Das gleichseitige Dreieck

1. Das gleichseitige Dreieck Dies ist ein 10,11,11-Dreieck auf einem quadratischen Blättchen. Es ist leider nur fast gleichseitig. Zeichne auf einem Blättchen und falte die (weißen Dreiecke hoch. Klebe die 5-er-Strecken mit einem Falz zusammen. Stelle es auf die „leere“ Fläche. Was für eine Grundfläche hast du dann? Stellt 6 solche Zelte zum Sechseck zusammen. Horst Steibl

2. Mittelpunktspyramide des Oktaeders Falte ein 10-er Quadrat die Diagonalen, schneide einmal bis zur Mitte ein und falte zur Ecke hoch. Klebe die beiden Dreiecke , die an der Schnittlinie liegen, aufeinander. Lege die Pyramide auf die „leere“ Fläche und umfahre diese. Was hast du erhalten? Wie musst du 8 solcher Teile zusammenkleben , um ein Gerüst eines Oktaeders zu erhalten? Horst Steibl

3. Nimm ein quadratisches Blättchen, falte die Diagonalen und schneide eine bis zur Mitte ein. Falte auf zur dreieckigen Ecke und klebe zwei Dreiecke übereinander. Was für eine Fläche fehlt? Falte und klebe die 4 Ecken zur Mitte. Klebe zwei „dreieckige“ Ecken auf ein solche Quadrat. Stülpe ein 2. derartiges Gebilde verdreht über das erste. Welcher Körper wird durch die 4 fehlenden Fächen bestimmt? Welchen Bruchteil des Würfels nimmt er ein? Horst Steibl

4. Das Oktaeder Klebe solche dreieckigen Ecken und füge sie zu einem Körper zusammen. Wie viele Ecken musst du kleben? Was für Flächen „fehlen“? Wie heißt der Körper? Berechne das Volumen in Bezug auf die Raumdiagonale d. Welcher Bruchteil des umschriebenen Würfels ( d³ ) ist das? Horst Steibl

5. Das gls. Dreieck aus dem Faltquadrat Die Schenkel des gelben Dreiecks sind 11 cm, also zu lang Die Schenkel des roten Dreiecks sind 7 cm, also zu kurz. Wie finde ich Schenkel, die exakt 10 cm lang sind? 10 cm Horst Steibl

6. Das gls. Dreieck aus dem Faltquadrat Wie kann ich durch Falten eine Zehnerstrecke auf den Schenkel des blauen gleichseitigen Dreiecks bringen? Wie groß muss dann der durch die Faltlinie geteilte Winkel sein? Welche Funktion hat dann die Faltlinie für diesen Winkel? Horst Steibl

7. Das gleichseitige Dreieck im Quadrat Horst Steibl

8. Die Teilfiguren im gleichseitigen Dreieck Horst Steibl

9. Pyramiden aus drei, vier oder fünf Dreiecken Schneide (s. Pfeil) bis zur Mitte ein. Falte die Dreieckslinien in die gleiche Richtung und schiebe zur drei-, vier- und fünfseitigen Pyramide zusammen. Wie kommst du damit zum Tetraeder, Oktaeder, Ikosaeder? Horst Steibl

10. Die Laschen-Taschen-Masche Nimmt man ein doppelt so großes Quadrat mit der Seitenlänge 2 dm, so ist das halbe Rechteck ein Ö3-Rechteck. Aus diesem werden wir später viele Raummodelle bauen, die von gleichseitigen Dreiecken begrenzt sind. Versuchen Sie die blau-rote Figur zu falten! Welche Linien helfen? Horst Steibl

11. Horst Steibl Laschen-Taschen-Masche Ein Wurzel-drei-Rechteck Ecke auf Gegenecke, d.h Die Mittelsenkrechte der Diagonalen tan 60°= Ö3=1,732 60° halbiert, gleichseitiges Dreieck Winkelhalbierende des gls. Dreiecks Winkelhalbierende des kl. Drachen Parallelogramm Parallelogramm aus vier kl. Dreiecken 1 Netz eines Tetraeders Horst Steibl

