) signo f´ + - - + f es • Concavidad, convexidad y punto de inflexión: • f´´(x)= Vemos que no hay ningún punto que anule a f´´. Pero observando f´´ llegamos a que: si x<1 f´´<0  f es convexa en (-,1) si x>1 f´´>0  f es cóncava en (1,) • Asíntotas:

34. Por tanto, la asíntota oblicua es y=x+1 • Veamos entonces la representación gráfica de la función:

35. Estudia y representa gráficamente la función • Dominio: R-{1} • Simetrías: f(-x)=(-x+1)/(-x-1) =(x-1)/(x+1) • -f(-x)=(-x+1)/(x+1) • no existe simetrías respecto a OY ni a (0,0) • Periodicidad: no tiene • Cortes con ejes: (0,-1), (-1,0) • Crec y decr. Máximos y mínimos. Conc y convx. P.I.

36. Observemos que no existe ningún valor que anule a f´, por lo que no existe máximo ni mínimo. Además, como f´ es siempre negativa, esto nos indica que f es siempre decreciente en todo su dominio. Observemos también que no existe ningún valor que anule a f´´. Esto nos indica que no existe punto de inflexión Pero f´´<0 para x<1 f es convexa en (-,1) y f´´>0 para x>1 f es cóncava en (1,) • Asíntotas: límx 1f(x)= , x=1 es asíntota vertical • límx f(x)=1 , y=2 es asíntota horizontal • No existe asíntota oblicua

37. Representación gráfica:

38. Estudia y representa gráficamente la función • D=R-{1,-1} • Simetría: f(-x)=-x3/(x2-1). f es impar y por tanto es • simétrica respecto del origen de coordenadas • Cortes con los ejes: (0,0) • Crec y decr. Máx y mín. • f´(x)=[3x2(x2-1)-x3.2x}/(x2-1)2= (x4-3x2)/(x2-1)2 • f´(x)=0x4-3x2=0x=0, x=-3, x=+3 ´f´ + M - - - - mín + f Máximo (-3,-33/2) mínimo (3,33/2)

39. Concavidad, convexidad y punto de inflexión f´´(x)=0 12x2=0 x=0 (-,-1) (-1,0) x=0 (0,1) (1,) signo f´´ - + P:I. - + f es conv cónc (0,0) conv cónc • Asíntotas: x=1 y x=-1 son asíntotas verticales • No tiene asíntotas horizontales. • m=límxf(x)/x =1 • n=límx{f(x)-x}=0 y=x es la asíntota oblicua

40. Representación gráfica:

41. Construcción de funciones a partir de otras conocidas • Funciones opuestas:las funciones opuestas son simétricas • respecto del eje de ordenadas. Conocida una de ellas • la otra se construye por simetría.

42. Funciones valor absoluto Observemos que la función valor absoluto tiene la misma parte positiva que f, y la opuesta de la negativa de f, que se construye por simetría respecto del eje de ordenadas. Para construir la función valor absoluto, debemos construir la función sin valor absoluto

43. Funciones recíprocas Las funciones recíprocas son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante. Conocida una de ellas, se construye la otra por simetría.

44. Funciones trasladadas La traslación de funciones da lugar a otras muchas que pueden obtenerse fácilmente a partir de la primera. En el esquema de la siguiente diapositiva, se muestran las principales traslaciones. Observemos quien es el vector traslación y la función resultante. Hemos de llegar a la conclusión: función original vector traslación función trasladada f(x) (a,b) f(x-a)+b Todas las funciones del esquema se obtienen a partir de la función f(x)=x2

46. FIN • Espero que hayas aprendido el estudio de una función y su representación gráfica.