1 / 41

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Lösen von quadratischen Ungleichungen. Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0. Löse zuerst die Gleichung : -2x² + 6x +8 = 0 I :(-2) x² - 3x – 4 = 0 => x = 4 oder x = -1  Damit kannst du jetzt eine Menge anfangen. Lösen von quadratischen Ungleichungen. Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0.

guinevere-james
Download Presentation

Lösen von quadratischen Ungleichungen

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Löse zuerst die Gleichung : -2x² + 6x +8 = 0 I :(-2) x² - 3x – 4 = 0 => x = 4 oder x = -1  Damit kannst du jetzt eine Menge anfangen.

  2. Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Parabelmethode Betrachte den Graphen der Parabel y = -2x² + 6x +8

  3. Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Parabelmethode Betrachte den Graphen der Parabel y = -2x² + 6x +8 Mit den gefundenen Nullstellen x = 4 und x = -1 und der Beobachtung, dass vor dem x² der Faktor –2 steht, kann man den Graphen sofort skizzieren. (Alsowirklich nur skizzieren!) 

  4. Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Parabelmethode Betrachte den Graphen der Parabel y = -2x² + 6x +8 Mit den gefundenen Nullstellen x = 4 und x = -1 und der Beobachtung, dass vor dem x² der Faktor –2 steht, kann man den Graphen sofort skizzieren. (Alsowirklich nur skizzieren!) 

  5. Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Parabelmethode y = -2x² + 6x +8 > 0 heißt doch, dass die y – Koordinaten der Punkte auf der Parabel positiv sein sollen.

  6. Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Parabelmethode y = -2x² + 6x +8 > 0 heisst doch, dass die y – Koordinaten der Punkte auf der Parabel positiv sein sollen. Das sind dann alle Punkte der Parabel, die oberhalb der x-Achse liegen.

  7. Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Parabelmethode Zur Lösung der Ungleichung benötigt man aber die x – Werte, die die Ungleichung erfüllen.

  8. Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Parabelmethode Zur Lösung der Ungleichung benötigt man aber die x – Werte, die die Ungleichung erfüllen. Das müssen die x – Werte sein, die zu den Punkten der Parabel oberhalb der x-Achse gehören. Wie viele sind das ?

  9. Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Parabelmethode Zur Lösung der Ungleichung benötigt man aber die x – Werte, die die Ungleichung erfüllen. Das müssen die x – Werte sein, die zu den Punkten der Parabel oberhalb der x-Achse gehören. Wie viele sind das ? Unendlich viele !

  10. Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Parabelmethode Zur Lösung der Ungleichung benötigt man aber die x – Werte, die die Ungleichung erfüllen. Das müssen die x – Werte sein, die zu den Punkten der Parabel oberhalb der x-Achse gehören. Wie viele sind das ? Unendlich viele ! Aber sie liegen alle in dem Intervall ]-1 ; 4[

  11. Lösen von quadratischen Ungleichungen Lösung Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Parabelmethode Aber sie liegen alle in dem Intervall ]-1 ; 4[ Das ist die Lösung! ]-1 ; 4[

  12. Lösen von quadratischen Ungleichungen Parabelmethode Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 • Löse zuerst die Gleichung : -2x² + 6x +8 = 0 I :(-2) • x² - 3x – 4 = 0 => • x = 4 oder x = -1 • Damit kannst du jetzt eine Menge anfangen. • Neben der Parabelmethode gibt es noch die • „Zahlenstrahltabelle“.

  13. Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Erinnere dich an den Satz von Vieta: -2x² + 6x +8 = 0 I :(-2) x² - 3x – 4 = 0 => x = 4 oder x = -1 => (x – 4)(x + 1) = 0 Die „-2“ wieder ran => -2(x – 4)(x + 1) = 0

  14. Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Also ist -2x² + 6x +8 > 0 , wenn -2(x – 4)(x + 1) > 0 ist.

  15. Lösen von quadratischen Ungleichungen Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 Der Term -2(x – 4)(x + 1) ist ein Produkt aus drei Faktoren. Mit der Zahlenstrahltabelle untersucht man die Vorzeichen der drei Faktoren. Also gut, beginne mit einem Zahlenstrahl!

  16. Lösen von quadratischen Ungleichungen „Zahlenstrahltabelle“ Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 -1 4 0 x Es ist sicher nützlich, wenn man die gefundenen Nullstellen auch auf dem Zahlenstrahl markiert.

  17. Lösen von quadratischen Ungleichungen „Zahlenstrahltabelle“ Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 -1 4 x Die beiden Nullstellen geben nämlich die Lage der Spalten vor. Auf die „0“ kann man jetzt verzichten.

  18. Lösen von quadratischen Ungleichungen „Zahlenstrahltabelle“ Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 -1 4 0 x Und dann braucht man noch eine Spalte für die drei Faktoren.

  19. Lösen von quadratischen Ungleichungen „Zahlenstrahltabelle“ Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 -1 4 x -2 (x-4) (x+1)

  20. Lösen von quadratischen Ungleichungen „Zahlenstrahltabelle“ Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 -1 4 x -2 (x-4) (x+1) Jetzt musst du dir überlegen, welches Vorzeichen der jeweilige Term hat, wenn sich das x auf dem Zahlenstrahl von links nach rechts bewegt.