12. Falten des Dreiecksmoduls • Hier noch einmal die Faltabfolge mit den notwendigen Hintergrundinformationen • Deute das Ö3-Rechteck als halbes Blatt des Dreiecks aus dem Quadrat. • Ö3-Rechteck so hinlegen, dass die gesuchte Diagonale lotrecht liegt und die obere kurze Seite nach links abfällt. Untere Ecke auf die obere Gegenecke falten. Damit ist die Mittelsenkrechte der gesuchten Diagonale gefaltet. • Blatt öffnen und die Endpunkte der Faltlinie aufeinanderfalten. Damit ist die Diagonale gefaltet. • Blatt öffnen. Welche Winkel treten auf? Wie könnte man diese Linien im Sinne des aus dem Quadrat gefalteten Dreiecks deuten? Horst Steibl

13. Blatt öffnen. Die beiden Linien als Diagonalen eines Vierecks deuten. Was für ein Viereck ist damit bestimmt? • Wir nennen das Viereck die diagonale Raute des Rechtecks. Warum kann man die freien Ecken des Rechtecks auf die Mitte so falten, dass die Raute sichtbar wird? Welche Funktion hätte eine dieser Faltlinien im Dreieck aus dem Quadrat. Falten Sie die beiden kurzen Rechteckseiten zur Mitte. • Blatt öffnen. Zwei gleichseitige Dreiecke suchen. Ecke des Rechtecks so auf die Gegenseite falten, dass ein 60°-Winkel halbiert wird (zwei mal). Du müsstest ein Sechseck erhalten haben. Die überstehenden Dreiecke wollen wir nach innen falten. Dazu öffnen wir das Blatt. • An zwei Ecken kann man die kleinen Drachen sehen. Falte die lange Diagonale und dann schließe wieder zum Parallelogramm. Horst Steibl

14. Im Prinzip ist das Modul nun fertig. Auf einer Seite hat es einen Schlitz, auf der anderen Seite ist es geschlossen. • Lege es mit dam Schlitz nach unten. Du siehst zwei Rauten. Falte längs der Linie, die diese Rauten trennt, zum Trapez. • Öffne und falte die kurze Diagonale der kleinen Raute (zwei mal). • Du kannst das Modul jetzt zum Tetraeder auffalten. • Du brauchst jetzt ein zweites Modul spiegelbildlich zum ersten, also die zweite Hälfte des Dreiecks über dem Quadrat. • Lege also ein zweites Ö3-Rechteck so, dass die kurze obere Seite nach rechts abfällt und verfahre wie oben. • Lege eines der Dreiecke so in das zweite des anderen Moduls, dass ein Dreieck übersteht. Dieses kannst du nun in den Schlitz des anderen. Fahre entsprechend mit den Einstecken fort. Horst Steibl

15. Faltfolge und die geometrischen Begriffeverkürzt • Ecke auf Gegenecke: Mittelsenkrechte der Diagonalen • vier Punkte: diagonale Raute • Ecke zur Mitte: Da das Eckviereck ein Drachen ist • Winkelhalbierende des Drachens = Seite der diagonalen Raute(zwei mal) • Raute: Diagonalen stehen lotrecht und halbieren einander • Zwei gleichseitige Dreiecke mit einer Winkelhalbierenden (Höhe, Mittelsenkrechten); Wie verlaufen die zwei anderen? • Nicht die zur Rechteckseite parallele sondern die schräge; Ecke auf Gegenseite: Sechseck: zwei Dreiecke stehen über Horst Steibl

16. Auffalten: zwei kleine Drachen an den Ecken, lange Diagonale falten • Zufalten: Parallelogramm mit Diagonale als Schlitz: zwei (30°,60°,90°)-Dreiecke • Wenden: Zwei Rauten, oder eine Raute und zwei gleichseitige Dreiecke • eine Raute hoch zum glsch Trapez falten, Schlitz außen • Kurze Diagonale der Rauten falten: vier gleichseitige Dreiecke • Zweigegensinnig kongruente Parallelogramme: Tetraeder • Vier gleichsinnig kongruente Parallelogramme: Oktaeder • Zehn Parallelogramme: Ikosaeder • Fünf gleichsinnig kongruente Parallelogramme: Ufo • Wie aber steckst du ein Rautenhexaederzusammen? Horst Steibl

17. Gleichseitige Dreiecke im Dreieck Gib die Seitenlängen der anderen Dreiecke als exakte Terme bzgl 1 (rotes Dreieck ) an. 1 Gib den Streckungsfaktor von groß zu klein paar-weise an. Gib die Bruchteile der Flächen bzgl 1(rotes Dreieck) an. Horst Steibl