  21. Lösen von quadratischen Ungleichungen „Zahlenstrahltabelle“ Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 -1 4 x -2 (x-4) (x+1) Bei –2 ist das einfach, weil das x keinen Einfluss nimmt.

  22. Lösen von quadratischen Ungleichungen „Zahlenstrahltabelle“ Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 -1 4 x -2 - (x-4) (x+1) Trage in das entsprechende Tabellenfeld das Vorzeichen ein.

  23. Lösen von quadratischen Ungleichungen „Zahlenstrahltabelle“ Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 -1 4 x - -2 - (x-4) (x+1) Trage in das entsprechende Tabellenfeld das Vorzeichen ein.

  24. Lösen von quadratischen Ungleichungen „Zahlenstrahltabelle“ Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 -1 4 x -2 - - - (x-4) (x+1) Trage in das entsprechende Tabellenfeld das Vorzeichen ein. In die erste Zeile müssen also drei „-“ – Zeichen.

  25. Lösen von quadratischen Ungleichungen „Zahlenstrahltabelle“ Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 -1 4 x -2 - - - (x-4) (x+1) Jetzt ist die zweite Zeile dran. Setze in (x – 4 ) einfach einen Beispielwert aus dem Bereich des Zahlenstrahls ein.

  26. Lösen von quadratischen Ungleichungen „Zahlenstrahltabelle“ Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 -1 4 x -2 - - - (x-4) - (x+1) Z.B.: (-2 – 4 ) = - 6

  27. Lösen von quadratischen Ungleichungen „Zahlenstrahltabelle“ Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 -1 4 x -2 - - - (x-4) - - (x+1) Z.B.: (1 – 4 ) = - 3

  28. Lösen von quadratischen Ungleichungen „Zahlenstrahltabelle“ Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 -1 4 x -2 - - - (x-4) + - - (x+1) Z.B.: (5 – 4 ) = + 1

  29. Lösen von quadratischen Ungleichungen „Zahlenstrahltabelle“ Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 -1 4 x -2 - - - (x-4) + - - (x+1) 0 Es geht auch noch anders. (x+1) ist doch an der Stelle x = -1 gleich 0!

  30. Lösen von quadratischen Ungleichungen „Zahlenstrahltabelle“ Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 -1 4 x -2 - - - (x-4) - - + (x+1) - 0 (x+1) ist doch an der Stelle x = -1 gleich 0! Dann muss der Term links von –1 negativ sein,

  31. Lösen von quadratischen Ungleichungen „Zahlenstrahltabelle“ Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 -1 4 x -2 - - - + (x-4) - - (x+1) - 0 + + (x+1) ist doch an der Stelle x = -1 gleich 0! Dann muss der Term links von –1 negativ sein, und rechts von –1 positiv !

  32. Lösen von quadratischen Ungleichungen „Zahlenstrahltabelle“ Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 -1 4 0 x -2 - - - - - (x-4) + (x+1) + - + -2(x-4)(x+1) So, jetzt ist das Vorzeichen des gesamten Produkts dran.

  33. Ahnst du es schon?

  34. Lösen von quadratischen Ungleichungen „Zahlenstrahltabelle“ Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 -1 4 0 x -2 - - - - - (x-4) + (x+1) + - + -2(x-4)(x+1) „Minus mal Minus mal Minus“ gibt ?

  35. Lösen von quadratischen Ungleichungen „Zahlenstrahltabelle“ Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 -1 4 0 x -2 - - - - - (x-4) + (x+1) + - + - -2(x-4)(x+1) „Minus mal Minus mal Minus“ gibt ? Minus!

  36. Lösen von quadratischen Ungleichungen „Zahlenstrahltabelle“ Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 -1 4 0 x -2 - - - - - (x-4) + (x+1) + - + - -2(x-4)(x+1) „Minus mal Minus mal Plus“ gibt ?

  37. Lösen von quadratischen Ungleichungen „Zahlenstrahltabelle“ Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 -1 4 0 x -2 - - - - - (x-4) + (x+1) + - + - -2(x-4)(x+1) + „Minus mal Minus mal Plus“ gibt ? Plus!

  38. Lösen von quadratischen Ungleichungen „Zahlenstrahltabelle“ Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 -1 4 0 x -2 - - - - - (x-4) + (x+1) + - + - -2(x-4)(x+1) + „Minus mal Plus mal Plus“ gibt ?

  39. Lösen von quadratischen Ungleichungen „Zahlenstrahltabelle“ Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 -1 4 0 x -2 - - - - - (x-4) + (x+1) + - + - -2(x-4)(x+1) - + „Minus mal Plus mal Plus“ gibt ? Minus!

  40. Lösen von quadratischen Ungleichungen „Zahlenstrahltabelle“ Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 -1 4 0 x -2 - - - - - (x-4) + (x+1) + - + - - -2(x-4)(x+1) + So, fast fertig! Für welchen Bereich des Zahlenstrahls ist denn das Produkt nun positiv?

  41. Lösen von quadratischen Ungleichungen „Zahlenstrahltabelle“ Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0 -1 4 0 x -2 - - - - - (x-4) + (x+1) + - + - - -2(x-4)(x+1) + Genau! Da ist wieder das Intervall ]-1 , 4[.

More Related